【举一反三】
物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0,各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )
解析:
由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故选B.
答案:
B
【热点题型】
题型三二次函数模型
例3、 (2013年高考陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:
m)的取值范围是( )
A.[15,20] B.[12,25]
C.[10,30]0,30]
【提分秘籍】
解决二次函数型实际应用问题时,除利用条件建立目标函数外,还要注意自变量的取值范围,如果涉及最值问题,要注意对称轴与定义区间的关系.
【举一反三】
某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单位:
万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:
辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为( )
A.45.606万元B.45.6万元
C.45.56万元D.45.51万元
【热点题型】
题型四分段函数模型
例4、 某旅游景点预计2014年1月份起前x个月的旅游人数的和p(x)(单位;万人)与x的关系近似地满足p(x)=
x(x+1)(39-2x)(x∈N*,且x≤12).已知第x个月的人均消费额q(x)(单位:
元)与x的近似关系是q(x)=
(1)写出2014年第x个月的旅游人数f(x)(单位:
人)与x的函数关系式:
(2)试问2014年第几个月旅游消费总额最大,最大月旅游消费总额为多少元?
【提分秘籍】分段函数模型的应用技巧
(1)很多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型,如出租车的票价与路程的函数就是分段函数.
(2)构建分段函数时,要做到分段合理,不重不漏,并要注意实际问题中各段自变量的取值范围,特别是端点值.
(3)在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值.
【举一反三】
如图,在平面直角坐标系中,AC平行于x轴,四边形ABCD是边长为1的正方形,记四边形位于直线x=t(t>0)左侧图形的面积为f(t),则f(t)的大致图象是( )
【热点题型】
题型五指数函数模型
例5、将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中,t分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y=aent.假设过5分钟后甲桶和乙桶的水量相等,若再过m分钟甲桶中的水只有
升,则m=________.
【提分秘籍】
指数函数型多涉及增长率、减少率、银行利率.细胞分裂等一系列问题,通常可以表示为y=a·(1+p)x的形式,利用指数运算与对数函数图象性质去求解.
【举一反三】
某电脑公司2012年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为400万元,占全年经营总收入的40%,该公司预计2014年经营总收入要达到1690万元,且计划从2012年到2014年每年经营总收入的年增长率相同,则2013年预计经营总收入为________万元.
【热点题型】
题型六函数的实际应用问题
例6、小王大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查,生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元,每生产x万件,需另投入流动成本为W(x)万元.在年产量不足8万件时,W(x)=
x2+x(万元);在年产量不小于8万件时,W(x)=6x+
-38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析,小王生产的商品能当年全部售完.
(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式;(注:
年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)年产量为多少万件时,小王在这一商品的生产中所获利润最大?
最大利润是多少?
【提分秘籍】
函数模型的应用有两个方面:
一方面是利用已知函数模型解决问题;另一方面是建立恰当的函数模型,并利用所得函数模型解决实际问题.
建立函数模型解应用问题的步骤如下:
(1)审题:
弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型;
(2)建模:
将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
(3)求模:
求解数学模型,得出数学结论;
(4)还原:
将利用数学知识和方法得出的结论,还原到实际问题中.
【高考风向标】
1.(2014·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )
A.
B.
C.
D.
-1
【答案】D 【解析】设年平均增长率为x,则有(1+p)(1+q)=(1+x)2,解得x=
-1.
2.(2014·陕西卷)如图12,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )
图12
A.y=
x3-
xB.y=
x3-
x
C.y=
x3-xD.y=-
x3+
x
3.(2013·陕西卷)设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有( )
A.[-x]=-[x]B.[2x]=2[x]
C.[x+y]≤[x]+[y]D.[x-y]≤[x]-[y]
4.(2013·重庆卷)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间( )
A.(a,b)和(b,c)内B.(-∞,a)和(a,b)内
C.(b,c)和(c,+∞)内D.(-∞,a)和(c,+∞)内
【随堂巩固】
1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数,其图象可能是( )
2.国家规定某行业收入税如下:
年收入在280万元及其以下的税率为p%,超过280万元的部分按(p+2)%征税,有一公司的实际缴税比例为(p+0.25)%,则该公司的年收入是( )
A.560万元 B.420万元
C.350万元 D.320万元
3.某单位为鼓励职工节约用水,作出了以下规定:
每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元的水费收费;用水超过10立方米的,超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为( )
A.13立方米 B.14立方米
C.18立方米 D.26立方米
4.某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税,税率为R%(即每销售100元征税R元),若年销售量为
万件,要使附加税不少于128万元,则R的取值范围是( )
A.[4,8] B.[6,10]
C.[4%,8%] D.[6%,100%]
5.某商店计划投入资金20万元经销甲、乙两种商品,已知经销甲商品与乙商品所获得的利润分别为P(万元)和Q(万元),且它们与投入资金x(万元)的关系是:
P=
,Q=
(a>0).若不管资金如何投放,经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于5万元,则a的最小值应为( )
A.
B.5
C.±
D.-
6.为了在“十一”黄金周期间降价搞促销,某超市对顾客实行购物优惠活动,规定一次购物付款总额:
①如果不超过200元,则不予优惠;②如果超过200元,但不超过500元,则按标价给予9折优惠;③如果超过500元,其中500元按第②条给予优惠,超过500元的部分给予7折优惠.辛云和她母亲两次去购物,分别付款168元和423元,假设她们一次性购买上述同样的商品,则应付款额为________.
7.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒,已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后,y与t的函数关系式为y=
t-a(a为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)从药物释放开始,每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系为________________________________________________________________________;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室,那么从药物释放开始,至少需要经过________小时后,学生才能回到教室.
8.某公司有价值a万元的一条流水线,要提高该流水线的生产能力,就要对其进行技术改造,从而提高产品附加值.改造需要投入,假设附加值y(单位:
万元)与技术改造投入x(单位:
万元)之间的关系满足:
①y与a-x和x2的乘积成正比例;②当x=
时,y=
;③0≤
≤t,其中t为常数,且t∈[0,2].
(1)设y=f(x),求f(x)的表达式,并求y=f(x)的定义域;
(2)求出附加值y的最大值,并求出此时的技术改造投入x的值.