十变量与函数同步练习.docx
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十变量与函数同步练习
2011-2012学年八年级数学（人教版上）同步练习第十四章
第一节变量与函数
【本讲教育信息】
一.教学内容：
变量与函数
1.变量和函数的有关定义.
2.如何确定自变量的取值范围，如何确定实际问题的函数关系式，并会求出函数值.
3.怎样用描点法画简单函数的图像，函数的三种表示方法.
二.知识要点：
1.变量与常量
在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.
区别变量与常量的方法就是：
看它们在这一“变化过程中”数值是否发生变化.
如：
以60千米/时的速度匀速行驶的汽车，路程s随时间t而变化，其中__________是不变的，所以是常量，__________和__________都是变化的，所以是变量.
2.函数
一般地，在某一变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
（1）函数涉及两个变量，不是一个，也不是两个以上.如y＝xz表示的就不是函数关系.
（2）对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应.如y2＝x，y不是x的函数，而y＝x2，y是x的函数.
3.函数值
（1）求函数值，实质上就是求代数式的值，就是将自变量的值代入自变量所在的代数式得到的值，如在
中，求当x＝1时的函数值？
（2）当函数值确定，求相应的自变量的值时，实际上就是解关于自变量的方程.如在y＝2x＋3中，当x为何值时，函数值是5？
4.自变量的取值范围
（1）使函数关系式有意义.①分母中含有字母的函数式，分母不能为0.如
有意义，必须x－2≠0，即x≠2.②偶次方根的被开方数非负.如
有意义，必须2x＋1≥0，即
.
（2）注意问题的实际意义.如在圆周长L＝2πr中r不能为负数，需r≥0.
5.描点法画函数图象的一般步骤
以画函数y＝（x＞0）的图象为例.
（1）列表，如下：
x
…
1
2
3
4
6
…
Y＝
…
6
3
2
1.5
1
…
（2）描点，如图1.
（3）连线，如图2.
6.三种表示函数的方法比较
表示函数的方法
优点
缺点
解析法
简单明了，能准确反映变化关系
抽象，有些实际问题不能用此法表达
列表法
一目了然，使用方便
列出的对应值有限，不容易看出函数规律
图象法
形象直观
由图象观察只能得到近似的数量关系
三.重点难点：
1.重点：
函数的一般概念，即变化与对应意义下的函数定义是本讲的重点.
2.难点：
由于函数概念的含义比较抽象、深刻，往往不能一下子从其定义的文字真正地理解它.突破难点的办法是由具体例子逐步过渡到抽象定义，多分析归纳具体问题，在具体问题中理解定义.
【典型例题】
例1.常量和变量在研究“某一变化过程中”时是确定的，以s＝vt为例（t为时间，v为速度，s为路程）：
①若速度v固定，则常量是__________，变量是__________；
②若时间t固定，则常量是__________，变量是__________.
分析：
①速度v固定，即在这个变化过程中v的取值保持不变，此时s随t的变化而变化，可以取不同的数值，故v为常量，s和t为变量；②t固定，即为常量，此时s和v可以取不同的数值，是变量.
解：
①v，s、t；②t，s、v
评析：
确定变量与常量时应具体问题具体分析.
例2.已知变量x与y的四种关系：
y＝︱x︱，︱y︱＝x，2x2－y＝0，2x－y2＝0其中y是x的函数的有__________个.
分析：
依函数定义，︱y︱＝x与2x－y2＝0中，x每取一个大于0的值，y都有两个与之对应，例如x＝4时，︱y︱＝4有y＝±4，故y不是x的函数；只有y＝︱x︱和2x2－y＝0中y是x的函数.
解：
2
评析：
本题没有指出变量x与y哪个是自变量，哪个是函数，但是由问题“y是x的函数”可判断x是自变量.
评析：
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且还要注意问题的实际意义.
例4.
（1）（2007年厦门）已知摄氏温度（℃）与华氏温度（℉）之间的转换关系是：
摄氏温度＝
×（华氏温度－32）.若华氏温度是68℉，则摄氏温度是__________℃.
（2）（2007年眉山）在某次实验中，测得两个变量m和v之间的4组对应数据如下表：
m
1
2
3
4
v
0.01
2.9
8.03
15.1
则m与v之间的关系最接近于下列各关系式中的 （ ）
A.v＝2m－2 B.v＝m2－1 C.v＝3m－3 D.v＝m＋1
分析：
（1）如果设摄氏温度为f，华氏温度为c，则f＝
（c－32），当c＝68时，f＝
×（68－32）＝20.
（2）从表格中很难推算出m与v之间的关系式，可以把它们的每一对值代入四个选项验证.
解：
（1）20
（2）B
评析：
（1）求函数值，实质上就是将自变量的值代入函数关系式，求代数式的值.
（2）有些实际问题不能准确地用函数解析式表示，但可以用一个近似关系式表示.
例5.拖拉机开始工作时，油箱中有油30升，每小时耗油5升.
（1）写出油箱中的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数表达式；
（2）求出自变量t的取值范围；
（3）画出函数的图像.
分析：
由于函数图像是函数关系的反映，因此所画的图像要与自变量的取值范围相一致，本题中自变量t的取值范围是0≤t≤6，因此它的图像是直线Q＝－5t＋30上的一部分（即一条线段）.
解：
（1）所求的函数关系表达式为Q＝－5t＋30；
（2）自变量t的取值范围是0≤t≤6；
（3）①列表：
t
0
2
4
6
q
30
20
10
0
②描点、连线，图像如图所示.
评析：
写函数关系式之前，要认真分析题意，看一个量是如何随另一个量的变化而变化的，找出它们之间的数量关系，然后用含一个量的式子来表示另一个量.在求自变量的取值范围时，要注意自变量的实际意义，而其中应特别关注临界点是否能取到——看实际中是否存在这种情形.
例6.（2008年浙江金华）三军受命，我解放军各部队奋力进入抗震救灾一线.现有甲、乙两支解放军小分队将救灾物资送往某重灾小镇，甲队先出发，从部队基地到小镇只有唯一通道，且路程为24km，如图是他们行走的路线关于时间的函数图象，四位同学观察此函数图象得出有关信息，其中正确的个数是 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
分析：
根据题意，过原点的那条曲线是甲队的图象，另一条是乙队的图象.在4.5小时处甲、乙所走过的路程相等，则乙队出发2.5小时后追上的甲队；乙队到达小镇用了6－2＝4小时，平均速度是24÷4＝6km/h；甲队比乙队早出发2小时，他们同时到达的小镇；甲队到达小镇用了6小时，从3小时到4小时，路程没有变化，表示停顿了1小时.
解：
D
评析：
函数的图象是一个由点组成的曲线，其中所有点的横坐标的集合恰好是自变量的取值范围.各点的纵坐标，分别是自变量取值为各横坐标时对应的函数值.
【方法总结】
学习函数图象时，注意由图象分析函数的变化趋势的学习，由图象分析数量变化规律是研究问题的方法之一.
【模拟试题】（答题时间：
45分钟）
一.选择题
1.若一辆汽车以50千米/时的速度匀速行驶，则行驶的路程s（千米）与行驶的时间t（时）之间的函数关系式是 （ ）
A.s＝50＋50t B.s＝50t C.s＝50－50t D.以上都不对
2.下列变量间的关系不是函数关系的是 （ ）
A.长方形的宽一定，其长与面积 B.正方形的周长与面积
C.圆的半径与面积 D.等腰三角形的底边长与面积
*3.如图所示的程序，若输入的x的值为－，则输出的y的值为 （ ）
4.（2008年广西桂林）2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离Ｓ（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是 （ ）
*5.（2007年盐城）如图，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水.在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列图象中最符合故事情景的是 （ ）
**6.学校春季运动会期间，负责发放奖品的张也同学，在发放运动鞋（奖品）时，对运动鞋的鞋码统计如下表：
新鞋码（y）
225
245
…
280
原鞋码（x）
35
39
…
46
如果获奖运动员李伟领取的奖品是43（原鞋码）的运动鞋，则这双运动鞋的新鞋码是 （ ）
A.270 B.255 C.260 D.265
**7.（2008年全国数学竞赛山东预赛）已知函数
，点P（x，y）在该函数的图象上.那么，点P（x，y）应在直角坐标平面的 （ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二.填空题
8.（2008年广州）函数y＝自变量x的取值范围是__________.
9.（2008年江苏苏州）函数y＝中，自变量x的取值范围是__________.
10.（2007年浙江金华）自由下落的物体的高度h（米）与下落的时间t（秒）的关系为h＝4.9t2.现在有一铁球从离地面19.6米高的建筑物的顶部做自由下落运动，到达地面需要的时间是__________秒.
11.一个梯形的上底长为5，下底长为x，高为6，则梯形的面积y与下底长x之间的函数关系式是__________，当下底x＝7时，梯形面积y＝__________.
12.函数y＝ax2＋3x的图像经过点（－1，1），则a＝__________.
**13.（2008年四川成都）某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图所示，那么乙播种机参与播种的天数是__________.
三.解答题
14.一根弹簧原来长12cm，每挂1千克的物体就伸长0.5cm，已知弹簧所挂物体的质量不能超过20千克，求弹簧长度y（cm）与所挂物体质量x（千克）之间的函数关系式.
*15.如图所示，正方形ABCD的边长为5，P为BC上一动点，若CP＝x，△ABP的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.
16.画出下列函数的图像.
（1）y＝2x
（2）
17.某工人要完成24个零件的生产任务；
（1）写出该工人完成任务的时间t（小时）与每小时定额a（件）之间函数关系式；
（2）求出这个函数的自变量的取值范围；
（3）画出这个函数的图像.
四.探究题
**18.一棵树苗的高度h（厘米）与测量的年份n满足如下关系：
年份n
高度h（厘米）
第1年
100
第2年
100＋5
第3年
100＋10
第4年
100＋15
（1）求第n年时，树苗的高度h；
（2）求第几年时，树苗高度为130厘米.
【试题答案】
一.选择题
1.B 2.D 3.B 4.C 5.D 6.D 7.B
二.填空题
8.x≠1 9.x≥1 10.2 11.y＝3x＋15，36 12.4
13.4（提示：
从第2天后，甲、乙一起播种，到第3天的一天时间里共播种350－200＝150（亩），第3天到最后播种了800－350＝450（亩），450÷150＝3（天），所以乙一共播种了4天.
三.解答题
14.y＝12＋0.5x（0≤x≤20）
15.y＝×5×（5－x）＝－x＋（0≤x≤5）
16.略
17.
（1）t＝
（2）a＞0（3）略
18.
（1）h＝100＋5（n－1）＝5n＋95
（2）当h＝130时，130＝5n＋95
解得n＝7
答：
第7年时，树苗高度为130厘米.
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