Ft1,…tm,tm.1…t“（X1,Xm"）=Ft,tm（X1,Xm）
3、Kolmogorov定理
定理：
设分布函数族｛Ft1,t2；.ln（x1,x2xn）,t’t?
…tn^T,n31｝满足上述的对称
性和相容性，则必存在一个随机过程｛X（t）,t•T｝,使
｛Ft1,t2..fn（x1,X2Xn）,t1,t2,…tnWT,n启1｝恰好是｛X（t）,tET｝的有限维分布族。
定义：
设｛X（t）,t-T｝是一随机过程：
（1）称X（t）的期望b（t）二E[X（t）]（如果存在）为过程的均值函数。
2
（2）如果-ST,E[X（t）]存在，则称随机过程｛X（t）,rT｝为二阶矩过程。
此时，称函数（t.,t2）=E[（X（tJ-」X（t1））（X（t2）-」X（t2））],t.,t2・T为过程的协方差函数；称Var[X（t）^;（t,t）为过程的方差函数；称
Rx（s,t）=E[X（s）X（t）],s,rT为自相关函数。
例：
X（t）=X0•tv（a乞t岂b），其中X0和V是相互独立的且均服从N（0,1）分布的随机
变量，求-iX（t）和（t,,t2）。
三、随机过程的基本类型
独立增量过程：
如果对任意t-t2，…，tn•T,X：
：
：
t2：
：
：
…•：
：
：
tn,随机变量X（t2）—X（t,）,
X（tn）-X（tn二）是相互独立的，则称｛X（t）,t-T｝是独立增量过程。
平稳增量过程：
如果对任意t,,t2，有X（t什h）-X（ti）dX（t2+h）-X（t2），则称｛X（t）,t.二T｝是平稳
增量过程。
平稳独立增量过程：
兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，例如Poisson
过程禾口Brownianmotion
Poisson过程
2.1Poisson过程
1.计数过程
定义：
随机过程｛N（t）,t_0｝称为计数过程，如果N（t）表示从0到t时刻某一特定事件A发生的次数，它具备以下两个特点：
（1）N（t）_0且取值为整数；
（2）s:
:
:
t时，N（s）iiLN（t）且N（t）-N（s）表示（s,t］时间内事件A发生的次数。
2.Poisson过程
定义2.1.1:
计数过程｛N（t）,t-0｝称为参数为■（■0）的Poisson过程，如果
（1）N（0）=0;
（2）过程具有独立增量性；
（3）在任一长度为t的时间区间中事件发生的次数服从均值为■t的Poisson分布，即对一
切s_0,
n
t>0，有P（N（t+s）_N（s）=n）=e一兀,n=0,1，…
n!
注：
Poisson过程具有平稳增量性
因为N（t•s）_N（s）的分布只依赖于t,与区间起点s无关，令s=0,
.m（t）二EN（t）=
于是可认为■是单位时间内发生的事件的平均次数，一般称•是Poisson过程的强度。
例2.1.1:
（Poisson过程在排队论中的应用）研究随机服务系统中的排队现象时，经常用到Poisson过程模型。
例如：
到达电话总机的呼叫数目，到达某服务设施（商场、车站、购票处等）的顾客数，都可以用Poisson过程来描述。
以某火车站售票处为例，设从早上8:
00开
始，此售票处连续售票，乘客以10人/小时的平均速率到达，则9:
00-10:
00这一小时内最多
有5名乘客来此购票的概率是多少？
10:
00-11:
00没有人来买票的概率是多少？
解：
我们用一个Poisson过程来描述，设8:
00为时刻0,则9:
00为时刻1，参数•=10，于
N（t）表示某公路交叉口、矿山、
例2.1.2:
（事故发生次数及保险公司接到的索赔数）若以
工厂等场所在（0,t]时间内发生不幸事故的数目，则Poisson过程就是｛n（t）,t>0｝的一种
很好近似。
例如，保险公司接到赔偿请求的次数（设一次事故导致一次索赔），向315台的
投诉（设商品出现质量问题为事故）等都是可以用Poisson过程的模型。
我们考虑一种最简
单的情形，设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接到索赔要求4次，则一年中它要付出
的金额平均为多少？
解：
设一年开始时刻为0,1月末为时刻1,…年末为时刻12,则有
P{N（12）—N（0）=n}=（4°2）e，沢2n!
£（4X12）
E[N（12）—N（0）]=送n，e=48
n仝n!
问题：
为什么实际中有这么多现象可以用Poisson过程来反映呢?
定义2.1.2:
计数过程:
N（t）,t-0称为Poisson过程如果满足：
（i）N（t）=0;
（ii）过程有平稳独立增量
（iii）存在’0,当h儿0时，P^N（h）=1^ho（h）;
（iv）当h儿0时，P：
N（h）_2；=o（h）.
定理2.1.1:
定义1和定义2是等价的。
例2.1.3:
事件A的发生形成强度为丸的Poisson过程｛N（t）,t二0｝,如果每次事件发生时以概率p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t被记录下来的事件总数，则｛M（t）,t_0｝是一个强度为■p的Poisson过程。
例2.1.4:
若每条蚕的产卵数服从Poisson分布，强度为，，而每个卵变为成虫的概率为p，
且每个卵是否变为成虫彼此间没有关系，求在时间[0,t]内每条蚕养活k只小蚕的概率。
2.2与Poisson过程相联系的若干分布
设Tn表示第n次事件发生的时刻，n=1,2,…，规定T。
=0。
Xn表示第n次与第n-1次事件发生的间隔时间，n=1,2，…。
1.关于Xn和匚的分布
定理2.2.1:
Xn（n=1,2，…）服从参数为■的指数分布，且相互独立。
定理2.2.2:
Tn（n=1,2,…）服从参数为n和’的丨分布。
注：
如果每次事件发生的时间间隔X,,X2,....相互独立，且服从同一参数为■的指数分布，
则计数过程｛N（t）,t_0｝是参数为■的Poisson过程。
例2.2.1:
设从早上8:
00开始有无穷多的人排队等候服务，只有一名服务员，且每个人接受服务的时间是独立的并服从均值为20min的指数分布，则到中午12:
00为止平均有多少人已
经离去，已有9个人接受服务的概率是多少？
例222：
假设某天文台观测到的流星流是一个Poisson过程，根据以往资料统计为每小时平
均观察到3颗流星。
试求：
上午8:
00-12:
00期间，该天文台没有观察到流星的概率。
2.事件发生时刻的条件分布
s
对于s乞t，有P{「乞s|N（t）=1}
t
现在考虑n_2的情况：
定理2.2.1：
在已知N（t）二n的条件下，事件发生的n个时刻T1,T2,…Tn的联合分布密度
Bn!
疋f（t1,t2tn）-，0:
:
:
X：
：
：
t2：
：
：
…tn
t
例2.2.3:
乘客按照强度为，的Poisson过程来到某火车站，火车在时刻t启程，计算在（0,t]
2.3Poisson过程的推广
1.非齐次Poisson过程
定义2.3.1:
计数过程｛n（t）,t_0｝称作强度函数为■（t）.0（t_0）的非齐次Poisson过程,
如果
（1）N（t）=0;
（ii）｛N（t）,t_0｝具有独立增量
（iii）P:
N（th）—N（t）■（t）h-o（h）;
（iv）P:
N（t•h）一N（t）_2｝=o（h）.
等价定义：
定义2.3.2:
计数过程｛N（t）,t-0｝称作强度函数为•（t）.0（t_0）的非齐次Poisson过程,
若
（1）N（0）=0；
（2）｛N（t）,t_0｝具有独立增量性；
一t*
（3）即任意实数t_0,s.0，N（ts^N（t）为具有参数m（t-s）-m（t）-■（u）du
t
的Poisson分布，称m（t）（s）ds为非齐次Poisson过程的均值函数（或累积强度函数），
定理2.3.1:
设｛N（t）,t_0｝是一个强度函数为■（t）.0（t-0）的非齐次Poisson过程。
对
任意的t_0，令N*（t）=N（m」（t））,则｛N*（t）｝是一个强度为1的Poisson过程。
例2.3.1:
设某设备的使用期限为10年，在前5年内它平均2.5年需要维修一次，后5年平
均2年需维修一次。
试求它在试用期内只维修过一次的概率。
2.复合Poisson过程
定义233:
称随机过程｛X（t）,t_0｝为复合Poisson过程，如果对于t_0，它可以表示
N（t）
为：
X（t）=7Yj,其中｛N（t）,t_0｝是一个Poisson过程，｛Y,i=1,2^｝是一族独
i仝
立同分布的随机变量，并且与｛N（t）,t_0｝独立。
注：
复合Poisson过程不一定是计数过程。
例2.3.2:
保险公司接到的索赔次数服从一个Poisson过程｛n（t）,t_0｝,每次要求赔付的
金额Yi都相互独立，且有相同分布F，每次的索赔数额与它发生的时刻无关，则［0,t］时间
内保险公司需要赔付的总金额｛X（t）,t_0｝就是一个复合Poisson过程，其中
N（t）
X（t）八Y。
i土
例2.3.3:
设顾客到达某服务系统的时刻S1,S2,…，形成一强度为■的Poisson过程，在每
个时刻Sn（n=1,2，…），可以同时有多名顾客到达。
Yn表示在时刻Sn到达的顾客人数，
假定Yn（n=1,2，…）相互独立，并且与｛Sn｝也独立，则在［0,t］时间内到达服务系统的顾客总人数可用一复合Poisson过程来描述。
例2.3.4:
假定顾客按照参数为■的Poisson过程进人一个商店，又假设各顾客所花的钱数形
成一族独立同分布的随机变量。
以X（t）记到时间t为止顾客在此商店所花费的总值，易见
｛X（t）,t-0｝是一个复合Poisson过程。
N（t）
定理2.3.2：
设｛x（t）=7Yi,t_0｝是一复合Poisson过程，Poisson过程｛N（t）,t_0｝的
iA
强度为•，则
（1）X（t）有独立增量；
22
（2）若E[Yj]：
：
：
:
:
，则E[X（t）]二tEM]，Var[X（t）]Y.tE[£]
例2.3.5:
在保险中的索赔模型中，设索赔要求以Poisson过程到达保险公司，速率为平均每
月两次。
每次索赔服从均值为10000元的正态分布，则一年中保险公司平均的赔付额是多
少？
例2.3.6:
设顾客以每分钟6人的平均速率进入某商场，这一过程可用用Poisson过程来描述。
又该进入该商场的每位顾客买东西的概率为0.9，且每位顾客是否买东西互不影响，也与进
入该商场的顾客数无关。
求一天（12小时）在该商场买东西的顾客数的均值。
3.条件Poisson过程
定义234:
设随机变量.0，在-■的条件下，计数过程｛N（t）,t_0｝是参数为•的
Poisson过程，则称｛N（t）,t_0｝为条件Poisson过程。
2
定理233:
设｛N（t）,t_0｝是条件Poisson过程，且e[上]：
：
：
：
:
，则
（1）E[N（t）]=tEL\]；
2
（2）Var[N（t）]=tVar[_\]-tE[_\]
例2.3.7:
设意外事故的发生频率受某种未知因素影响有两种可能「，‘2，且P（「.-r）=P，
P（用.=■爲）=1一p=q，o：
：
：
p:
:
:
1为已知。
已知到时刻t已发生了n次事故。
求下一次事故在t+s之前不会到来的概率。
另外，这个发生频率为的概率是多少？
第三章Markov链
3.1基本概念
定义3.1.1:
随机过程｛Xn,n=0,1,2—｝称为Markov链，若它只取有限或可列个值（常
J,i0,i1,inJ，
用非负整数集｛0,1,2…｝来表示），并且对任意的n_0，及任意状态i
有P{Xn1=J1X。
=i°,…，Xn」「nJ，Xn=i}=P{X.1二J|X.=i}，其中X^i表示
过程在时刻n处于状态i，称｛0,1,2-｝为该过程的状态空间，记为E.上式刻画了Markov
链的特性，称为Markov性。
定义3.1.2:
称条件概率P｛Xnd=J|Xn=i｝为Markov链｛Xn,n二0,1,2—｝的一步转
移概率，简称转移概率，记为Ph,它代表处于状态i的过程下一步转移到状态j的概率。
定义3.1.3:
当Markov链的转移概率=p｛xn*=j|Xn=i｝只与状态i,j有关，而与n
无关时，称之为时齐Markov链；否则，就称之为非时齐的。
注：
我们只讨论时齐Markov链，简称Markov链。
定义3.1.4：
当Markov链的状态为有限时，称为有限链，否则称为无限连。
但无论状态有限
还是无限,
我们都可以将
Pij
（i,
j=E）排成一个矩阵的形式，令
-
p00
p01
p02
•叮
p=（Pij）
=
p10
P11
p12
■■■■
为转移概率矩阵，简称转移矩阵。
容易看出Pj（i,j€e）
p20
p21
p22
■
-
具有性质:
（1）Pij
>
0，i
j€E
；
（2）送
Pij
=1,
Vie
E。
j珏
S，若他患病，认
例3.1.1:
考虑一个包含三个状态的模型，若个体健康，认为他处于状态
|Pl1Pl2pi3|
P=P21P22P23
001
例3.1.2:
（赌徒的破产或称带吸收壁的随机游动）系统的状态时0〜n，反映赌博者在赌博期间拥有的钱数，当他输光或拥有钱数为n时，赌博停止，否则他将持续赌博。
每次以概率
P赢得1,以概率q=1-p输掉1。
这个系统的转移矩阵为
1000000
q0p0…000
9999999
Q.aaaaaaa
■■■■・・・
0000…q0p
0000…001
例3.1.3:
（带反射壁的随机游动）设上例中当赌博者输光时将获得赞助1继续赌下去，就如同一个在直线上做随机游动的球在到达左侧0点处立刻反弹回一样，这就是一个一侧带有反射壁的随机游动，此时转移矩阵为：
0100000
q0p0…000
9999999
D—3333333
■■■■■■■
I。
000…q0p
卫000…001一
例3.1.4:
（自由随机游动）设一个球在全直线上做无限制的随机游动，它的状态为0，
0000
0000
9998
q0p0
0q0p
「3333
■Lq0p0
■L0q0p
-s--
P=
0000
0000
练习：
设有
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