A.1B.2C.3D.4
(2)(·郑州模拟)已知集合A={-1,1},B={x|ax+1=0},若B⊆A,则实数a的所有可能取值的集合为( ).
A.{-1}B.{1}C.{-1,1}D.{-1,0,1}
解析
(1)由题意知:
A={1,2},B={1,2,3,4}.又A⊆C⊆B,则集合C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.
(2)a=0时,B={x|1≠0}=∅⊆A;a≠0时,B=
⊆A,则-
=-1或-
=1,故a=0或a=1或-1.
答案
(1)D
(2)D
考点三 集合的基本运算
【例3】
(1)(·湖北卷)已知全集为R,集合A=
,B={x|x2-6x+8≤0},则A∩∁RB=( ).
A.{x|x≤0}B.{x|2≤x≤4}
C.{x|0≤x<2,或x>4}D.{x|0<x≤2,或x≥4}
(2)(·唐山模拟)若集合M={y|y=3x},集合S={x|y=lg(x-1)},则下列各式正确的是( ).
A.M∪S=MB.M∪S=S
C.M=SD.M∩S=∅
解析
(1)A=
={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},所以∁RB={x|x<2,或x>4},此时A∩∁RB={x|0≤x<2,或x>4}.
(2)M={y|y>0},S={x|x>1},故选A.
答案
(1)C
(2)A
规律方法一般来讲,集合中的元素离散时,则用Venn图表示;集合中的元素是连续的实数时,则用数轴表示,此时要注意端点的情况.
【训练3】
(1)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},则(∁UA)∪B为( ).
A.{1,2,4}B.{2,3,4}C.{0,2,4}D.{0,2,3,4}
(2)已知全集U=R,集合A={x|-1≤x≤3},集合B={x|log2(x-2)<1},则A∩(∁UB)=________.
解析
(1)∁UA={0,4},∴(∁UA)∪B={0,2,4}.
(2)由log2(x-2)<1,得0<x-2<2,2<x<4,所以B={x|2<x<4}.故∁UB={x|x≤2,或x≥4},从而A∩(∁UB)={x|-1≤x≤2}.
答案
(1)C
(2){x|-1≤x≤2}
数轴和韦恩(Venn)图是进行集合交、并、补运算的有力工具,数形结合是解集合问题的常用方法,解题时要先把集合中各种形式的元素化简,使之明确化,尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决.
学生用书第3页
创新突破1——与集合有关的新概念问题
【典例】已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( ).
A.3B.6C.8D.10
解析 法一(列表法) 因为x∈A,y∈A,所以x,y的取值只能为1,2,3,4,5,故x,y及x-y的取值如下表所示:
x
x-y
y
1
2
3
4
5
1
0
-1
-2
-3
-4
2
1
0
-1
-2
-3
3
2
1
0
-1
-2
4
3
2
1
0
-1
5
4
3
2
1
0
由题意x-y∈A,故x-y只能取1,2,3,4,由表可知实数对(x,y)的取值满足条件的共有10个,即B中的元素个数为10,故选D.
法二(直接法) 因为A={1,2,3,4,5},所以集合A中的元素都为正数,若x-y∈A,则必有x-y>0,x>y.
当y=1时,x可取2,3,4,5,共有4个数;
当y=2时,x可取3,4,5,共有3个数;
当y=3时,x可取4,5,共有2个数;
当y=4时,x只能取5,共有1个数;
当y=5时,x不能取任何值.
综上,满足条件的实数对(x,y)的个数为
4+3+2+1=10.
答案 D
[反思感悟]
(1)解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质,紧扣新定义进行推理论证,把其转化为我们熟知的基本运算.
(2)以集合为载体的新定义问题,是高考命题创新型试题的一个热点,常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等,这类试题中集合只是基本的依托,考查的是考生创造性解决问题的能力.
【自主体验】
1.(·广东卷)设整数n≥4,集合X={1,2,3,…,n}.令集合S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且三条件x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在S中,则下列选项正确的是( ).
A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∉S
B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S
C.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∈S
D.(y,z,w)∉S,(x,y,w)∉S
解析 题目中x<y<z,y<z<x,z<x<y恰有一个成立说明x,y,z是互不相等的三个正整数,可用特殊值法求解,不妨取x=1,y=2,z=3,w=4满足题意,且(2,3,4)∈S,(1,2,4)∈S,从而(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S成立.
答案 B
2.(·浙江部分重点中学调研)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“好元素”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”的集合共有( ).
A.6个B.12个C.9个D.5个
解析 依题意,可知由S的3个元素构成的所有集合中,不含“好元素”,则这3个元素一定是相连的3个数.故这样的集合共有6个.
答案 A
对应学生用书P219
基础巩固题组
(建议用时:
40分钟)
一、选择题
1.(·新课标全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-
<x<
},则( ).
A.A∩B=∅B.A∪B=R
C.B⊆AD.A⊆B
解析 集合A={x|x>2,或x<0},所以A∪B={x|x>2,或x<0}∪{x|-
<x<
}=R.
答案 B
2.(·广东卷)设集合S={x|x2+2x=0,x∈R},T={x|x2-2x=0,x∈R},则S∩T=( ).
A.{0}B.{0,2}C.{-2,0}D.{-2,0,2}
解析 S={-2,0},T={0,2},∴S∩T={0}.
答案 A
3.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有( ).
A.2个B.4个
C.6个D.8个
解析 P=M∩N={1,3},故P的子集共有4个.
答案 B
4.(·辽宁卷)已知集合A={x|0<log4x<1},B={x|x≤2},则A∩B=( ).
A.(0,1)B.(0,2]
C.(1,2)D.(1,2]
解析 0<log4x<1,即log41<log4x<log44,∴1<x<4,∴集合A={x|1<x<4},∴A∩B={x|1<x≤2}.
答案 D
5.设集合A={x|x2+2x-8<0},B={x|x<1},则图中阴影部分表示的集合为( ).
A.{x|x≥1}B.{x|-4<x<2}
C.{x|-8<x<1}D.{x|1≤x<2}
解析 阴影部分是A∩∁RB.集合A={x|-4<x<2},∁RB={x|x≥1},所以A∩∁RB={x|1≤x<2}.
答案 D
二、填空题
6.(·江苏卷)集合{-1,0,1}共有________个子集.
解析 所给集合的子集个数为23=8个.
答案 8
7.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为________.
解析 根据并集的概念,可知{a,a2}={4,16},故只能是a=4.
答案 4
8.集合A={x∈R||x-2|≤5}中的最小整数为________.
解析 由|x-2|≤5,得-5≤x-2≤5,即-3≤x≤7,所以集合A中的最小整数为-3.
答案 -3
三、解答题
9.已知集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,a-2,a2+1},若A∩B={-3},求A∪B.
解 由A∩B={-3}知,-3∈B.
又a2+1≥1,故只有a-3,a-2可能等于-3.
①当a-3=-3时,a=0,此时A={0,1,-3},B={-3,-2,1},A∩B={1,-3}.
故a=0舍去.
②当a-2=-3时,a=-1,
此时A={1,0,-3},B={-4,-3,2},
满足A∩B={-3},从而A∪B={-4,-3,0,1,2}.
10.设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},
(1)若B⊆A,求a的值;
(2)若A⊆B,求a的值.
解
(1)A={0,-4},
①当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=8(a+1)<0,解得a<-1;
②当B为单元素集时,a=-1,此时B={0}符合题意;
③当B=A时,由根与系数的关系得:
解得a=1.
综上可知:
a≤-1或a=1.
(2)若A⊆B,必有A=B,由
(1)知a=1.
能力提升题组
(建议用时:
25分钟)
一、选择题
1.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( ).
A.5B.4C.3D.2
解析 当x=-1,y=0时,z=-1;当x=-1,y=2时,z=1;
当x=1,y=0时,z=1;当x=1,y=2时,z=3.故z的值为-1,1,3,故所求集合为{-1,1,3},共含有3个元素.
答案 C
2.(·江西七校联考)设全集U=R,集合M={x|y=lg(x2-1)},N={x|0<x<2},则N∩(∁UM)=( ).
A.{x|-2≤x<1}B.{x|0<x≤1}
C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x<1}
解析 M={x|y=lg(x2-1)}={x|x2-1>0}={x|x>1,或x<-1},所以∁UM={x|-1≤x≤1},结合数轴易得N∩(∁UM)={x|0<x≤1}.
答案 B
二、填空题
3.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________.
解析 A={x|-5答案 -1 1
三、解答题
4.已知集合A={y|y=2x-1,0<x≤1},B={x|(x-a)[x-(a+3)]<0}.分别根据下列条件,求实数a的取值范围.
(1)A∩B=A;
(2)A∩B≠∅.
解 因为集合A是函数y=2x-1(0<x≤1)的值域,所以A=(-1,1],B=(a,a+3).
(1)A∩B=A⇔A⊆B⇔
即-2<a≤-1,故当A∩B=A时,a的取值范围是(-2,-1].
(2)当A∩B=∅时,结合数轴知,a≥1或a+3≤-1,即a≥1或a≤-4.
故当A∩B≠∅时,a的取值范围是(-4,1).
学生用书第3页