公务员考试专项突破之数学运算1.docx
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公务员考试专项突破之数学运算1
平均分问题
1、小明从甲地到乙地办事，去时由于上山，每小时走3千米，回来时下山，每小时走5千米，他往返甲乙两地的平均速度是多少千米？
分析：
求平均速度应是“总路程÷总时间＝平均速度”。
解：
设甲乙两地的路程为“1”或x
2÷（1/3+1/5）＝3.75（千米）
4、有红、黄、白三种颜色的乒乓球，已知红、黄两种球平均11个；黄、白两种球平均8个；红、白两种球平均9个。
三种球各多少个？
解：
（11×2＋8×2＋9×2 ）÷2
＝56÷2＝28（个）
白球：
28－11×2＝6个 红球28－8×2＝12个黄球28－9×2＝10个
比例百分数
3、（★★）成本0.25元的练习本1200本，按40％的利润定价出售。
当销掉80％后，剩下的练习本打折扣出售，结果获得的利润是预定的86％，问剩下的练习本出售时是按定价打了什么折扣？
【解】打了8折.
先销掉80％，可以获得利润0.25×40％×1200×80％＝96。
按86％获得利润0.25×40％×1200×86％=103.2。
因此，出售剩下的20％，要获得利润
103.2-96=7.2（元），
每本需要获得利润
7.2÷（1200×20％）=0.03（元）。
现在售价是0.25＋0.03＝0.28（元），定价是
0.25×（1＋40％）＝0.35（元）。
售价是定价的0.28÷0.35=80％。
5、甲、乙、丙三位同学共有图书108本.乙比甲多18本，乙与丙的图书数之比是5∶4.求甲、乙、丙三人所有的图书数之比.
【解】甲再加上18本就跟乙占的份数一样了，三人就是5、5、4份，则：
（108+18）÷（5+5+4）=9
6、（★★）一个容器内已注满水，有大、中、小三个球。
第一次把小球沉入水中；第二次把小球取出，把中球沉入水中；第三次取出中球，把小球和大球一起沉入水中,现在知道从容器溢出的水量情况是：
第一次是第二次的1/3，第三次是第一次的2.5倍，求三个球的体积之比。
【解】设小球体积是1.当容器水满时，放一个球，就要溢出同样体积的水，因此可以用小球体积来计算溢出的水量.
中球的体积是3+1=4.
小球和大球的体积是4+2.5=6.5，而大球的体积是6.5-1=5.5.
三个球的体积之比是
1∶4∶5.5=2∶8∶11.
8.（★★★★）袋子里红球与白球数量之比是19：
13。
放入若干只红球后，红球与白球数量之比变为5：
3；再放入若干只白球后，红球与白球数量之比变为13：
11。
已知放入的红球比白球少80只，那么原先袋子里共有多少只球？
【解】放入若干只红球前后比较，那白球的数量不变，也就是后项不变；再把放入若干只白球的前后比较，红球的数量不变，因此可以根据两次变化前后的不变量来统一，然后比较。
红 白
原来 19 ：
13=57：
39
加红 5 ：
3=65：
39
加白 13 ：
11=65：
55
加红球从57份变为65份，多了8份，加白球从39份变为55份，多了16份，可见红球比白球少加了8份，也就是少加了80只，每份为10只，总数为（57+39）×10=960只。
【解】可先求出男女生各占总人数的比例，女：
1/2.8男，1.8/2.8，再设女生平均分x，则男为5/6x，1/2.8x＋1.8/2.8×5/6x＝75
也可直接设x，y，解题中会自然削去一个未知数。
时钟问题
（★★★★）4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与分针正好处在一条直线上。
看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线上。
看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。
（每整点，是几点敲几下；半点敲一下）请你算一算小明从几点开始看书？
看到几点结束的？
分析：
连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以后。
12点以后时针与分针：
第一次成一条直线时刻是：
时针走1个格，分针走12格，即分针比时针快11个格，若快30个格则时针走30/11格，即约32分。
12点32分
而1点零5又5/11又重合，再加32分即1点38分又成一直线
第二次成一条直线时刻是：
38（分） 即1点38分。
第三次成一条直线的时刻是：
（5×2＋30）÷（1－）＝40÷＝43（分） 即 2点43分。
（每65又5/11重合一次，成直线一次。
）
如果从12点32分开始，到1点38分，只敲2下，到2点43分，就共敲5下（不合题意） 如果从1点38分开始到2点43分，共敲3下。
流水问题
5、（★★）某河有相距120千米的上下两个码头，每天定时有甲、乙两艘同样速度的客船从上、下两个码头同时相对开出。
这天，从甲船上落下一个漂浮物，此物顺水漂浮而下，5分钟后，与甲船相距2千米，预计乙船出发几小时后，可与漂浮物相遇？
分析：
从甲船落下的漂浮物，顺水而下，速度是“水速”，甲顺水而下，速度是“船速＋水速”，船每分钟与物相距：
（船速＋水速）－水速＝船速。
所以5分钟相距2千米，甲的船速24（千米）。
因为，乙船速与甲船速相等，乙船逆流而行，速度为24－水速，乙船与漂浮物相遇，求相遇时间，是相遇路程120千米，除以它们的速度和（24－水速）＋水速＝24（千米）。
解：
120÷[2÷（5÷60）]
＝120÷24
＝5（小时）
工程问题
5、有A、B两项工作，王师傅独做A项工作要9天完成，独做B项工作要12天完成；李师傅独做A项工作要3天完成，独做B项工作要15天完成。
如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？
是不是1÷（1/9＋1/3）＋1÷（1/12＋1/15）呢？
否，分析看到，做A项工作李师傅工效高，做B项工作王师傅工效高。
要想时间最少，必须发挥各人的特长，选择最佳分配方法。
这就让李师傅单独去做3天完成A项工作，王师傅先单独做B项工作，3天后，待李师傅完成了A项工作，再两人共同做B项工作剩下的部分。
包含排除原理
【例3】在一根长木棍上，有三种刻度线，它们分别将木棍分成10等分、12等分、15等分。
如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
【分析】三种刻度线分别有10-1=9（条），12-1=11（条），15-1=14（条），不妨设木棍长为60厘米。
那么，与三种刻度线相对应的每一份长分别是：
60÷10=6（厘米），60÷12=5（厘米），60÷15=4（厘米）。
根据5和6的最小公倍数是30，可算出第一、第二种刻度线重复的条数是60÷30-1=1（条），另两种重复的刻度线分别有2条、4条。
【解】（9＋11＋14-1-2-4）＋1=28（段）
1.a=8.8+8.98+8.998+8.9998+8.99998，a的整数部分是____。
解：
a＞8.8×5=44a＜9×5=45
44＜a＜45答案：
44。
2.1995的约数共有____。
解：
1995=3×5×7×19，由乘法原理可知，1995的约数有1＋1的4次方
7.aaaa小胡和小涂计算甲、乙两个两位数的乘积，小胡看错了甲数的个位数字，计算结果为1274；小涂看错了甲数的十位数字，计算结果为819。
甲数是____。
解：
由于小胡和小涂都没有看错乙数，所以，乙数是1274和819的公约数。
1274=2×7×7×13
819=3×3×7×13
1274与819的公约数有1，7，13，91这四个。
但由“乙数是两位数”，可排除1和7；又由“小涂看错了的甲数也是两位数”，可排除91（不然的话，小涂看错了的甲数只能是一位数9）。
因此，乙数必定是13。
根据乙数是13，可知小胡看错了的甲数是
1274÷13=98（8是看错的）
小涂看错了的甲数是
819÷13=63（6是看错的）
因此，甲数是93
8.1994年“世界杯”足球赛中，甲、乙、丙、丁4支队分在同一小组。
在小组赛中，这4支队中的每支队都要与另3支队比赛一场。
根据规定：
每场比赛获胜的队可得3分；失败的队得0分；如果双方踢平，两队各得1分。
已知：
（1）这4支队（各三场比赛）的总得分为4个连续奇数；
（2）乙队总得分排在第一；
（3）丁队恰有两场同对方踢平，其中有一场是与丙队踢平的。
根据以上条件可以推断：
总得分排在第四的是____队。
解：
（1）总分为16，这4个连续奇数必为1，3，5，7，
答案是“丙”。
5.一个学雷锋小组的大学生们每天到餐馆打工半小时，每人可挣3元钱。
到11月11日，他们一共挣了1764元。
这个小组计划到12月9日这天挣足3000元，捐给“希望工程”。
因此小组必须在几天后增加一个人。
问：
增加的这个人应该从11月几日起每天到餐馆打工，才能到12月9日恰好挣足3000元钱？
解：
（1）还缺多少钱？
3000-1764=1236（元）
（2）28天中，（原来小组中）每人可挣多少元钱？
3×28=84（元）
（3）增加的一人应挣多少元？
1236÷84=14（人）……60（元）
（4）要挣60元，增加的那一人要打工多少天？
60÷3=20（天）
6.aaaa有男女运动员各一名在一个环形跑道上练长跑，跑步时速度都不变，男运动员比女运动员跑得稍快些。
如果他们从同一起跑点同时出发沿相反方向跑，那么每隔25秒钟相遇一次。
现在，他们从同一起跑点同时出发沿相同方向跑，经过13分钟男运动员追上了女运动员，追上时，女运动员已经跑了多少圈？
（圈数取整数）
解；由于25秒内男女运动员一共跑完1圈，所以13分钟内他们一共跑了
13×60÷25=31.2（圈）
又由题意可知，13分钟内男运动员比女运动员多跑一圈。
这就得到一个“和差问题”。
由此容易求出女运动员已经跑了
（31.2-1）÷2=15.1（圈）
≈15（圈）
答：
追上时女运动员已经跑了15圈。
（也可设一圈具体米数来算）
加法原理与乘法原理
（1）加法原理：
如果完成一件工作有K种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，……由第k种途径有nK种方法可以完成。
那么，完成这件工作共有n1+n2+……+nK种不同的方法。
（2）乘法原理：
如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，……，完成第K步有nK种不同的方法。
那么，完成这件工作共有n1×n2×……×nK种不同方法。
【例1】妈妈有3顶不同的帽子，4件不同的衬衫，5条不同的裙子。
如果可以不戴帽子，那么妈妈用这些帽子和衣裙，共可组成多少种不同搭配的穿戴方式？
【分析】可以把妈妈穿衣戴帽看作一件工作，分三步进行：
①选择帽子（包括不戴帽）；②选择衬衣；③选择裙子。
因为可以不戴帽，所以在第①步中，可选择“3+1=4”种不同方法。
在第②步、第③步中，分别有4种、5种方法。
【解】根据乘法原理，可组成不同搭配的穿戴方式共有4×4×5=80（种）。
2.用5支不同颜色的水彩笔，来书写“IMO”，要求不同字母用不同颜色的笔写。
共可写出____种不同颜色搭配的“IMO”。
5×4×3=60
4.540的约数有____个。
540=2×2×3×3×3×5
（2+1）×（3+1）×（1+1）＝24
3.aaaa一排长椅共有90个座位，其中一些座位已经有人就座了。
这时，又来了一个人要坐在这排长椅上，有趣的是，他无论坐在哪个座位上都与已经就座的某个人相邻。
原来至少有__人已经就座。
解：
最少有
“●”表示已经就座的人，“○”表示空位。
○●○○●○○●○……
5.“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。
他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000。
其中年龄最大的老人今年____岁。
90（岁）先求出中间数再加12即可
aaaaaa6.学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个学生从中任意借两本。
那么，至少____个学生中一定有两人所借的图书属于同一种。
解：
根据“抽屉原理”，可知至少7个学生中有两人所借图书的种类完全相同。
说明：
本题是抽屉原理的应用。
应用这个原理的关键是制造抽屉。
任意借两本，共有——（史，史）、（文，文）、（科，科）、（史，文）、（史，科）、（文，科）这六种情况，可把它们看作六只“抽屉”，每个学生所借的两本书一定是这六种情况之一。
aaaaaa8.要把1米长的优质铜管锯成长38毫米和长90毫米两种规格的小铜管，每锯一次都要损耗1毫米铜管。
那么，只有当锯得的38毫米的铜管为____段、90毫米的铜管为____段时，所损耗的铜管才能最少。
注意：
必须算上损耗
解：
设38毫米、90毫米的铜管分别锯X段、Y段，那么，根据题意，有
38X+90Y+（X+Y-1）=1000
39X+91Y=1001
要使损耗最少，就应尽可能多锯90毫米长的铜管，也就是说上面式中的X应尽可能小，Y尽可能大。
由于X、Y都必须是自然数，因而不难推知：
X=7，Y=8。
即38毫米的铜管锯7段，90毫米的铜管锯8段时，损耗最少。
3.一个长方体的宽和高相等，并且都等于长的一半（如图12）。
将这个长方体切成12个小长方体，这些小长方体的表面积之和为600平方分米。
求这个大长方体的体积。
250（立方分米）
1.有1992粒钮扣，两人轮流从中取几粒，但每人至少取1粒，最多取4粒，谁取到最后一粒，就算谁输。
问：
保证一定获胜的对策是什么？
答：
保证一定获胜的对策是：
（1）先取1粒钮扣，这时还剩1991粒钮扣。
（2）下面轮到对方取，如果对方取n粒（1≤n≤4），自己就取“5-n”粒，经过398个轮回后，又取出398×5=1990（粒）钮扣，还剩1粒钮扣，这1粒必定留给对方取。
2.有一块边长24厘米的正方形厚纸，如果在它的四个角各剪去一个小正方形，就可以做成一个无盖的纸盒。
现在要使做成的纸盒容积最大，剪去的小正方形的边长应为几厘米？
解：
要回答这道题，可以先列一个表来比较一下。
通过比较，容易知道剪去的小正方形边长是几厘米时，做成的纸盒容积最大。
3.个体铁铺的金师傅加工某种铁皮制品，需要如图13所示的（a）、（b）两种形状的铁皮毛坯。
现有甲、乙两块铁皮下脚料（如图14、图15），图13、图14、图15中的小方格都是边长相等的正方形。
金师傅想从其中选用一块，使选用的铁皮料恰好适合加工成套的这种铁皮制品（“成套”，指（a）、（b）两种铁皮同样多），并且一点材料也不浪费。
问：
（1）金师傅应当从甲、乙两块铁皮下脚料中选哪一块？
（3分）
（2）怎样裁剪所选用的下脚料？
（请在图上画出裁剪的线痕或用阴影表示其中一种形状的毛坯）（5分）
答：
（1）应选甲铁皮料。
（2）剪法如图17。
说明：
题中要求选一块铁皮料适合做“成套”的铁皮制品，这就要求所选的铁皮料中包含的（a）（b）两种毛坯同样多；又因为不能浪费材料，所以，只要算一算（数一数甲、乙两块材料中各有多少小正方形），看甲（或乙）材料中小正方形的总数能不能被（10+7=17）整除。
在回答第
（2）个问题时，可以把（a）（b）两块毛坯拼成图18，再根据上面所算出的结果，从中心处向四个方向剪开，就得到4个图18的形状。
仔细观察图17，容易发现图中的对称美，这种美也能启发你找到剪裁铁皮的方法。
5.
（1）要把9块完全相同的巧克力平均分给4个孩子（每块巧克力最多只能切成两部分），怎么分？
答：
（1）把9块中的三块各分为两部分：
（2）如果把上面
（1）中的“4个孩子”改为“7个孩子”，好不好分？
如果好分，怎么分？
如果不好分，为什么？
8.王亮从1月5日开始读一部小说。
如果他每天读80页，到1月9日读完；如果他每天读90页，到1月8日读完。
为了不影响正常学习，王亮准备减少每天的阅读量，并决定分a天读完，这样，每天都读a页便刚好全部读完。
这部小说共有__页。
324页；
10.如图5，七枚棋子围成一个圆圈，从①开始，每隔一个取一个，依次取走①、③、⑤、⑦、④、②，最后剩下⑥。
二十枚棋子围成一个圆圈（如图6），从__开始，每隔一个取一个，最后将只剩下一枚棋子是几？
（4分）
偶数个按1、3、5取，最后剩下的一个是最大偶数。
如14个最后剩14。
奇数个剩最大奇数前一个数，也是最大的那个偶数。
如9个剩数字8
11.在图7的每个方格中填入九个不同的自然数，使得每一行、每一列以及两条对角线（左上角到右下角，右上角到左下角）上的三个数的乘积都相等。
aaaaaaa6.A、B、C三个油桶各盛油若干千克。
第一次把A桶的一部分油倒入B、C两桶，使B、C两桶内的油分别增加到原来的2倍；第二次从B桶把油倒入C、A两桶，使C、A两桶内的油分别增加到第二次倒之前桶内油的2倍；第三次从C桶把油倒入A、B两桶，使A、B两桶内的油分别增加到第三次倒之前桶内油的2倍，这样，各桶的油都为16千克。
问A、B、C三个油桶原来各有油多少千克？
解：
用“倒推法”列出右表。
从表中看出：
原来A桶有油26千克，B桶有油14千克，C桶有油8千克。
aaa7.甲、乙、丙、丁四个旅行团分别有游客69人、85人、93人、97人。
现在要把这四个旅行团分别进行分组，使每组都是A名游客，以便乘车前往参观游览。
已知甲、乙、丙三个旅行团分成每组A人的若干组后，所剩的人数都相同，问丁旅行团分成每组A人的若干组后还剩几人？
解：
根据题意，知69、85、93对A同余。
由85-69=16，93-85=8，93-69=24，可推出A=8或4或2（如果两个数除以同一个数余数相同，那么这两个数的差被这个数整除）
97÷8=12……1。
所以丁团分成每组A人的若干组后还剩1人。
5.城中小学四年级有四个班。
已知四
（1）班、四
（2）班共81人，四
（2）班、四（3）班共83人，四（3）班、四（4）班共86人，四
（1）班比四（4）班多2人，问四个班各有多少人？
解：
81＋83＋85＝四1班＋四4＋（四2班＋四3班）×2
四1班＋四4＝250－83×2＝84然后是和差问题
11.王叔叔、李大伯、周叔叔、林阿姨和张阿姨一起参加会议，开会前他们相互握手问好。
王叔叔和4人都握了手，李大伯和3人握了手，周叔叔和2人握了手，林阿姨和1人握了手，你能知道张阿姨和哪几个人握了手吗？
和王叔叔、李大伯两人
12.某市举行家庭普法学习竞赛，有5个家庭进入决赛（每家2名成员）。
决赛时，进行四项比赛，每项比赛各家出一名成员参赛。
第一项参赛的是吴、孙、赵、李、王；第二项参赛的是郑、孙、吴、李、周；第三项参赛的是赵、张、吴、钱、郑；第四项参赛的是周、吴、孙、张、王；另外，刘某因故四项均未参赛。
问谁和谁是同一个家庭的？
吴－刘郑－王孙－钱赵－周李－张。
解：
四次吴都参加所以和刘一家。
郑三次参加只可从第4项中选一个，而根据前3项排除了周、吴、孙、张。
【例1】一串数按下面规律排列：
1，2，3，2，3，4，3，4，5，4，5，6……
问从左面第一个数起，数（shǔ）100个数，这100个数的和是多少？
【分析】观察题中这一串数，容易想到把它们三个三个地分组如下：
（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），……各组数的和形成等差数列；
100÷3=33……1，也就是说，第100个数在第34组中，并且是34。
求前100个数的和，就是求前33组数的和与34的和是多少。
【解】2×3＋3×3＋4×3＋……＋34×3＋34=1816
【例1】流水线上生产小木球涂色的次序是：
先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第1993个小球该涂什么颜色？
【分析】根据题意，小木球涂色的次序是：
“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次。
这里，给小木球涂色的周期是：
5＋4＋3＋2＋1=15。
【解】1993÷15=132……13
这就是说，第1993个小球出现在上面所列一个周期中第13个，所以第1993个小球是涂黑色。
【例2】小华买了一本共有96张纸的练习本，并依次将每张纸的正反两面编号（即由第1页一直编到第192页），小丽从这本练习本中撕下25张纸，并将写在它们上的50个编号相加。
试问：
小丽所加得的和数能不能为1994？
【分析】不能。
因为每张纸正反两面页数的和是奇数，25也是奇数，奇数个奇数相加的和不可能是1994（偶数）。
【例3】有1993个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到1993各不相同。
能不能将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？
并说明理由。
【解】不能。
如果可以按要求排成，那么每一排中各号码数的和都是某一个孩子号码数的两倍，是个偶数，所以加起来得到这1993个数总和是个偶数，但是这1993个数总和是个奇数。
矛盾！
1.任意取出1994个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？
解：
1994÷2=997，即997组数相加，而每一组都是一个偶数加奇数，和是奇数。
奇数个奇数的和是奇数，所以，它们的总和是奇数
2.一串数排成一行，它们的规律是头两个数都是1，从第三个数开始，每一个数都是前两个数的和，如下所示：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55……
试问：
这串数的前100个数（包括第100个）中，有多少个偶数？
解：
33.这串数的排列规律是以“奇奇偶”一个周期。
3.能不能将1010写成10个连续自然数的和？
如果能，把它写出来；如果不能，说明理由。
10÷2＝5，奇数组（5组）奇数之和仍是奇数。
法则：
1）如果一个数的各位数字的和能被9整除，那么这个数就能被9整除。
2）一个数，如果它的末两位数能被4或25整除，那么它能被4或25整除；如果它的末三位数能被8或125整除；那么它能被8或125整除。
（3）如果一个数的奇位上的数字和同偶位上的数字和相减所得的差能被11整除，那么这个数能被11整除。
（4）如果一个数的末三位数字所成的数，与末三位以前的数字所成的数，它们的差被7或13整除，那么这个数能被7或13整除。
【例3】写出形如□691□，能被55整数的五位数。
因为55可分解为5×11，5与11互质，所以，要求的这个数能同时被5和11整除。
根据能被5整除，可知个位数字是0或5，再根据被11整除求出万位上的数字。
解：
符题意的五位数有96910，46915。
【例2】1.五位数3□6□5没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数是
解：
该数能被25和3整除
【例2】自然数a乘以2376，正好是自然数b的平方。
求a的最小值。
先把2376分解质因数，再根据a最小的要求，求得a的质因数，使a与2376的相同质因数配成对
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