A．1B．2C．3D．4
（2）（·郑州模拟）已知集合A＝{－1,1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（ ）．
A．{－1}B．{1}C．{－1,1}D．{－1,0,1}
解析
（1）由题意知：
A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}．又A⊆C⊆B，则集合C可能为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}．
（2）a＝0时，B＝{x|1≠0}＝∅⊆A；a≠0时，B＝
⊆A，则－
＝－1或－
＝1，故a＝0或a＝1或－1.
答案
（1）D
（2）D
考点三 集合的基本运算
【例3】
（1）（·湖北卷）已知全集为R，集合A＝
，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩∁RB＝（ ）．
A．{x|x≤0}B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x＜2，或x＞4}D．{x|0＜x≤2，或x≥4}
（2）（·唐山模拟）若集合M＝{y|y＝3x}，集合S＝{x|y＝lg（x－1）}，则下列各式正确的是（ ）．
A．M∪S＝MB．M∪S＝S
C．M＝SD．M∩S＝∅
解析
（1）A＝
＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}，所以∁RB＝{x|x＜2，或x＞4}，此时A∩∁RB＝{x|0≤x＜2，或x＞4}．
（2）M＝{y|y＞0}，S＝{x|x＞1}，故选A.
答案
（1）C
（2）A
规律方法一般来讲，集合中的元素离散时，则用Venn图表示；集合中的元素是连续的实数时，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【训练3】
（1）已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则（∁UA）∪B为（ ）．
A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}
（2）已知全集U＝R，集合A＝{x|－1≤x≤3}，集合B＝{x|log2（x－2）＜1}，则A∩（∁UB）＝________.
解析
（1）∁UA＝{0,4}，∴（∁UA）∪B＝{0,2,4}．
（2）由log2（x－2）＜1，得0＜x－2＜2,2＜x＜4，所以B＝{x|2＜x＜4}．故∁UB＝{x|x≤2，或x≥4}，从而A∩（∁UB）＝{x|－1≤x≤2}．
答案
（1）C
（2）{x|－1≤x≤2}
数轴和韦恩（Venn）图是进行集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要先把集合中各种形式的元素化简，使之明确化，尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．
学生用书第3页
创新突破1——与集合有关的新概念问题
【典例】已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）．
A．3B．6C．8D．10
解析 法一（列表法） 因为x∈A，y∈A，所以x，y的取值只能为1,2,3,4,5，故x，y及x－y的取值如下表所示：
x
x－y
y
1
2
3
4
5
1
0
－1
－2
－3
－4
2
1
0
－1
－2
－3
3
2
1
0
－1
－2
4
3
2
1
0
－1
5
4
3
2
1
0
由题意x－y∈A，故x－y只能取1,2,3,4，由表可知实数对（x，y）的取值满足条件的共有10个，即B中的元素个数为10，故选D.
法二（直接法） 因为A＝{1,2,3,4,5}，所以集合A中的元素都为正数，若x－y∈A，则必有x－y＞0，x＞y.
当y＝1时，x可取2,3,4,5，共有4个数；
当y＝2时，x可取3,4,5，共有3个数；
当y＝3时，x可取4,5，共有2个数；
当y＝4时，x只能取5，共有1个数；
当y＝5时，x不能取任何值．
综上，满足条件的实数对（x，y）的个数为
4＋3＋2＋1＝10.
答案 D
[反思感悟]
（1）解决集合中新定义问题的关键是准确理解新定义的实质，紧扣新定义进行推理论证，把其转化为我们熟知的基本运算．
（2）以集合为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
【自主体验】
1．（·广东卷）设整数n≥4，集合X＝{1,2,3，…，n}．令集合S＝{（x，y，z）|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若（x，y，z）和（z，w，x）都在S中，则下列选项正确的是（ ）．
A．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∉S
B．（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S
C．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∈S
D．（y，z，w）∉S，（x，y，w）∉S
解析 题目中x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立说明x，y，z是互不相等的三个正整数，可用特殊值法求解，不妨取x＝1，y＝2，z＝3，w＝4满足题意，且（2,3,4）∈S，（1,2,4）∈S，从而（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S成立．
答案 B
2．（·浙江部分重点中学调研）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1∉A，且k＋1∉A，那么称k是A的一个“好元素”．给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）．
A．6个B．12个C．9个D．5个
解析 依题意，可知由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数．故这样的集合共有6个．
答案 A
对应学生用书P219
基础巩固题组
（建议用时：
40分钟）
一、选择题
1．（·新课标全国Ⅰ卷）已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝{x|－
＜x＜
}，则（ ）．
A．A∩B＝∅B．A∪B＝R
C．B⊆AD．A⊆B
解析 集合A＝{x|x＞2，或x＜0}，所以A∪B＝{x|x＞2，或x＜0}∪{x|－
＜x＜
}＝R.
答案 B
2．（·广东卷）设集合S＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，T＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则S∩T＝（ ）．
A．{0}B．{0,2}C．{－2,0}D．{－2,0,2}
解析 S＝{－2,0}，T＝{0,2}，∴S∩T＝{0}．
答案 A
3．已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有（ ）．
A．2个B．4个
C．6个D．8个
解析 P＝M∩N＝{1,3}，故P的子集共有4个．
答案 B
4．（·辽宁卷）已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|x≤2}，则A∩B＝（ ）．
A．（0,1）B．（0,2]
C．（1,2）D．（1,2]
解析 0＜log4x＜1，即log41＜log4x＜log44，∴1＜x＜4，∴集合A＝{x|1＜x＜4}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．
答案 D
5．设集合A＝{x|x2＋2x－8＜0}，B＝{x|x＜1}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）．
A．{x|x≥1}B．{x|－4＜x＜2}
C．{x|－8＜x＜1}D．{x|1≤x＜2}
解析 阴影部分是A∩∁RB.集合A＝{x|－4＜x＜2}，∁RB＝{x|x≥1}，所以A∩∁RB＝{x|1≤x＜2}．
答案 D
二、填空题
6．（·江苏卷）集合{－1,0,1}共有________个子集．
解析 所给集合的子集个数为23＝8个．
答案 8
7．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．
解析 根据并集的概念，可知{a，a2}＝{4,16}，故只能是a＝4.
答案 4
8．集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________．
解析 由|x－2|≤5，得－5≤x－2≤5，即－3≤x≤7，所以集合A中的最小整数为－3.
答案 －3
三、解答题
9．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，求A∪B.
解 由A∩B＝{－3}知，－3∈B.
又a2＋1≥1，故只有a－3，a－2可能等于－3.
①当a－3＝－3时，a＝0，此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2，1}，A∩B＝{1，－3}．
故a＝0舍去．
②当a－2＝－3时，a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，
满足A∩B＝{－3}，从而A∪B＝{－4，－3,0,1,2}．
10．设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0}，
（1）若B⊆A，求a的值；
（2）若A⊆B，求a的值．
解
（1）A＝{0，－4}，
①当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝8（a＋1）＜0，解得a＜－1；
②当B为单元素集时，a＝－1，此时B＝{0}符合题意；
③当B＝A时，由根与系数的关系得：
解得a＝1.
综上可知：
a≤－1或a＝1.
（2）若A⊆B，必有A＝B，由
（1）知a＝1.
能力提升题组
（建议用时：
25分钟）
一、选择题
1．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为（ ）．
A．5B．4C．3D．2
解析 当x＝－1，y＝0时，z＝－1；当x＝－1，y＝2时，z＝1；
当x＝1，y＝0时，z＝1；当x＝1，y＝2时，z＝3.故z的值为－1,1,3，故所求集合为{－1,1,3}，共含有3个元素．
答案 C
2．（·江西七校联考）设全集U＝R，集合M＝{x|y＝lg（x2－1）}，N＝{x|0＜x＜2}，则N∩（∁UM）＝（ ）．
A．{x|－2≤x＜1}B．{x|0＜x≤1}
C．{x|－1≤x≤1}D．{x|x＜1}
解析 M＝{x|y＝lg（x2－1）}＝{x|x2－1＞0}＝{x|x＞1，或x＜－1}，所以∁UM＝{x|－1≤x≤1}，结合数轴易得N∩（∁UM）＝{x|0＜x≤1}．
答案 B
二、填空题
3．已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.
解析 A＝{x|－5答案 －1 1
三、解答题
4．已知集合A＝{y|y＝2x－1,0＜x≤1}，B＝{x|（x－a）[x－（a＋3）]＜0}．分别根据下列条件，求实数a的取值范围．
（1）A∩B＝A；
（2）A∩B≠∅.
解 因为集合A是函数y＝2x－1（0＜x≤1）的值域，所以A＝（－1,1]，B＝（a，a＋3）．
（1）A∩B＝A⇔A⊆B⇔
即－2＜a≤－1，故当A∩B＝A时，a的取值范围是（－2，－1]．
（2）当A∩B＝∅时，结合数轴知，a≥1或a＋3≤－1，即a≥1或a≤－4.
故当A∩B≠∅时，a的取值范围是（－4,1）.
学生用书第3页
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