八年级一元一次不等式教师讲义带答案.docx
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八年级一元一次不等式教师讲义带答案
第四章一元一次不等式（组）
考点一、不等式的概念（3分）
1、不等式：
用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：
对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法
考点二、不等式基本性质（3-5分）
1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：
在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；
考点三、一元一次不等式（6--8分）
1、一元一次不等式的概念：
一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：
（1）去分母
（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1
考点四、一元一次不等式组（8分）
1、一元一次不等式组的概念：
几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法
（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组
不等式：
①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
7、不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
经典例题透析
类型一：
解一元一次不等式组
1、解不等式组
，并把它的解集在数轴上表示出来。
思路点拨：
先求出不等式①②的解集，然后在数轴上表示不等式①②的解集，求出它们的公共部分即不等式组的解集。
解析：
解不等式①，得x≥－
；解不等式②，得x＜1。
所以不等式组的解集为－
≤x＜1
在数轴上表示不等式①②的解集如图。
总结升华：
用数轴表示不等式组的解集时，要切记：
大于向右画，小于向左画。
有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈。
举一反三：
【变式1】解不等式组：
解析：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
在数轴上表示这两个不等式的解集为：
∴原不等式组的解集为：
【变式2】解不等式组：
思路点拨：
在理解一元一次不等式组时要注意以下两点：
（1）不等式组里不等式的个数并未规定；
（2）在同一不等式组里的未知数必须是同一个.
（3）注意在数轴表示解集时“空心点”与“实心点”的区别
解法一：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
解不等式③，得：
在数轴上表示这三个不等式的解集为：
∴原不等式组的解集为：
解法二：
解不等式②，得：
解不等式③，得：
由
与
得：
再与
求公共解集得：
.
【变式3】解不等式组：
解析：
解不等式①得：
x＞－2
解不等式②得：
x＜－7
∴不等式组的解集为无解
【变式4】解不等式：
－1＜
≤5
思路点拨：
（1）把连写不等式转化为不等式组求解；
（2）根据不等式的性质，直接求出连写不等式的解集。
解法1：
原不等式可化为下面的不等式组
解不等式①，得x＞－1，解不等式②，得x≤8
所以不等式组的解集为－1＜x≤8。
即原不等式的解集为－1＜x≤8
解法2：
－1＜
≤5，－3＜2x－1≤15，－2＜2x≤16，－1＜x≤8。
所以原不等式的解集为－1＜x≤8
总结升华：
对于连写形式的不等式可以化成不等式组来求解，而对于只有中间部分含有未知数的连写形式的不等式也可以按照解不等式的步骤求解，如解法2.
【变式5】求不等式组
的整数解。
思路点拨：
按照不等式组的解法，先求出每个不等式的解集，在数轴上表示出各个不等式的解集，取其公共部分得到不等式的解集，再在不等式组的解集内求出符合要求的整数解。
解析：
解不等式①，得x≥
；解不等式②，得x≤4。
在数轴上表示不等式①②的解集（如图）
所以不等式组的解集为
≤x≤4。
所以它的整数解为3,4。
类型二、含参数的一元一次不等式组
2、若不等式组
无解，求a的取值范围.
思路点拨：
由两个不等式组成的不等式组无解只有一种情况，即“大大小小”，也就是说如果x比一个较大的数大，而比一个较小的数小，则这样的数x不存在.
解析：
依题意：
2a-5≥3a-2，
解得a≤-3
总结升华：
特别地，当2a-5与3a-2相等时，原不等式组也无解，请注意体会，以后做此类型的题目不要忽略对它们相等时的考虑.
举一反三：
【变式1】若不等式组
无解，则
的取值范围是什么？
解析：
要使不等式组无解，故必须
，从而得
.
【变式2】若关于
的不等式组
的解集为
，则
的取值范围是什么？
解析：
由
+1可解出
，
而由
可解出
，
而不等式组的解集为
，
故
，
即
.
总结升华：
上面两个例题给出不等式组的解集，反求不等式组中所含字母的取值范围，故要求较高.解这类题目的关键是对四种基本不等式组的解集的意义要深刻理解，如变式2，最后归结为对不等式组
解集的确定，这就要求熟悉“同小取小”的解集确定方法，当然也可借助数轴求解。
【变式3】不等式组
的解集为x＜2，试求k的取值范围.
解析：
，由①得x＜2,
由②得x＜k,
∵不等式组的解集为x＜2，
∴2≤k.即k≥2.
【变式4】已知关于
的不等式组
的整数解共有5个，求
的取值范围。
解析：
∵不等式组
的解为:
不等式组
的解为:
由于原不等式组有解，∴解集为
在此解集内包含5个整数，则这5个整数依次是
∴m必须满足
【变式5】若不等式组
的解集为－1＜x＜1，则（a＋b）2008＝＿＿＿。
解析：
由①知x＞a＋2，由②知x＜
，
∵a＋2＝－1，
＝1，∴a＝－3，b＝2，
∴a＋b＝－1，∴（a＋b）2008＝（－1）2008＝1。
类型三、建立不等式或不等式组解决实际问题
3、某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，求预定每组学生的人数。
思路点拨：
运用不等式解应用题的方法，找出题目中的不等关系，列不等式组，本题中的两个不等关系是：
① 9个小组中每组比预定的人数多1人，学生总数超过200人；②9个小组中每组比预定的人数少1人，学生总数不到190人。
解析：
设预定每组学生有x人，根据题意，得
解这个不等式组，得
，所以不等式组的解集是
，
其中符合题意的整数解只有一个x＝22。
答：
预定每组学生的人数为22人。
总结升华：
列不等式（组）解应用题，首先将题目中的不等关系用不等式表示出来，当求得未知数的值后，要检验，一是检验所求值是否是原不等式或不等式组的解，二是检验所求得的值是否与实际意义相符。
举一反三：
【变式1】某饮料厂为了开发新产品，用A、B两种果汁原料各19千克、17.2千克，试制甲、乙两种新型饮料共50千克，下表是试验的相关数据：
饮料每千克含量
甲
乙
A（单位：
千克）
0．5
0．2
B（单位：
千克）
0．3
0．4
（1）假设甲种饮料需配制x千克，请你写出满足题意的不等式组，并求出其解集。
（2）设甲种饮料每千克成本为4元，乙种饮料每千克成本为3元，这两种饮料的成本总额为y元，请用含
有x的式子来表示y。
并根据
（1）的运算结果，确定当甲种饮料配制多少千克时，甲、乙两种饮料
的成本总额最小？
解析：
（1）0.5x+0.2（50-x）≤19①
0.3x+0.4（50-x）≤17.2②
由①得x≤30,由②得x≥28
∴28≤x≤30
（2）y=4x+3（50-x），即y=x+150
因为x越小，则y越小，
所以当x=28时，甲、乙两种饮料的成本总额最少。
【变式2】某园林的门票每张10元，一次使用。
考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票人使用一年）。
年票分A、B、C三类：
A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需要再购买门票，每次3元。
（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计
算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。
（2）求一年中进入该园林至少多少次时，购买A类年票才比较合算。
思路点拨：
“合算”是指进园次数多而花钱少，或是花相同的钱进园的次数最多，显然是通过计算进行代数式比较和建立不等式（组）关系。
解：
（1）不可能选A类年票，
若选B类年票，则为10次；
若选C类年票，则为13次；
若不购买年票，则为8次
所以计划用80元花在该园林的门票上时，选择购买C类年票的方法进入园林的次数最多，
为13次。
（2）设至少超过x次时，购买A类年票才比较合算，
则60+2x＞120解得x＞30
40+3x＞120解得x＞26
10x＞120解得x＞12
∴x＞30
所以，一年中进入该园林至少超过30次时，购买A类年票才比较合算。
【变式3】若干名学生，若干间宿舍，若每间住4人将有20人无法安排住处；若每间住8人，则有一间宿舍的人不空也不满，问学生有多少人？
宿舍有几间？
解析：
设宿舍共有x间。
解得：
5＜x＜7
∵x为整数
∴x＝6
学生人数4×6＋20＝44（人）
答：
学生44人，宿舍6间。
【变式4】某学校计划组织385名师生租车旅游，现知道出租车公司有42座和60座客车，42座客车的租金为每辆320元，60座客车的租金为每辆460元，
（1）若学校单独租用这两种客车各需多少钱？
（2）若学校同时租用这两种客车8辆（可以坐不满），而且比单独租用一种车辆节省租金，请选择最节
省的租车方案。
解析：
（1）385÷42≈9.2 单独租用42座客车需10辆，租金为320×10＝3200（元）
385÷60≈6.4 单独租用60座客车需7辆，租金为460×7＝3220（元）
（2）设租用42座客车x辆，则60座客车需（8－x）辆
解得：
因x取整数x＝4，5
当x＝4时，租金为320×4＋460×（8－4）＝3120（元）
当x＝5时，租金为320×5＋460×（8－5）＝2980（元）
所以租5辆42座，3辆60座最省钱。
【变式5】解方程
。
由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与1和－2的距离之和为5的点对应的x的值。
在数轴上，1和－2的距离为3，满足方程的x对应点在1的右边或－2的左边，若x对应点在1的右边，由图（17）可以看出x＝2；同理，若x对应点在－2的左边，可得x＝－3，故原方程的解是x=2或x=－3
参考阅读材料，解答下列问题：
（1）方程
的解为
（2）解不等式
≥9；
（3）若
≤a对任意的x都成立，求a的取值范围
解：
（1）1或
．
（2）
和
的距离为7，
因此，满足不等式的解对应的点3与
的两侧．
当
在3的右边时，如图
（2），
易知
．
当
在
的左边时，如图
（2），
易知
．
原不等式的解为
或
（3）原问题转化为：
大于或等于
最大值．
当
时，
，
当
，
随
的增大而减小，
当
时，
，
即
的最大值为7．
故
．12分
一次不等式（组）中参数取值范围求解技巧
（提高部分）
已知一次不等式（组）的解集（特解），求其中参数的取值范围，以及解含方程与不等式的混合组中参变量（参数）取值范围，近年在各地中考卷中都有出现。
求解这类问题综合性强，灵活性大，蕴含着不少的技能技巧。
下面举例介绍常用的五种技巧方法。
一、化简不等式（组），比较列式求解
例1．若不等式
的解集为
，求k值。
解：
化简不等式，得x≤5k，比较已知解集
，得
，∴
。
例2．（2014年山东威海市中考题）若不等式组
的解集是x>3，则m的取值范围是（）。
A、m≥3 B、m=3 C、m<3 D、m≤3
解：
化简不等式组，得
，比较已知解集x>3，得3≥m,∴选D。
例3．（2014年重庆市中考题）若不等式组
的解集是-1 解：
化简不等式组，得
∵它的解集是-1 ∴
也为其解集，比较得
∴（a+1）（b-1）=-6.
评述：
当一次不等式（组）化简后未知数系数不含参数（字母数）时，比较已知解集列不等式（组）或列方程组来确定参数范围是一种常用的基本技巧。
二、结合性质、对照求解
例4．（2014年江苏盐城市中考题）已知关于x的不等式（1-a）x>2的解集为
，则a的取值范围是（）。
A、a>0 B、a>1 C、a<0 D、a<1
解：
对照已知解集，结合不等式性质3得：
1-a<0,即a>1，选B。
例5．（2014年湖北荆州市中考题）若不等式组
的解集是x>a，则a的取值范围是（）。
A、a<3 B、a=3 C、a>3 D、a≥3
解：
根确定不等式组解集法则：
“大大取较大”，对照已知解集x>a,得a≥3,∴选D。
变式（2014年重庆市初数赛题）关于x的不等式（2a-b）x>a-2b的解集是
，则关于x的不等式ax+b<0的解集为______。
三、利用性质，分类求解
例6．已知不等式
的解集是
，求a的取值范围。
解：
由解集
得x-2<0,脱去绝对值号，得
。
当a-1>0时，得解集
与已知解集
矛盾；
当a-1=0时，化为0·x>0无解；
当a-1<0时，得解集
与解集
等价。
∴
例7．若不等式组
有解，且每一个解x均不在-1≤x≤4范围内，求a的取值范围。
解：
化简不等式组，得
∵它有解，∴5a-6<3a
a<3；利用解集性质，题意转化为：
其每一解在x<-1或x>4内。
于是分类求解，当x<-1时，得
，
当x>4时，得4<5a-6
a>2。
故
或2 评述：
（1）未知数系数含参数的一次不等式，当不明确未知数系数正负情况下，须得分正、零、负讨论求解；对解集不在a≤x（2）要细心体验所列不等式中是否能取等号，必要时画数轴表示解集分析等号。
四、借助数轴，分析求解
例8．（2014年山东聊城中考题）已知关于x的不等式组
的整数解共5个，则a的取值范围是________。
解：
化简不等式组，得
有解，将其表在数轴上，
如图1，其整数解5个必为x=1,0,-1,-2,-3。
由图1得：
-4
变式:
（1）若上不等式组有非负整数解，求a的范围。
（2）若上不等式组无整数解，求a的范围。
（答：
（1）-1（2）a>1）
例9．关于y的不等式组
的整数解是-3，-2，-1，0，1。
求参数t的范围。
解：
化简不等式组，得
其解集为
借助数轴图2得
化简得
∴
。
评述：
不等式（组）有特殊解（整解、正整数解等）必有解（集），反之不然。
图2中确定可动点A、B的位置，是正确列不等式（组）的关键，注意体会。
五、运用消元法，求混台组中参数范围
例10.下面是三种食品A、B、C含微量元素硒与锌的含量及单价表。
某食品公司准备将三种食品混合成100kg，混合后每kg含硒不低于5个单位含量，含锌不低于4.5个单位含量。
要想成本最低，问三种食品各取多少kg?
A
B
C
硒（单位含量/kg）
4
4
6
锌（单位含量/kg）
6
2
4
单位（元/kg）
9
5
10
解 设A、B、C三种食品各取x，y，zkg，总价S元。
依题意列混合组
视S为参数，
（1）代入
（2）整体消去x+y得：
4（100-z）+6z≥500
z≥50,
（2）+（3）由不等式性质得：
10（x+z）+6y≥950,
由
（1）整体消去（x+z）得:
10（100-y）+6y≥950
y≤12.5，
再把
（1）与（4）联立消去x得：
S=900-4y+z≥900+4×（-12.5）+50,即S≥900。
∴当x=37.5kg,y=12.9kg,z=50kg时，S取最小值900元。
评述：
由以上解法得求混合组中参变量范围的思维模式：
由几个方程联立消元，用一个（或多个）未知数表示其余未知数，将此式代入不等式中消元（或整体消元），求出一个或几个未知数范围，再用它们的范围来放缩（求出）参数的范围。
涉及最佳决策型和方案型应用问题，往往需列混合组求解
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