《因式分解》全章学案.docx

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《因式分解》全章学案

1.1多项式的因式分解

一、自主学习（阅读课本P2-3完成下列填空）

1、若f=gh，那么g、h叫做f的。

2、什么是因式分解？

3、请写出20以内的质数。

4、12与15的最大公因数为。

二、合作交流

1、你能用几种不同的方法计算10032－10022，哪种方法最简单？

请与你的同伴交流。

2、你能尝试把a2－b2化成几个整式的积的形式吗？

3、概念分析

整式的积多项式多项式整式的积

（a+b）（a-b）=a2-b2a2-b2=（a+b）（a-b）

（a+b）2=a2+2ab+b2a2+2ab+b2=（a+b）2

m（a+b）=am+bmam+bm=m（a+b）

整式乘法

一般地，把一个多项式转化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，有时我们也把这一过程叫做分解因式。

4、因式分解与整式乘法有什么关系？

三、合作探究

1、算一算

（1）1012－992=

（2）872+87×13=

2、下列等式中，从左到右的变形为因式分解的是（）.

Ａ.12ａ2ｂ＝3ａ·4ａｂ　　　　　Ｂ.（ｘ＋2）（ｘ－2）＝ｘ2－4

Ｃ.4ｘ2－8ｘ－1＝4ｘ（ｘ－2）-1Ｄ.12ａｘ－12ａｙ＝12ａ（ｘ－ｙ）

3、下列等式中从左到右的变形因式分解的是（）.

Ａ.（ｘ＋5）（ｘ－1）＝ｘ2＋4ｘ－5Ｂ.ｘ2－ｙ2－1＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－１）-1

Ｃ.ｘ2－10ｘｙ＋25ｙ2＝（ｘ－5ｙ）2Ｄ.ａｘ2－ｂｘ2－ｘ＝ｘ2（ａ－ｂ）－ｘ

4、下列等式中从左到右的变形因式分解的是（）.

Ａ.ａｂ（ａ－ｂ）＝ａ2ｂ－ａｂ2Ｂ.（ｘ－3）（ｘ＋3）＝ｘ2－9

Ｃ.ａｘ＋ｂｘ－ａ＝ｘ（ａ＋ｂ）－ａＤ.ａｂ＋ａｃ－ａ2＝ａ（ｂ＋ｃ－ａ）

5、找出各组数的最大公因数

（1）2、12、8最大公因数

（2）15、9、27最大公因数

（3）36、12、24最大公因数

6、判断下列各题从左到右的变形，哪些是因式分解?

哪些不是?

为什么?

（1）（ｘ＋ｙ）2＝ｘ2＋2ｘｙ＋ｙ2；

（2）ｙ2－16＝（ｙ＋4）（ｙ－4）；

（3）ｘ2-4ｘ＋5＝（ｘ－2）2＋1；

（4）ｍ2－2ｍ＋1＝（ｍ－1）2；

（5）ａ2－25＋ａ－1＝（ａ＋5）（ａ－5）＋ａ－1；

（6）ｘ2－5ｘ－6＝（ｘ－6）（ｘ＋1）.

7、若在因式分解中有

则：

m=n=

四、学习小结

你知道因式分解的定义吗?

你会验证因式分解是否正确吗?

你会利用因式分解快速解决某些问题呢?

五、效果评价

1、判断

（1）把一个代数式化为乘积形式，叫做把这个代数式因式分解；（）

（2）把一个整式化为乘积形式，叫做把这个整式因式分解；（）

（3）把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解.（）

2.下列由左到右的变形，哪些是因式分解?

哪些不是?

为什么?

（1）ｘ2＋2ｘｙ+y2－1＝（ｘ＋ｙ＋1）（ｘ＋ｙ－1）；

（2）ｘ2－ｙ2－3＝（ｘ＋ｙ）（ｘ－ｙ）－3；

（3）ｍ2＋2ｍn＋ｎ2-2ｍ－2ｎ＝（ｍ＋ｎ）2－2（ｍ＋ｎ）；

（4）9（ａ2－1）＝9（ａ＋1）（ａ－1）；

（5）ｂｘ2－3ｂ＝ｂ（ｘ2－3）；

（6）9ｘ2－ｙ2＝（3ｘ+ｙ）（3ｘ－ｙ）.

1.2提公因式法（第一课时）

一、自主学习

1、什么叫做因式分解？

它与整式的乘法有何区别？

2、一块场地由三个矩形组成，这些矩形的长分别为

，

，

，宽都是

求这块场地的面积？

你能用几种方法计算？

二、合作交流

阅读课本P5-8页回答下列问题：

1）如何确定一个多项式的公因式？

系数字母指数

2）提公因式法分解因式的一般步骤是什么？

3）提公因式法分解因式与单项式乘多项式有什么关系？

三、合作探究

1、写出下列多项式各项的公因式

（1）4kx－8ky;

（2）5y3+20y2（3）8a3b2－12ab3c+2ab

2、做课本第8页练习2

（注意：

提公因式不要漏掉“+1”；当多项式第一项是负数时，通常先提出“－”号，多项式的各项都要变号）

四、拓展延伸

1、分解因式－4x2y+2xy2－xy的结果是

A.－4（x2+2xy2－xy）B.－xy（－4x+2y－1）

C.－xy（4x－2y+1）D.－xy（4x－2y）

2、利用因式分解进行计算：

121×0.13+12.1×0.9－12×1.21

3、把m2+10m（a+b）+25（a+b）2分解因式.

4、利用分解因式计算：

（1）32004－32003

（2）（－2）101+（－2）100.

五、学习小结

1、确定一个多项式的公因式

2、提公因式法的方法？

六、效果评价

1、观察下列各式：

12+（1×2）2+22=9=32

22+（2×3）2+32=49=72

32+（3×4）2+42=169=132

……

你发现了什么规律？

请用含有n（n为正整数）的等式表示出来，并说明其中的道理.

2、课本P8页，练习3。

课本P10页,习题1.2A1

1.2提公因式法的学案（第二课时）

一、自主学习

1、复习：

多相式

的公因式是

多项式

的公因式是

2、猜想：

多项式

的公因式是

结论：

多项式的公因式的形式可以是：

和

二、合作交流

1、指出下列多项式的公因式，然后进行因式分解

1）

2）

2、小结：

多项式分解因式的一般步骤：

三、合作探究

1、在“”上填上适当的“+”“--”号，使等式成立。

1）

=

4）

=

2）

=

5）

=

3）

=

6）

=

2、小结：

（n为偶数）

（n为奇数）

3、下列多项式可以运用提公因式法因式分解吗？

1）

2）

3）

四、学习小结

1、我学会了

2、我还有疑问

五、效果评价

把下列多项式因式分解。

1）

2）

3）

4）

5）

1.3公式法（第一课时）

一、自主学习

1、回顾平方差公式（a+b）（a－b）=，

左边是，右边是，把这个等式反过来就是

利用平方差公式将多项式a2－b2变为了两个因式相乘的形式这个过程为

这种方法叫公式法

2、请将多项式x2－16因式分解（提示：

16是的平方）：

x2－16=。

3、公式讲解：

如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.

二、合作交流

因式分解：

（1）

（2）25x2－

解：

原式=（）2

2解：

原式=

－（）2

==

提示：

这两个题目是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式。

（3）9（m+n）2－（m－n）2（4）2x3－8x

解：

原式=［3（m+n）］2－（m－n）2解：

原式=2x（）

==2x（）（）

=（3m+3n+m－n）（3m+3n－m+n）

=

=

提示：

（3）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，

（4）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，

由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.

（5）x4－y4（6）x2－2

提示：

（5）x4可写为（x2）2（6）2可写为（

）2

三、合作探究

基础练习

1.判断正误

（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;

（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;

（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.

2.把下列各式分解因式（课本P14练习2）

（1）

（2）

（3）（4）

（5）（6）

提高练习

－25a2+16b249（2a－3b）2－9（a+b）2.

解方程x2－1=0

四、学习小结

我们已学习过的因式分解方法有和运用公式的公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.

第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.

五、效果评价P15.3P17习题1.3A.1

1.3公式法（第二课时）

一、自主学习

1、考一考

=

，

=

2、想一想：

二、合作交流：

1、因式分解的完全平方公式：

=

=

2、观察思考，分析特征：

怎样的多项式是完全平方式？

（教师引导学生讨论得出论）

只有是完全平方式，才能利用完全平方公式分解因式；

三、合作探究

1：

辨一辨：

请判断下列多项式是否为完全平方式?

为什么?

（1）

（）

（2）

（）

（3）

（）

（4）25x4－10x2+1（）

（5）16a2+1.（）

（6）x2+xy+y2；（）

（7）2

--4x+1（）

（8）

-2x-1（）

2：

学一学：

把上题中的完全平方式分解因式：

（1）

（2）

（3）

（4）25x4－10x2+1

（5）（x+y）2+8（x+y）+16

3、练一练1：

（部分学生板书，师生共同评价）

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

4、深入学习，巩固规律

5、练一练3：

分解因式：

（1）

（3）

四、学习小结

五、效果评价

1、你从下列单项式中找出三项,把它们配成完全平方式;

、4

、9

、-12ab、4

、9、6a、20xy、25

、-a

-20xy、a、

2、分解因式：

（1）2ax2-12axy+18ay2

（2）

（3）（x+y）2+8（x+y）+16

3、分解因式

4、分解因式

1.4十字相乘法（第一课时）

一、自主学习

1、引入：

计算：

（1）（x+2）（x+1）=（5）（x+2）（x+3）=

（2）（x+2）（x－1）=（6）（x+2）（x－3）=

（3）（x－2）（x+1）=（7）（x－2）（x+3）=

（4）（x－2）（x－1）=（8）（x－2）（x－3）=

小结：

在多项式的乘法中,有（x+a）（x+b）=

即有：

=（x+a）（x+b）

2、新知

x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）

x+a

x+b

ax+bx=（a+b）x

定义：

二、合作交流

1、将下列多项式因式分解。

（1）x2－2x－3

（2）x2+4x+3

2、拆一拆将下列各数表示成两个整数的积的形式（尽所有可能）：

6=；12=；24=；

-6=；-12=；-24=.

练一练将下列各式用十字相乘法进行因式分解：

（1）x2－7x+12；

（2）x2－4x－12；（3）x2+8x+12；

3、归纳：

要将二次三项式x2+px+q因式分解，就需要找到两个数a、b，使它们的积等于常数项q，和等于一次项系数p,满足这两个条件便可以进行如下因式分解，即

x2+px+q=x2+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）.

用十字交叉线表示:

x+a

x+b

ax+bx=（a+b）x

由于把x2+px+q中的q分解成两个因数有多种情况，怎样才能找到两个合适的数，通常要经过多次的尝试才能确定采用哪种情况来进行因式分解.

三、合作探究

用十字相乘法来因式分解

（1）x2－11x－12；

（2）x2+13x+12；

（3）x2－x－12；

四、学习小结

我学会了

我还有疑问

五、效果检测

将下列各式用十字相乘法进行因式分解：

（1）x2－3x+2；

（2）x2－2x－35；

因式分解——十字相乘法（第二课时）

一、自主学习

1、复习

将下列多项式因式分解

1）x2+6x－72=

2）x2－10xy－56y2=

2、十字相乘法的定义：

二、合作交流

1、把37x238x1因式分解.用画十字交叉线方法表示各种情况

2、把2x2－7x+3因式分解.用画十字交叉线方法表示各种情况

3、小结

十字相乘法的步骤：

4、练习

1）2x23x1用画十字交叉线方法表示各种情况

2）5x26x1用画十字交叉线方法表示各种情况

3）2x213x15用画十字交叉线方法表示各种情况

4）2x2x15用画十字交叉线方法表示各种情况

三、合作探究

用十字相乘法来因式分解

（1）2x2－5x－12；　　　　　

（2）3x2－5x－2；

（3）6x2－13x+5；　　　　　（4）7x2－19x－6；

（5）2（a+b）2+（a+b）（a－b）－6（a－b）2

四、学习小结

我学会了

我还有疑问

因式分解总复习

一、自主学习：

复习问题：

1、把一个多项式因式分解指的是把一个__________化成__________的形式。

2、分解因式的主要方法有提取公因式法和运用公式法。

其中

（1）找最大公因式的一般有三看：

一看__________，找出系数的__________；二看__________；最后看__________，找出相同字母的__________。

（2）在分解因式时常用的公式

a2－b2=

a2+2ab+b2=

a2－2ab+b2=

3、从练习中我们可以发现

（1）对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式；

（2）对于二次二项式，考虑应用平方差公式分解；

（3）对于二次三项式，考虑应用完全平方公式分解。

（4）对于二次三项式,不能用完全平方公式分解,考虑应用十字交叉法

二、合作交流：

1、判断下列分解因式的正误

（1）1－y4=（1－y2）（1+y2）

（2）－x2－x5+x=－x（x－x4+1）

（3）x2+x+1=（x+1）2

（4）2n2－nm－n=2n（n－m－n）

（5）4b2c2-（b2+c2-a2）2=（2bc+b2+c2-a2）（2bc-b2-c2+a2）

2、将下列各式分解因式

（1）x4-9x2==

（2）-5x3+5x2+10x==

（3）（a+b）（c-d）-2（a+b）（c+d）==

（4）（a-b）（a-c）+（b-a）·（b-c）==

（5）8x2-2y2==

（6）x5-x3==

（7）9（x+y）2-（x-y）2==

（8）（x2+4）2-16x2==

（9）2a2（a+b）2-3（a+b）3=

（10）m2（m+n）2-n2（m-n）2==

三、合作探究：

1、当k取何值时，100x2-kxy+49y2是一个完全平方式

2、248-1可以被60和70之间的某两个数整除，求这两个数。

（提示26=64）

四、效果检测:

课本P21C1、2

因式分解综合练习

一、自主学习

1、复习：

我们已经学习种因式分解，名称是：

2、下列各个多项式用哪种方法因式分解更好

1）

2）

3）

4）

5）

3、将上题中的各个多项式进行因式分解。

1）2）

3）4）5）

二、合作交流

1、教材P20B组第2题

1）2）

2）4）

2、教材P20B组第3题

三、效果检测：

1、因式分解：

1）（2x+1）y2+（2x+1）2y=_________．

2）（x+2y）（3x2-4y2）-（x+2y）2（x-2y）=________．

3）

=_________．

4）

=_________．

5）x2-2xy-35y2=（x-7y）（   ）

6）2x2-7x-15=（x-5）（   ）．

2、填空

1）20x2+（   ）+14y2=（4x-7y）（5x-2y）

2）kx2+5x-6=（3x-2）（   ），k=______