高中数学新学案同步 必修3 人教A版 全国通用版 第二章 统 计 章末复习.docx
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高中数学新学案同步必修3人教A版全国通用版第二章统计章末复习
章末复习
学习目标 1.会根据不同的特点选择适当的抽样方法获得样本数据.2.能利用图、表对样本数据进行整理分析，用样本和样本的数字特征估计总体.3.能利用散点图对两个变量是否相关进行初步判断，能用线性回归方程进行预测.
1.抽样方法
（1）用随机数法抽样时，对个体所编号码位数要相同，当问题所给位数不同时，以位数较多的为准，在位数较少的数前面添“0”，凑齐位数.
（2）用系统抽样法时，如果总体容量N能被样本容量n整除，抽样间隔为k＝；如果总体容量N不能被样本容量n整除，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝（其中K＝N－多余个体数）.
（3）三种抽样方法的异同点
类别
共同点
各自特点
相互联系
适用范围
简单随机抽样
抽样过程中每个个体被抽到的可能性相同
从总体中逐个抽取
总体中的个体数较少
系统抽样
将总体平均分成几部分，按事先确定的规则分别在各部分中抽取
在起始部分抽样时，采用简单随机抽样
总体中的个体数较多
分层抽样
将总体分成几层，按各层个体数之比抽取
在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
2.用样本估计总体
（1）用样本估计总体
用样本频率分布估计总体频率分布时，通常要对给定的一组数据作频率分布表与频率分布直方图.当样本只有两组数据且样本容量比较小时，用茎叶图刻画数据比较方便.
（2）样本的数字特征
样本的数字特征可分为两大类：
一类是反映样本数据集中趋势的，包括众数、中位数和平均数；另一类是反映样本波动大小的，包括方差及标准差.
3.变量间的相关关系
（1）两个变量之间的相关关系的研究，通常先作变量的散点图，根据散点图判断这两个变量最接近于哪种确定性关系（函数关系）.
（2）求回归方程的步骤：
①先把数据制成表，从表中计算出，，x，xiyi；
②计算回归系数，，公式为
③写出回归方程＝x＋.
类型一 用样本的频率分布估计总体
例1 某制造商生产一批直径为40mm的乒乓球，现随机抽样检查20个，测得每个球的直径（单位：
mm，保留两位小数）如下：
40.03 40.00 39.98 40.00 39.99 40.00 39.98
40.01 39.98 39.99 40.00 39.99 39.95 40.01
40.02 39.98 40.00 39.99 40.00 39.96
（1）完成下面的频率分布表，并画出频率分布直方图；
分组
频数
频率
[39.95,39.97）
[39.97,39.99）
[39.99,40.01）
[40.01,40.03]
合计
（2）假定乒乓球的直径误差不超过0.02mm为合格品.若这批乒乓球的总数为10000，试根据抽样检查结果估计这批产品的合格个数.
考点 样本估计总体
题点 用样本的频率分布估计总体的频率分布
解
（1）频率分布表如下：
分组
频数
频率
[39.95,39.97）
2
0.10
5
[39.97,39.99）
4
0.20
10
[39.99,40.01）
10
0.50
25
[40.01,40.03]
4
0.20
10
合计
20
1.00
频率分布直方图如图.
（2）∵抽样的20个产品中在[39.98,40.02]范围内的有17个，∴合格品合格率为×100%＝85%.
∴10000×85%＝8500.
故根据抽样检查结果，可以估计这批产品的合格个数为8500.
反思与感悟 总体分布中相应的统计图表主要包括：
频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图等.通过这些统计图表给出的相应统计信息可以估计总体.
跟踪训练1 某市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了10000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：
（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？
（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w＝3时，估计该市居民该月的人均水费.
考点 样本估计总体
题点 用样本的频率分布估计总体的频率分布
解
（1）如题图所示，用水量在[0.5,3）的频率的和为
（0.2＋0.3＋0.4＋0.5＋0.3）×0.5＝0.85.
∴用水量小于等于3立方米的频率为0.85，又w为整数，
∴为使80%以上的居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为3.
（2）当w＝3时，该市居民该月的人均水费估计为
（0.1×1＋0.15×1.5＋0.2×2＋0.25×2.5＋0.15×3）×4＋0.15×3×4＋[0.05×（3.5－3）＋0.05×（4－3）＋0.05×（4.5－3）]×10＝7.2＋1.8＋1.5＝10.5（元）.
即该市居民该月的人均水费估计为10.5元.
类型二 用样本的数字特征估计总体的数字特征
例2 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图.
（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；
（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，估计1－2的值.
考点 样本估计总体
题点 用样本的数字特征估计总体的数字特征
解
（1）设甲校高三年级学生总人数为n.
由题意，知＝0.05，解得n＝600.
样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格的人数为5，据此估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为
1－＝.
（2）设甲、乙两校样本平均数分别为，.
根据样本茎叶图知，30（－）＝30－30
＝（7－5）＋（55＋8－14）＋（24－12－65）＋（26－24－79）＋（22－20）＋92
＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.
因此－＝0.5，所以1－2的估计值为0.5分.
反思与感悟 样本的数字特征分为两大类：
一类是反映样本数据集中趋势的特征数，例如平均数；另一类是反映样本数据波动大小的特征数，例如方差和标准差.通常我们用样本的平均数和方差（标准差）来近似代替总体的平均数和方差（标准差），从而实现对总体的估计.
跟踪训练2 对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
甲
60
80
70
90
70
乙
80
60
70
80
75
问：
甲、乙谁的平均成绩好？
谁的各门功课发展较平衡？
考点 样本估计总体
题点 用样本的数字特征估计总体的数字特征
解 甲的平均成绩为甲＝74，乙的平均成绩为乙＝73.所以甲的平均成绩好.
甲的方差是s＝[（－14）2＋62＋（－4）2＋162＋（－4）2]＝104，乙的方差是s＝×[72＋（－13）2＋（－3）2＋72＋22]＝56.
因为s>s，所以乙的各门功课发展较平衡.
类型三 变量间的相关关系
例3 理论预测某城市2020到2024年人口总数与年份的关系如下表所示：
年份202x（年）
0
1
2
3
4
人口数y（十万）
5
7
8
11
19
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）指出x与y是否线性相关；
（3）若x与y线性相关，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的回归方程＝x＋；
（4）据此估计2025年该城市人口总数.
（参数数据：
0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132,02＋12＋22＋32＋42＝30）
考点 变量间的相关关系
题点 变量间的相关关系
解
（1）数据的散点图如图：
（2）由散点图可知，样本点基本上分布在一条直线附近，故x与y呈线性相关.
（3）由表知＝×（0＋1＋2＋3＋4）＝2，
＝×（5＋7＋8＋11＋19）＝10.
∴＝＝3.2，
＝－＝3.6，
∴回归方程为＝3.2x＋3.6.
（4）当x＝5时，＝19.6（十万）＝196万.
故2025年该城市人口总数约为196万.
反思与感悟 对两个变量进行研究，通常是先作出两个变量之间的散点图，根据散点图直观判断两个变量是否具有线性相关关系，如果具有，就可以应用最小二乘法求线性回归方程.由于样本可以反映总体，所以可以利用所求的线性回归方程，对这两个变量所确定的总体进行估计，即根据一个变量的取值，预测另一个变量的取值.
跟踪训练3 某车间为了制定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x（个）
2
3
4
5
加工的时间y（小时）
2.5
3
4
4.5
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并在坐标系中画出回归直线；
（3）试预测加工10个零件需要多少小时？
考点 变量间的相关关系
题点 变量间的相关关系
解
（1）散点图如图.
（2）由表中数据得：
iyi＝52.5，
＝3.5，＝3.5，＝54，
∴＝0.7，∴＝1.05，
∴＝0.7x＋1.05，回归直线如图所示.
（3）将x＝10代入线性回归方程，
得＝0.7×10＋1.05＝8.05，
故预测加工10个零件约需要8.05小时.
1.一个容量为80的样本中，数据的最大值是140，最小值是50，组距是10，这里将样本数据分为（ ）
A.10组B.9组
C.8组D.7组
考点 抽样方法
题点 抽样方法中的计算
答案 B
解析 组数＝＝＝9.
2.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这组数的标准差是（ ）
A.1B.2
C.3D.4
考点 方差与标准差
题点 求标准差
答案 B
解析 设这10个数为a1，a2，…，a10，则有a＋a＋…＋a＝200，且a1＋a2＋…＋a10＝40，
所以
＝
＝＝4，∴标准差为＝2.
3.某农田施肥量x（单位：
kg）与小麦产量y（单位：
kg）之间的回归方程是＝4x＋250，则当施肥量为50kg时，可以预测小麦的产量为________kg.
考点 变量间的相关关系
题点 变量间的相关关系
答案 450
解析 直接将x＝50代入回归方程中，可得＝4×50＋250＝450.
4.如图所示是一次考试结果的频率分布直方图，则据此估计这次考试的平均分为________.
考点 平均数
题点 由表或图估计平均数
答案 75
解析 利用组中值估算平均分，则有＝55×0.1＋65×0.2＋75×0.4＋85×0.2＋95×0.1＝75，故估计这次考试的平均分为75.
5.从某学校的男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组[155,160），第二组[160,165），…，第八组[190,195].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组的人数相同，第六组的人数为4.
（1）求第七组的频率；
（2）估计该校的800名男生的身高的中位数以及身高在180cm以上（含180cm）的人数.
考点 样本估计总体
题点 用样本的频率分布估计总体的频率分布
解
（1）第六组的频率为＝0.08，所以第七组的
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