数学第二册学习册与练习册第七章第一节.docx

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数学第二册学习册与练习册第七章第一节

7．1　复数的概念

7．1.1　数系的扩充和复数的概念

知识导图

教学重点:

复数的概念

教学难点:

复数的扩充过程和向量表示.

课堂学案

一、复数的概念

1.问题引学

复数是如何定义的？

其表示方法又是什么？

2、知识梳理

复数的定义

形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1．

3.知能拓展

复数的分类：

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

4.能力点复数的定义

典例1.以3i－

的虚部为实部，以－3＋

i的实部为虚部的复数是（　　）

A．3－3iB．3＋i

C．－

＋

iD.

＋

i

答案：

A

训练1.若z＝a＋（a2－1）i（a∈R，i为虚数单位）为实数，则a的值为（　　）

A．0　　　　　　　　　　B．1

C．－1D．1或－1

答案：

D

思延：

对复数概念的三点说明

（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi（a，b∈R）的形式，其中0＝0＋0i.

（2）复数的虚部是实数b而非bi.

（3）复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是代数形式

二、复数的分类

1.问题引学

复数分为哪两大类？

2、知识梳理

复数的有关概念

（1）复数集

全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．

（2）复数的表示方法

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部

3.知能拓展

复数的分类：

复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系

4.能力点复数的分类

典例2.实数x分别取什么值时，复数z＝

＋（x2－2x－15）i是

（1）实数；

（2）虚数；（3）纯虚数．

【答案】

（1）x＝5时，z是实数．

（2）x≠－3且x≠5时，z是虚数．（3）x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．

【解析】

（1）当x满足

即x＝5时，z是实数．

（2）当x满足

即x≠－3且x≠5时，z是虚数．

（3）当x满足

即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．

【思延】　对于复数的分类要严格按照定义深化理解与认识

训练1.以3i－

的虚部为实部，以－3＋

i的实部为虚部的复数是（　　）

A．3－3iB．3＋i

C．－

＋

iD.

＋

i

答案：

A

训练2.当实数m为何值时，复数z＝

＋（m2－2m）i：

（1）为实数？

（2）为虚数？

（3）为纯虚数？

【解】　

（1）当

即m＝2时，复数z是实数．

（2）当m2－2m≠0且m≠0，即m≠0且m≠2时，复数z是虚数．

（3）当

即m＝－3时，复数z是纯虚数．

方法总结：

解决复数分类问题的方法与步骤

（1）化标准式：

解题时一定要先看复数是否为a＋bi（a，b∈R）的形式，以确定实部和虚部．

（2）定条件：

复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）即可．

（3）下结论：

设所给复数为z＝a＋bi（a，b∈R），

①z为实数⇔b＝0；

②z为虚数⇔b≠0；

③z为纯虚数⇔a＝0且b≠0.　

思延：

复数bi（b∈R）不一定是纯虚数，只有当b≠0时，复数bi（b∈R）才是纯虚数．

三、复数相等

1.问题引学

复数相等的条件是什么？

2、知识梳理

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di（a，b，c，d∈R），我们规定：

a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d．

3.知能拓展

4.能力点复数相等

典例3.根据下列条件，分别求实数x，y的值．

（1）x2－y2＋2xyi＝2i；

（2）（2x－1）＋i＝y－（3－y）i.

【答案】　

（1）

或

（2）

【解析】

（1）∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，

∴

解得

或

（2）∵（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，且x，y∈R，

∴

解得

思延】在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立

训练1.若（x－2y）i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为________．

答案：

－

　－

训练2.　若z1＝－3－4i，z2＝（n2－3m－1）＋（n2－m－6）i（m，n∈R），且z1＝z2，则m＋n＝（　　）

A．4或0B．－4或0

C．2或0D．－2或0

训练3.若log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，则实数x的值是________．

【解析】　训练2由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A.

训练3.因为log2（x2－3x－2）＋ilog2（x2＋2x＋1）>1，

所以

即

解得x＝－2.

【答案】　训练2.A　训练3.－2

思延：

判断与复数有关的命题是否正确的方法

（1）举反例：

判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这种类型的题时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．

（2）化代数形式：

对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部．

[提醒]　解答复数概念题，一定要紧扣复数的定义，牢记i的性质．　

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．（　　）

（2）复数z1＝3i，z2＝2i，则z1＞z2.（　　）

（3）复数z＝bi是纯虚数．（　　）

（4）实数集与复数集的交集是实数集．（　　）

（5）a＋bi=c＋di，则a=b，c=d．（　　）

（6）若a，b，c，d为实数，且a＋bi=c＋di，则a=b，c=d．（　　）

答案：

（1）×　

（2）×（3）×　（4）√（5）×　（6）√

2．若复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，则实数m的值为（　　）

A．－1B．2

C．1D．－1或2

解析：

选D.因为复数z＝m2－1＋（m2－m－2）i为实数，

所以m2－m－2＝0，解得m＝－1或m＝2.

3．若复数z＝（m＋1）＋（m2－9）i＜0，则实数m的值等于____________．

解析：

因为z＜0，所以

解得m＝－3.

答案：

－3

4．已知

＝（x2－2x－3）i（x∈R），则x＝________．

解析：

因为x∈R，所以

∈R，

由复数相等的条件得

解得x＝3.

答案：

3

5.已知A＝{1，2，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i}，B＝{－1，3}，A∩B＝{3}，求实数a的值．

解：

由题意知，a2－3a－1＋（a2－5a－6）i＝3（a∈R），

所以

即

所以a＝－1.

第七章　　　　　　复数

7.1　复数的概念

第1课时数系的扩充和复数的概念

1．以－3＋i的虚部为实部，以3i＋i2的实部为虚部的复数是（　　）

A．1－i　　　　　　　　　B．1＋i

C．－3＋3iD．3＋3i

解析：

选A.－3＋i的虚部为1，3i＋i2＝－1＋3i的实部为－1，故所求复数为1－i.

2．在复平面内，复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i是纯虚数，则（　　）

A．a＝0或a＝2B．a＝0

C．a≠1且a≠2D．a≠1或a≠2

解析：

选B.因为复数z＝（a2－2a）＋（a2－a－2）i是纯虚数，所以a2－2a＝0且a2－a－2≠0，所以a＝0.

3．若xi－i2＝y＋2i，x，y∈R，则复数x＋yi＝（　　）

A．－2＋iB．2＋i

C．1－2iD．1＋2i

解析：

选B.由i2＝－1，得xi－i2＝1＋xi，则由题意得1＋xi＝y＋2i，根据复数相等的充要条件得x＝2，y＝1，故x＋yi＝2＋i.

4．复数z＝a2－b2＋（a＋|a|）i（a，b∈R）为实数的充要条件是（　　）

A．|a|＝|b|B．a<0且a＝－b

C．a>0且a≠bD．a≤0

解析：

选D.复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故选D.

5．下列命题：

①若z＝a＋bi，则仅当a＝0且b≠0时，z为纯虚数；

②若z

＋z

＝0，则z1＝z2＝0；

③若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系．

其中正确命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

选A.在①中未对z＝a＋bi中a，b的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则z

＋z

＝1－1＝0，但z1≠z2≠0，故②错误；在③中忽视0·i＝0，故③也是错误的．故选A.

6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________．

解析：

由复数相等可知

所以

答案：

　1

7．复数z1＝（2m＋7）＋（m2－2）i，z2＝（m2－8）＋（4m＋3）i，m∈R，若z1＝z2，则m＝________.

解析：

因为m∈R，z1＝z2，所以（2m＋7）＋（m2－2）i＝（m2－8）＋（4m＋3）i.由复数相等的充要条件得

解得m＝5.

答案：

5

8．设z＝log2（1＋m）＋ilog

（3－m）（m∈R）是虚数，则m的取值范围是________．

解析：

因为z为虚数，所以log

（3－m）≠0，

故

解得－1

答案：

（－1，2）∪（2，3）

9．已知复数z＝（m2＋5m＋6）＋（m2－2m－15）i（m∈R）．

（1）若复数z是实数，求实数m的值；

（2）若复数z是虚数，求实数m的取值范围；

（3）若复数z是纯虚数，求实数m的值；

（4）若复数z是0，求实数m的值．

解：

（1）当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，

所以m＝5或－3.

（2）当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数．

所以m≠5且m≠－3.

所以实数m的取值范围为{m|m≠5且m≠－3}．

（3）当

时，复数z是纯虚数，所以m＝－2.

（4）当

时，复数z是0，所以m＝－3.

10．已知关于x，y的方程组

有实数解，求实数a，b的值．

解：

设（x0，y0）是方程组的实数解，由已知及复数相等的条件，得

由①②得

代入③④得

所以实数a，b的值分别为1，2.

1．“复数4－a2＋（1－a＋a2）i（a∈R）是纯虚数”是“a＝－2”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：

选B.因为1－a＋a2＝

＋

＞0，所以若复数4－a2＋（1－a＋a2）i（a∈R）是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2；当a＝－2时，4－a2＋（1－a＋a2）i＝7i为纯虚数，故选B.

2．满足方程x2－2x－3＋（9y2－6y＋1）i＝0的实数对（x，y）表示的点的个数为________．

解析：

由题意知

解得

或

所以实数对（x，y）表示的点有

，

，共有2个．

答案：

2

3．已知复数z＝m2＋3m＋1＋（m2＋5m＋6）i<0（m∈R），则m的值为________．

解析：

因为z<0，所以z∈R，

所以m2＋5m＋6＝0，

解得m＝－2或m＝－3.

当m＝－3时，z＝1>0，不符合题意，舍去；

当m＝－2时，z＝－1<0，符合题意．

故m的值为－2.

答案：

－2

4．已知集合M＝{（a＋3）＋（b2－1）i，8}，集合N＝{3i，（a2－1）＋（b＋2）i}，且M∩NM，M∩N≠∅，求整数a，b的值．

解：

若M∩N＝{3i}，则（a＋3）＋（b2－1）i＝3i，即a＋3＝0且b2－1＝3，得a＝－3，b＝±2.

当a＝－3，b＝－2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8}，M∩N＝M，不合题意，舍去；

当a＝－3，b＝2时，M＝{3i，8}，N＝{3i，8＋4i}．符合题意．

所以a＝－3，b＝2.

若M∩N＝{8}，则8＝（a2－1）＋（b＋2）i，

即a2－1＝8且b＋2＝0，得a＝±3，b＝－2.

当a＝－3，b＝－2时，不合题意，舍去；

当a＝3，b＝－2时，M＝{6＋3i，8}，N＝{3i，8}，符合题意．

所以a＝3，b＝－2.

若M∩N＝{（a＋3）＋（b2－1）i}＝{（a2－1）＋（b＋2）i}，则

即

此方程组无整数解．

综上可得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.

5．已知复数z1＝－a2＋2a＋ai，z2＝2xy＋（x－y）i，其中a，x，y∈R，且z1＝z2，求3x＋y的取值范围．

解：

由复数相等的充要条件，得

，消去a，得x2＋y2－2x＋2y＝0，即（x－1）2＋（y＋1）2＝2.

法一：

令t＝3x＋y，则y＝－3x＋t.

分析知圆心（1，－1）到直线3x＋y－t＝0的距离d＝

≤

，

解得2－2

≤t≤2＋2

，

即3x＋y的取值范围是[2－2

，2＋2

]．

法二：

令

得

（α∈R）

所以3x＋y＝

sinα＋3

cosα＋2＝2

sin（α＋φ）＋2（其中tanφ＝3），于是3x＋y的取值范围是[2－2

，2＋2

]．