基于《超级画板》开设《动态几何》课程的实践与思考1.docx
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基于《超级画板》开设《动态几何》课程的实践与思考1
基于《超级画板》开设《动态几何》课程的实践与思考
张景中1，2，3，江春莲4，彭翕成1
（1.华中师范大学教育部教育信息技术工程研究中心，武汉430079；2.广州大学教育软件研究所，广州510006；3.中国科学院成都计算机应用研究所，成都610041；4.华中师范大学数学与统计学学院，武汉430079）
摘要：
本文从教材编写、教学设计、作业考查等方面总结了开设《动态几何》课程的实践，并报告其在数学教师教育方面作用的调查结果，对一学期来的实践进行反思，以期更好地发展这门新的课程。
关键词：
动态几何；超级画板；教师教育；数学
文[1]曾介绍过开设《动态几何》课程在数学教与学中的价值。
我们在华中师范大学已经实验了一学期。
本文将总结一下半年来的收获和不足，以利于更好的发展下去。
本文包括三大部分，一是开设《动态几何》课程的实践，包括教材编写、教学设计、作业考查等方面的措施。
二是关于《动态几何》课程在数学教师教育方面作用的调查，包括调查对象，调查结果和讨论。
三是学生自选的探究问题结果统计。
1、开设《动态几何》课程的实践
1.1教材编写.
我们在《超级画板自由行》[2]的基础上进行了改编，删除一较繁琐的例子，加进更多结合中学数学教学的实例，如井田问题[3，p.56]，用剪拼方法说明余弦定理等[3，p.81]，写成《动态几何教程》[3]，作为试用教材。
1.2教学设计的策略
我们经常根据作出的图形，提出更多的问题并用《超级画板》作进一步的探索，得到结论后再拖动某些对象看能否得到普遍的结论。
如果有，我们还鼓励学生进一步从数学的角度给出证明，如将要在《数学通讯》专栏“超级画板帮你教数学”发表的“当点被分裂开来”一文就是笔者在课堂、课后探究的结果。
教授操作性课程经常面临的一个问题是学生无法跟上老师的操作，笔者发现了这一问题的一个比较好的解决方案，那就是让一个学生在讲台上代替老师操作，而老师边讲解边在教室巡视，及时了解学生的进度，发现需要帮助的同学并及时给予帮助。
1.3作业考查
本课程的考查包括3个部分的内容，一是平常的作业，一般是书上的例习题；二是自选问题的探究，这项任务的完成对学生来说有一定的难度，老师给出的建议是在近5年的高考题中选一道适合用《超级画板》进行探究的问题进行延拓，这部分考查结果统计附后；三是上机考试，上机考试的题型包括文件生成（4分）、图形设计3个（18分）、基本作图3个（30分）、动画课件基本制作1个（12分）、简单计算和编程2个（16分）和2道探究性问题（20分）。
1.4其他
这是一门依托于软件操作的课程，学生需要时间和上机条件熟悉软件。
为方便学生上机，学院在每节课后面都不安排其他的实验课，这样学生就可以根据自己的实际情况决定是否继续上机。
在中间长达10周的时间里，笔者每次都让学生交完当天的操作作业后才离开，这样保证多数学生在短时间内熟悉基本操作。
文[1]也指出《动态几何》的知识与技能，对学生的自学能力、探索精神、科学素质都有积极的影响，所以我们积极鼓励并指导学生进行问题探究。
在笔者的指导下，张燕同学完成了论文“超级画板中的点函数命令及其应用”。
2.《动态几何》课程在数学教师教育方面作用的调查
在进行完一学期的《动态几何》教学后，对学生进行了关于《动态几何》课程和《超级画板》功能的调查。
调查问卷分两部分，一部分是了解学生对课程和软件的看法，共27道多项选择题。
这些选择题采用了Likert五等级记分法，问卷的编制构想主要从课程开设的实际出发，从对《动态几何》课程在数学学习方面的作用，到该课程与依托的软件之间的关系以及《超级画板》在中学数学各部分内容（平面几何、代数运算、解析几何、函数图象、概率统计、立体几何、算法编程、经典范例、自动推理等）学习作用的评价。
为避免因个别问题反向描述引起的回答出入，全部采用正向描述。
每个选项分为5、4、3、2、1五个等级，依次递进地表示非常适合、比较适合、一般、比较不适合、非常不适合。
另一部分是调查学生对该软件对中小学学生数学学习作用的认识，即对数学能培养的能力和学习兴趣等方面作用的评价。
参与当天调查的学生45人，收回有效问卷41份，有效率91.1%。
前一部分调查的信度系数（即Cronbach’sAlpha）
=0.84，后一部分的信度系数
=0.90，所以该调查是可信的。
下面对这些方面的调查结果作些粗略的分析。
2.1对《动态几何》课程的看法
文[4]将《超级画板》的主要功能概括为“写画测变，编演推算”，但动态几何的重点还是图形在某些对象的驱动变化下，几何性质的保持与变化。
换句话说，动态几何能帮助我们更深刻地认识几何对象的本质。
学生对这一陈述的回答是非常肯定的（Mean=4.64,SD=0.57），超过95%的学生选择了“非常适合”和“比较适合”（后文中合称为“肯定选项”）。
所以基于《超级画板》的《动态几何》的学习将在数学，特别是几何教与学中发挥重要的作用[1]。
动态几何图形的构造依赖于对图形对象之间关系的深刻认识。
如在
中，要在
边上作两点
、
，使得
（图1）。
我们可以这样来作：
（1）在
边上取点
，
（2）测量
，（3）将直线
旋转同样大小的角交
于点
。
但这样作出的图形，当点
拖到
的延长线上时，点
却没能跟着运动到
的反向延长线上。
所以在这里需要对图形有个深刻的认识，那就是直线
和
关于
的角分线
对称。
所以点F正确的作法,是先出
的角平分线
，然后作点
关于
的对称点
，
与
的交点就是
。
所以动态几何图形的构造需要较高的逻辑思维能力，学生对这一陈述的回答是非常肯定的（Mean=4.13,SD=0.79），超过75%的学生选择了肯定选项。
学生对陈述“思考如何构造动态几何图形提高了我的思维能力”的回答也是非常肯定的（Mean=4.09,SD=0.67），超过85%的学生选择了肯定选项。
图1
图2
2.2对依托的软件与课程关系的认识
爱因斯坦曾回忆学习几何的体会说几何中的很多断言，本身并不是显而易见的，但可以很可靠地加以证明，以致于任何怀疑都不可能。
平面几何的很多命题，借助于《超级画板》可以“显而易见”地展现出来；如果心存怀疑的话，借助于《超级画板》，我们可以很容易地得到具有同样特点的新图形，再次检验断言的真假，所以《超级画板》能帮助我们理解《动态几何》的本质特征。
学生对这一陈述的回答是非常肯定的（Mean=4.29,SD=0.73），近90%的学生选择了肯定选项。
所以选择《超级画板》，进行《动态几何》的学习是恰当的。
有感于《中小学教师教育技术能力标准（试行）》及其配套的培训教程，笔者曾撰文探讨教师教育技术培训中软件的选择问题[5]。
对这些即将走上讲台的教师来说，我们自主研发的《超级画板》的适应性如何呢？
笔者设计了三个问题调查了解这方面的信息。
这三个陈述分别是“课下我花很多时间学习该课程”、“我对《超级画板》能很快上手”、“对《超级画板》能应用自如，我还需要下大力气”。
对这三个问题回答的均值分别为3.11，3.71和4.09；选择肯定选项的百分比依次为22.8%，55.5%和80%。
在课下没有多大比例的学生花很多时间学习该课程的情况下，仍有过半数的人感觉能很快上手，说明该软件智能化程度确实很高，能满足实际学习和教学的需要。
当然，要达到“推陈出新”的境界还需要下大工夫。
2.3对《超级画板》在数学各部分教学方面作用的认识
在这一部分我们将结合具体的例子说明《超级画板》在数学各部分内容教学中的应用，并报告学生调查的结果。
2.3.1在平面几何教学中的作用
《超级画板》智能画笔构图方便。
无需在任何菜单和工具之间进行切换，直接利用鼠标即可作出任意点、线（指线段、射线或直线，下同）、圆，直线、圆、圆锥曲线等几何对象上的点，以及线与线、线与圆、圆与圆、线与圆锥曲线等几何对象间的交点。
根据选定的几何条件，通过单击菜单命令可以快速地作出等边三角形、平行四边形、任意正多边形等常见多边形。
其设计基于数学常识和习惯，所以智能作图有在纸上画图的感觉。
学生对这一陈述的回答是比较肯定的（Mean=3.69,SD=0.97），超过62%的学生选择了肯定选项。
在使用《超级画板》作图写字时，它会自动把创造的新对象进行编号并记录到“图形对象工作区”，这样的处理有三个好处：
（1）便于查找图形对象之间的关系，
（2）便于更改图形对象的属性，（3）便于传播，因为我们可以通过阅读该工作区的内容弄懂图形的构造原理，便于自学和传播。
对陈述“《超级画板》能记录对象顺序及关系，便于我们自学”，学生的回答也是非常肯定的（Mean=4.31,SD=0.70），超过90%的学生选择了肯定选项。
在前面我们提到《超级画板》对学生的探究发现能力的培养，对此，笔者设计了两个问题了解学生的看法，这两个陈述分别是“《超级画板》画图准确，能让我们用肉眼看出一些规律性的东西，如点共线，点共圆等”和“《超级画板》的测量功能能很快检验一些猜想的正确性”。
学生对这两个问题的回答也是非常肯定的（前者Mean=4.53,SD=0.63；后者Mean=4.64,SD=0.61），约93%的学生选择了肯定选项。
利用《超级画板》的对称、放缩、平移、旋转等功能可以很方便地作出几何教学中的动画，如制作通过旋转说明三角形面积公式的课件仅需要24步，除去作坐标系的4步实际只有20步，这20步中14步是作基本的点、线和文本，所以关键的仅6步，其中有2步是对称性重复的，这样算来只有3-4步是需要花力气掌握的。
所以用《超级画板》制作课件简单、方便，对这一陈述，学生对的回答也相当肯定（Mean=4.13,SD=0.81），约78%的学生选择了肯定选项。
利用《超级画板》的这些功能还可以作出美丽的图案（图3）。
在图3中，不仅周围的五个“风车”可以自行绕中心转动，而且也可以一齐围绕整个图形的中心转动。
学生对陈述“《超级画板》能帮助我们设计漂亮的图案”非常肯定的（Mean=4.53,SD=0.76），约90%的学生选择了肯定选项。
“几何几何，想破脑壳”是学生觉得几何难学的真实反映。
几何难学其实是推理证明的表述难学。
在使用《超级画板》作图过程中，计算机会自动将所作图形的几何特征整理为图形条件记录在系统中，同时还允许人工增添“附加条件”。
计算机能根据这些图形条件和添加的附加条件进行推理，推理得到的大量几何信息，被自动整理成推理信息库。
对于得到的任何一条结论，我们可以逐步展开查看其推理过程；根据展开的推理步骤，计算机还可生成或详或略的解答过程。
所以《超级画板》的自动推理功能将使几何证明变得更简单，学生对这一陈述的回答也是非常肯定的（Mean=4.45,SD=0.76），约89%的学生选择了肯定选项。
当然，也有学生在开放性的问题中指出，推理功能的使用会不会让学生放弃思考，变得思维懒惰。
好的东西就象一把“双刃剑”，恰当合理的利用才能带来好处。
图3
2.3.2在代数运算教学中的应用
《超级画板》代数运算快速准确，也可以用来进行数学探究。
如对形如
的
次迭代还原函数的求解[6]。
另外，对
进行因式分解，当
取小于105的整数时，其不可再分解的具有整系数的因式各系数的绝对值都不超过1，但这一结论对
却不成立[7，p.164-165]。
若采用微软最近新推出的数学软件Math3.0，所得结果如图4所示，分解不彻底；采用超级画板，所得结果如图5所示，该猜想很快得到检验。
对“《超级画板》进行代数运算快速、准确”的陈述，学生的回答非常肯定（Mean=4.29,SD=0.73），约84%的学生选择了肯定选项。
图4
图5
2.3.3在解析几何教学中的应用
《超级画板》提供了丰富的解析几何作图命令，如作直线的命令就有7种，不仅包括了通常的点斜式、截距式、斜截式和一般式，还有点与
轴截距、点与
轴截距，点与倾斜角等，其中的参数既可以是准确的数，也可以是通过变量尺或动画控制的参数。
作二次曲线的命令就有13条之多，其中椭圆3条、双曲线3条，抛物线4条，还有由方程、统一定义、以及五点所确定的二次曲线作图命令。
这些丰富的命令为解析几何的教学带来了极大的方便，不仅如此，还可以用智能画笔在二次曲线上直接取点，过该点作二次曲线的切线，方便了与二次曲线有关问题的探究[8]。
所以学生对陈述“《超级画板》解析几何命令丰富，能满足教学的需要”也非常肯定（Mean=4.27,SD=0.76），约86%的学生选择了肯定选项。
2.3.4在函数教学中的应用
文[9]曾系统地介绍了《超级画板》在函数教学中的应用，如列函数表描点连线、函数曲线作图，描点数目动态变化、带参数的函数曲线作图，函数曲线上作动点、对曲线进行跟踪变换、作动态切线、曲边梯形积分和以及几何量的动态测量等。
另外，对高中新课程增加的三次函数性质及最值的求解，《超级画板》也提供了两个非常重要的命令“PolyExtremum（n）”和“PolyMaxMin（n）”，这里的参数n是函数曲线的编号。
在免费版本的《超级画板》文本作图中输入两个命令“Function（2*x^3+9*a*x^2-24*a^2*x+1,-10,10,500,）;”和“PolyExtremum（5）;”即可得到图6所示的结果。
再接着输入“PolyMaxMin（5）;”可以得到一个较图6稍详细的结论。
学生对关于《超级画板》在函数教学中的应用也给予了很高的评价（表1）。
图6
表1对超级画板在函数教学中的作用陈述对答的均值、标准差以及作出肯定回答学生所占百分比
陈述
Mean
SD
肯定选项
学生所占
百分比（%）
1
《超级画板》能根据函数图象上点的个数作出对应的函数值表，方便老师的演示。
4.40
0.69
88.9
2
《超级画板》能作出带参数的函数图象，参数驱动引起的变化便于学生发现其中的数学规律。
4.64
0.57
95.6
3
《超级画板》能直接计算出曲边梯形的积分上和、积分下和，便于学生认识积分概念。
4.33
.74
84.5
4
《超级画板》能直接显示三次函数的最值并对单调性进行分析，得出结论，便于学生理解这些数学概念之间的关系。
4.42
0.66
91.1
5
函数图象的翻转与旋转便于学生理解函数及其反函数之间的关系。
4.61
0.54
97.7
2.3.5在概率统计教学中的应用
利用《超级画板》的随机函数“rand（m,n）”可以生成
之间的随机数，由此可以实现随机事件的模拟，如模拟掷硬币实验、模拟掷骰子、模拟蒲丰投针等，这些课件可以直接拿到课堂上给演示，不仅具有真实感，还能大大节约教学时间。
学生对陈述“《超级画板》随机函数模拟的概率实验形象直观，可以拿来就用”的回答非常肯定（Mean=4.40,SD=0.91），约87%的学生选择了肯定选项。
当学生在课堂上作出这样的模拟实验的时候非常兴奋。
用《超级画板》制作统计表格，只需要在同样规格的表格之间通过命令“StatDataAssoc（m,n）”即可实现编号为m和n的表格之间的关联，这样，改动编号为n的表格中的数据，编号为m的表格中的数据也就随着更改，我们可以将编号为m的表格的类型设置为表格、条形图、折线图、饼形图中的任意一种，很方便地实现表格数据与统计图的转换。
所以用《超级画板》绘制的统计图表内容丰富，调整更改方便。
学生对这一陈述的回答非常肯定（Mean=4.53,SD=0.81），约85%的学生选择了肯定选项。
2.3.6在立体几何教学中的应用
尽管《超级画板》的基础是二维平面，但我们通过数学手段作出的三维图形十分形象直观，如长方体的截面（图7）、圆锥的截线（图8）、圆柱圆锥面上的螺旋线等，这些立体图形立体感强，只需拖动个别的点就可以调整图形得到不同的效果，所以学生对《超级画板》在立体几何中应用的两个陈述评价也很好（前者：
Mean=4.14,SD=1.09；后者Mean=3.95,SD=0.96），选择肯定选项的学生所占百分比分别为80%和68%。
图7
图8
2.3.7在算法编程教学中的应用
文[10-13]曾详细介绍了《超级画板》的算法及其在数学教学中的应用，其赋值语句符合数学的表述习惯，写成“a=3;”的形式，另外，还可以把所作图形的对象编号用相应的字母代替，如“A=Point（1,1,A）;c1=CircleOfRadius（A,1,c1）;”就作出了点
＝
和以
为圆心，半径为1的圆
。
这样以变量代表对象，方便编程时引用和检查。
学生对这种处理评价很好（Mean=4.11,SD=0.71），选择肯定选项的学生占80%。
在高中数学新课程中加进了有关算法和编程的内容，给老师和学生提出了新的挑战。
《超级画板》提供的多种函数方便了师生的使用，如
之类标准数学函数19个，因式分解“Factor（）;”之类的一般运算函数27个，系统函数13个，包括
在内的各类三角函数和公式123个，168个既可用文本作图（应用时可直接从菜单选择，而不需要自己键入函数命令）也可程序实现的命令。
这些命令的灵活应用在教材[2]所举范例中体现得淋漓尽致。
2.3.8经典范例
在教材[2]经典范例一章包括了57个典型应用实例，如可控制点数的完全图，杨辉三角，二分法动画，四龟互追，高尔顿实验，雪花曲线等。
对陈述“《动态几何教程》包含的经典范例很有代表性”，学生评价很好（Mean=4.33,SD=0.74），选择肯定选项的学生占84%。
2.4《超级画板》对中小学学生数学学习作用的认识
笔者设置了15道问题，了解这些将为人师的学生对《超级画板》应用于中小学数学教学作用的认识，调查结果见表2。
结果表明除对提高学生成绩和计算能力还存怀疑外，学生对《超级画板》在中小学数学教学中的作用还是充满信心的。
有这样的信念，相信这些教师将会在自己的数学教学中自觉运用《超级画板》。
表2对超级画板在中小学数学教学中的作用回答的均值、标准差以及肯定回答学生所占百分比
陈述
Mean
SD
选择肯定选项学生所占百分比（%）
1
有助于学生理解数学概念，特别是几何概念的本质。
4.50
0.59
95.4
2
有助于学生形象直观地理解抽象的数学概念。
4.70
0.60
93.0
3
便于学生进行自主探究。
4.48
0.82
84.1
4
便于学生发现丰富多彩的数学世界。
4.68
0.52
97.8
5
有助于提高学生学习数学的兴趣。
4.77
0.48
97.7
6
有助于保持学生学习数学的高兴趣。
4.50
0.63
93.2
7
有助于提高学生的数学成绩。
3.52
0.73
47.7
8
有助于提高学生的计算能力。
3.23
0.86
31.8
9
有助于发展学生的空间想象能力。
4.45
0.70
88.6
10
有助于发展学生的逻辑思维能力。
4.14
0.85
79.5
11
有助于提高学生的发现和创新思维能力。
4.57
0.59
95.5
12
有助于提高学生提出问题的能力。
4.32
0.77
81.8
13
有助于提高学生分析问题、解决问题的能力。
4.05
0.83
72.7
14
有助于提高学生数学建模的能力。
4.18
0.92
79.6
15
有助于提高学生数学研究的能力。
4.41
0.69
88.7
3.学生自选探究问题
笔者布置了一项课程作业，建议学生自选问题进行探究，对该班完成作业的47名学生的作业进行统计表明，选择了解析几何问题的最多，27人，占57.4%，其次是平面几何（7人，占14.9%）和函数图象（4人，占8.5%）。
其他类型则较少，分别是立体几何，线性规划各两人，不等式、代数、概率、编程和综合应用（数形结合求最值）各一人。
选择解析几何的人最多，一个可能的原因是学生对高中学习的解析几何内容熟悉，另外一个原因应该是因为《超级画板》在这方面的命令比较丰富，使用起来方便。
4.反思
4.1学生能力的差异
基于《超级画板》软件开设的《动态几何》课程内容，很大一部分是对操作原理的理解和熟练。
在笔者所出的关于课程和软件的两个开放性问题的回答中，也较明显地暴露出学生的差异对老师提出的不同要求。
如有的学生说“老师讲课速度太快，操作跟不上”，“希望老师能够把复杂的操作多演示几遍”，也有学生反映“多讲综合性的课件制作”。
若讲综合性强的案例，有时候一次课（90分钟）只能讲一个例子。
领会得快的学生第一节课结束的时候就已经完成了，慢的呢，2节课快下课了还是没完成。
所以有学生建议减少课堂人数，改成小班教学。
对于这种能力上的差异，可以先测试学生的软件学习和操作能力，然后比较按能力分班和采取一高一低匹配两种方案的整体效果，从中选择较合适的模式。
4.2操作与探究关系的处理
使用《超级画板》能很快作出图形中特殊点的轨迹，测量点的坐标、线段的长度、图形的面积并进行这些测量数据的计算，为学生的探究提供了一个很好的工具。
但我们不能仅停留在观察的阶段，我们还应该对得到的结果进行证明。
笔者上课时常面临两种困惑，一是当笔者提出一个问题再让学生提出问题时就只能有1-2个学生小声地回答，参与不够踊跃；一是探究出结果后，笔者讲自己的证明前，希望学生能大胆地说出自己的证明，常常鸦雀无声。
多数学生是思考了不出声还是没有思考？
如果是后者，则需要采取一些激励措施让学生的思考动起来。
4.3学习与实践关系的处理
我们在课堂上给学生展示过《超级画板与数学新课程》中的例子[14]，但没有要求每个学生具体地制作一节完整的数学课的课件。
这种内容可以考虑作为作业的一部分，而且可以以小组合作的形式完成。
批改呢，最好是面批，那样可以更好地帮助学生理解如何将数学教学原理应用与数学教学设计。
5.结束语
《动态几何》是一门以操作和思考为基础的课程。
学生不仅要学会软件的操作从而能根据教学的要求制作课件，更要学会如何利用软件进行数学探究性活动。
只有自身有较丰富的体验才能更好地组织学生进行类似的活动，将数学新课程的基本理念真正落实。
这对于从事《动态几何》教学工作的老师提出了更高的要求。
参考文献：
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