（-∞,a）
R
（-∞,+∞）
（3）自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.
（4）函数有意义是指:
自变量的取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实际意义时,那么还要满足实际取值等等.
（5）CB.
应用示例
思路1
1.已知函数f（x）=+,
（1）求函数的定义域;
（2）求f（-3）,f（）的值;
（3）当a>0时,求f（a）,f（a-1）的值.
活动：
（1）让学生回想函数的定义域指的是什么？
函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使和有意义的自变量的取值范围;有意义,则x+3≥0,有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组.
（2）让学生回想f（-3）,f（）表示什么含义？
f（-3）表示自变量x=-3时对应的函数值,f（）表示自变量x=时对应的函数值.分别将-3,代入函数的对应法则中得f（-3）,f（）的值.
（3）f（a）表示自变量x=a时对应的函数值,f（a-1）表示自变量x=a-1时对应的函数值.
分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f（a）,f（a-1）的值.
解：
（1）要使函数有意义,自变量x的取值需满足解得-3≤x<-2或x>-2,
即函数的定义域是［-3,-2）∪（-2,+∞）.
（2）f（-3）=+=-1;
f（）=
=.
（3）∵a>0,∴a∈［-3,-2）∪（-2,+∞）,
即f（a）,f（a-1）有意义.
则f（a）=+;
f（a-1）==.
点评：
本题主要考查函数的定义域以及对符号f（x）的理解.求使函数有意义的自变量的取值范围,通常转化为解不等式组.
f（x）是表示关于变量x的函数,又可以表示自变量x对应的函数值,是一个整体符号,分开符号f（x）没有什么意义.符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如f（x）=x2-x+5,当x=2时,看作“2”施加了这样的运算法则:
先平方,再减去2,再加上5;当x为某一代数式（或某一个函数记号时）,则左右两边的所有x都用同一个代数式（或某一个函数）来代替.如:
f（2x+1）=（2x+1）2-（2x+1）+5,f［g（x）］=［g（x）］2-g（x）+5等等.
符号y=f（x）表示变量y是变量x的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y等于f与x的乘积;符号f（x）与f（m）既有区别又有联系,当m是变量时,函数f（x）与函数f（m）是同一个函数;当m是常数时,f（m）表示自变量x=m对应的函数值,是一个常量.
已知函数的解析式,求函数的定义域,就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围,即:
（1）如果f（x）是整式,那么函数的定义域是实数集R.
（2）如果f（x）是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合.
（3）如果f（x）是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合.
（4）如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合（即求各部分定义域的交集）.
（5）对于由实际问题的背景确定的函数,其定义域还要受实际问题的制约.
变式训练
1.求函数y=的定义域.
答案：
{x|x≤1,且x≠-1}.
点评：
本题容易错解：
化简函数的解析式为y=x+1,得函数的定义域为{x|x≤1}.其原因是这样做违背了讨论函数问题要保持定义域优先的原则.化简函数的解析式容易引起函数的定义域发生变化,因此求函数的定义域之前时,不要化简解析式.
2.xx山东滨州二模,理1若f（x）=的定义域为M,g（x）=|x|的定义域为N,令全集U=R,则M∩N等于（）
A.MB.NC.MD.N
分析:
由题意得M={x|x>0},N=R,则M∩N={x|x>0}=M.
答案：
A
3.已知函数f（x）的定义域是［-1,1］,则函数f（2x-1）的定义域是________.
分析:
要使函数f（2x-1）有意义,自变量x的取值需满足-1≤2x-1≤1,∴0≤x≤1.
答案：
［0,1］
思路2
1.xx湖北武昌第一次调研,文14已知函数f（x）=,那么f
（1）+f
（2）+f（）+f（3）+f（）
+f（4）+f（）=________.
活动：
观察所求式子的特点,引导学生探讨f（a）+f（）的值.
解法一：
原式=
=+
=.
解法二：
由题意得f（x）+f（）=
==1.
则原式=+1+1+1=.
点评：
本题主要考查对函数符号f（x）的理解.对于符号f（x）,当x是一个具体的数值时,相应地f（x）也是一个具体的函数值.本题没有求代数式中的各个函数值,而是看到代数式中含有f（x）+f（）,故先探讨f（x）+f（）的值,从而使问题简单地获解.求含有多个函数符号的代数式值时,通常不是求出每个函数值,而是观察这个代数式的特_?
找到规律再求解.
受思维定势的影响,本题很容易想到求出每个函数值来求解,虽然可行,但是这样会浪费时间,得不偿失.其原因是解题前没有观察思考,没有注意经验的积累.
变式训练
1.已知a、b∈N*,f（a+b）=f（a）f（b）,f
（1）=2,则
=_________.分析:
令a=x,b=1（x∈N*）,
则有f（x+1）=f（x）f
（1）=2f（x）,
即有=2（x∈N*）.
所以,原式==4012.
答案：
4012
2.xx山东蓬莱一模,理13设函数f（n）=k（k∈N*）,k是π的小数点后的第n位数字,π=3.1415926535…,则等于________.
分析:
由题意得f（10）=5,f（5）=9,f（9）=3,f（3）=1,f
（1）=1,…,
则有=1.
答案：
1
2.xx山东济宁二模,理10已知A={a,b,c},B={-1,0,1},函数f:
A→B满足f（a）+f（b）+f（c）=0,则这样的函数f（x）有（）
A.4个B.6个C.7个D.8个
活动：
学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不同的函数,因此对f（a）,f（b）,f（c）的值分类讨论,注意要满足f（a）+f（b）+f（c）=0.
解：
当f（a）=-1时,
则f（b）=0,f（c）=1或f（b）=1,f（c）=0,
即此时满足条件的函数有2个;
当f（a）=0时,
则f（b）=-1,f（c）=1或f（b）=1,f（c）=-1或f（b）=0,f（c）=0,
即此时满足条件的函数有3个;
当f（a）=1时,
则f（b）=0,f（c）=-1或f（b）=-1,f（c）=0,
即此时满足条件的函数有2个.
综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7（个）.
故选C.
点评：
本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数.
变式训练
若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y=x2,值域是{1,4}的“同族函数”共有（）
A.9个B.8个C.5个D.4个
分析:
“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数.
令x2=1,得x=±1;令x2=4,得x=±2.
所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},
{-1,-2,2},{1,-1,-2,2},则“同族函数”共有9个.
答案：
A
知能训练
1.xx学年度山东淄博高三第二次摸底考试,理16已知函数f（x）满足:
f（p+q）=f（p）f（q）,f
（1）=3,则
=______.
解：
∵f（p+q）=f（p）f（q）,
∴f（x+x）=f（x）f（x）,即f2（x）=f（2x）.
令q=1,得f（p+1）=f（p）f
（1）,∴=f
（1）=3.
∴原式=
=2（3+3+3+3+3）=30.
答案：
30
2.xx第十七届“希望杯”全国数学邀请赛（高一）第一试,2若f（x）=的定义域为A,g（x）=f（x+1）-f（x）的定义域为B,那么（）
A.A∪B=BB.ABC.ABD.A∩B=
分析:
由题意得A={x|x≠0},B={x|x≠0,且x≠-1}.则A∪B=A,则A错;A∩B=B,则D错;由于BA,则C错,B正确.
答案：
B
拓展提升
问题:
已知函数f（x）=x2+1,x∈R.
（1）分别计算f
（1）-f（-1）,f
（2）-f（-2）,f（3）-f（-3）的值.
（2）由
（1）你发现了什么结论？
并加以证明.
活动：
让学生探求f（x）-f（-x）的值.分析
（1）中各值的规律,归纳猜想出结论,再用解析式证明.
解：
（1）f
（1）-f（-1）=（12+1）-［（-1）2+1］=2-2=0;
f
（2）-f（-2）=（22+1）-［（-2）2+1］=5-5=0;
f（3）-f（-3）=（32+1）-［（-3）2+1］=10-10=0.
（2）由
（1）可发现结论:
对任意x∈R,有f（x）=f（-x）.证明如下:
由题意得f（-x）=（-x）2+1=x2+1=f（x）.
∴对任意x∈R,总有f（x）=f（-x）.
课堂小结
本节课学习了:
函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f（x）的理解.
作业
课本P24,习题1.2A组1、5.
设计感想
本节教学中,在归纳函数的概念时,本节设计运用了大量的实例,如果不借助于信息技术,那么会把时间浪费在实例的书写上,会造成课时不足即拖堂现象.本节重点设计了函数定义域的求法,而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习.由于函数是高中数学的重点内容之一,也是高考的重点和热点,因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展,以满足高考的需要.
（设计者：
高建勇）
2019-2020年高中数学（2.1函数的概念第2课时）示范教案新人教A版必修1
复习
1.函数的概念.
2.函数的定义域的求法.
导入新课
思路1.当实数a、b的符号相同,绝对值相等时,实数a=b;当集合A、B中元素完全相同时,集合A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢？
引出课题:
函数相等.
思路2.我们学习了函数的概念,y=x与y=是同一个函数吗？
这就是本节课学习的内容,引出课题:
函数相等.
推进新课
新知探究
提出问题
①指出函数y=x+1的构成要素有几部分？
②一个函数的构成要素有几部分？
③分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.
④函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗？
由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗？
⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？
讨论结果：
①函数y=x+1的构成要素为:
定义域R,对应关系x→x+1,值域是R.
②一个函数的构成要素为:
定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.
③定义域和对应关系分别相同.
④值域相同.
⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.
应用示例
思路1
1.下列函数中哪个与函数y=x相等？
（1）y=（）2;
（2）y=;（3）y=;（4）y=.
活动：
让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.
解：
函数y=x的定义域是R,对应关系是x→x.
（1）∵函数y=（）2的定义域是［0,+∞）,
∴函数y=（）2与函数y=x的定义域R不相同.
∴函数y=（）2与函数y=x不相等.
（2）∵函数y=的定义域是R,
∴函数y=与函数y=x的定义域R相同.
又∵y==x,
∴函数y=与函数y=x的对应关系也相同.
∴函数y=与函数y=x相等.
（3）∵函数y=的定义域是R,
∴函数y=与函数y=x的定义域R相同.
又∵y==|x|,
∴函数y=与函数y=x的对应关系不相同.
∴函数y=与函数y=x不相等.
（4）∵函数y=的定义域是（-∞,0）∪（0,+∞）,
∴函数y=与函数y=x的定义域R不相同,
∴函数y=（）2与函数y=x不相等.
点评：
本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析式相同（即对应关系相同）,则是同一个函数,否则不是同一个函数.
变式训练
判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.
①y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;
②y=与y=·;
③y=1+与u=1+;
④y=x2与y=x;
⑤y=2|x|与y=
⑥y=f（x）与y=f（u）.
是同一个函数的是________（把是同一个函数的序号填上即可）.
解：
只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.
①前者的定义域是R,后者的定义域是N,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;
②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数;
③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数;
④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;
⑤函数y=2|x|=则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数;
⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.
故填③⑤⑥.
思路2
1.判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数,说明理由.
（1）f（x）=（x-1）0,g（x）=1.
（2）f（x）=x-1,g（x）=.
（3）f（x）=x2,g（x）=（x+1）2.
（4）f（x）=x2-1,g（u）=u2-1.
活动：
学生思考函数的概念及其三要素,教师引导学生先判断定义域是否相同,当定义域相同时,再判断它们的对应关系是否相同.
解：
（1）∵f（x）=（x-1）0的定义域是{x|x≠1},函数g（x）=1的定义域是R,
∴函数f（x）=（x-1）0与函数g（x）=1的定义域不同.
∴函数f（x）=（x-1）0与函数g（x）=1不表示同一个函数.
（2）∵f（x）=x-1的定义域是R,g（x）==的定义域是R,
∴函数f（x）=x-1与函数g（x）=的定义域相同.
又∵g（x）===|x-1|,
∴函数f（x）=x-1与函数g（x）=的对应关系不同.
∴函数f（x）=x-1与函数g（x）=不表示同一个函数.
（3）很明显f（x）=x2和g（x）=（x+1）2的定义域都是R,
又∵f（x）=x2和g（x）=（x+1）2的对应关系不同,
∴函数f（x）=x2和g（x）=（x+1）2不表示同一个函数.
（4）很明显f（x）=x2-1与g（u）=u2-1的定义域都是R,
又∵f（x）=x2-1与g（u）=u2-1的对应关系也相同,
∴函数f（x）=x2-1与g（u）=u2-1表示同一个函数.
变式训练
1.xx湖北黄冈模拟,理13已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b）且f
（2）=p,f（3）=q,则f（36）=_______.
解：
由题意得f（36）=f（6×6）=f（6）+f（6）=2f（6）=2f（2×3）=2［f
（2）+f（3）］=2p+2q.
答案：
2p+2q
2.函数y=f（x）的图象与直线x=2的公共点共有（）
A.0个B.1个C.0个或1个D.不确定
答案：
C
2.设y是u的函数y=f（u）,而u又是x的函数u=g（x）,设M表示u=g（x）的定义域,N是函数y=f（u）的值域,当M∩N≠时,则y成为x的函数,记为y=f[g（x）].这个函数叫做由y=f（u）及u=g（x）复合而成的复合函数,它的定义域为M∩N,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.指出下列复合函数外层函数和内层函数,并且使外层函数和内层函数均为基本初等函数.
（1）y=;
（2）y=（x2-2x+3）2;（3）y=-1.
活动：
让学生思考有哪些基本初等函数,它们的解析式是什么.
解：
（1）设y=,u=x+1,
即y=的外层函数是反比例函数y=,内层函数是一次函数u=x+1.
（2）设y=u2,u=x2-2x+3,
即y=（x2-2x+3）2的外层函数是二次函数y=u2,内层函数是二次函数u=x2-2x+3.
（3）设y=u2+u-1,u=,
即y=-1的外层函数是二次函数y=u2+u-1,内层函数是反比例函数u=.
点评：
到目前为止,我们所遇到的函数大部分是复合函数,并且是由正、反比例函数和一、二次函数复合而成的,随着学习的深入,我们还会学习其他复合函数.复合函数是高考重点考查的内容之一,应引起我们的重视.
变式训练
1.xx重庆高考,文2设f（x）=,则
=_______.
答案：
-1
2.xx安徽高考,理15函数f（x）对任意实数x满足条件f（x+2）=,若f
（1）=-5,则f［f（5）］=.
分析:
∵函数f（x）对任意实数x满足条件f（x+2）=,∴f（x+4）=f［（x+2）+1］==f（x）.
∴f
（1）=f（1+4）=f（5）.
又∵f
（1）=-5,∴f（5）=-5.
∴f［f（5）］=f（-5）=f（-5+4）=f（-1）=f（-1+4）=f（3）=f（1+2）==.
答案：
知能训练
1.下列给出的四个图形中,是函数图象的是（）
A.①B.①③④C.①②③D.③④
图1-2-1-2
答案：
B
2.函数y=f（x）的定义域是R,值域是［1,2］,则函数y=f（2x-1）的值域是_______.
答案：
［1,2］
3.下列各组函数是同一个函数的有________.
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