第3节 简单的逻辑联结词全称量词与存在量词.docx

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第3节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词

第3节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

考试要求　1.了解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；2.理解全称量词与存在量词的意义；3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

知识梳理

1.简单的逻辑联结词

（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.

（2）命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断

p

q

p∧q

p∨q

綈p

真

真

真

真

假

真

假

假

真

假

假

真

假

真

真

假

假

假

假

真

2.全称量词与存在量词

（1）全称量词：

短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示.

（2）存在量词：

短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示.

3.全称命题和特称命题

名称

全称命题

特称命题

结构

对M中的任意一个x，有p（x）成立

存在M中的一个x0，使p（x0）成立

简记

∀x∈M，p（x）

∃x0∈M，p（x0）

否定

∃x0∈M，綈p（x0）

∀x∈M，綈p（x）

[常用结论与微点提醒]

1.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀：

p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与綈p→真假相反.

2.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.

3.“p∨q”的否定是“（綈p）∧（綈q）”，“p∧q”的否定是“（綈p）∨（綈q）”.

4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”，可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.

诊断自测

1.判断下列结论正误（在括号内打“√”或“×”）

（1）命题“5>6或5>2”是假命题.（　　）

（2）命题綈（p∧q）是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.（　　）

（3）“长方形的对角线相等”是特称命题.（　　）

（4）∃x0∈M，p（x0）与∀x∈M，綈p（x）的真假性相反.（　　）

解析　

（1）错误.命题p∨q中，p，q有一真则真.

（2）错误.p∧q是真命题，则p，q都是真命题.

（3）错误.命题“长方形的对角线相等”是全称命题.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√

2.（老教材选修1－1P18A1（3）改编）已知p：

2是偶数，q：

2是质数，则命题綈p，綈q，p∨q，p∧q中真命题的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　p和q显然都是真命题，所以綈p，綈q都是假命题，p∨q，p∧q都是真命题.

答案　B

3.（新教材必修第一册P29习题1.5T3（3）改编）命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是________________________________________.

答案　有些表面积相等的三棱锥体积不相等

4.（2020·成都诊断）已知命题p：

∃x0∈R，x

＋4x0＋6<0，则綈p为（　　）

A.∀x∈R，x2＋4x＋6≥0B.∃x∈R，x2＋4x＋6>0

C.∀x∈R，x2＋4x＋6>0D.∃x∈R，x2＋4x＋6≥0

解析　依据特称命题的否定是全称命题，由此知答案A是正确的.

答案　A

5.（2020·唐山模拟）已知命题p：

f（x）＝x3－ax的图象关于原点对称；命题q：

g（x）＝xcosx的图象关于y轴对称.则下列命题为真命题的是（　　）

A.綈pB.qC.p∧qD.p∧（綈q）

解析　根据题意，对于f（x）＝x3－ax，有f（－x）＝（－x）3－a（－x）＝－（x3－ax）＝

－f（x），为奇函数，其图象关于原点对称，p为真命题；对于g（x）＝xcosx，

g（－x）＝（－x）cos（－x）＝－xcosx，为奇函数，其图象关于原点对称，q为假命题，则

綈p为假命题，q为假命题，p∧q为假命题，p∧（綈q）为真命题.

答案　D

6.（2019·豫南五校联考）若“∀x∈

，m≤tanx＋2”为真命题，则实数m的最大值为________.

解析　由x∈

，∴1≤tanx＋2≤2＋

.

∵“∀x∈

，m≤tanx＋2”为真命题，则m≤1.

∴实数m的最大值为1.

答案　1

考点一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

【例1】

（1）设a，b，c是非零向量.已知命题p:

若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：

若a∥b，b∥c，则a∥c.则下列命题中真命题是（　　）

A.p∨qB.p∧q

C.（綈p）∧（綈q）D.p∧（綈q）

（2）（2020·广州调研）已知命题p：

若a>|b|，则a2>b2；命题q：

m，n是直线，α为平面，若m∥α，n⊂α，则m∥n.下列命题为真命题的是（　　）

A.p∧qB.p∧（綈q）

C.（綈p）∧qD.（綈p）∧（綈q）

解析　

（1）取a＝c＝（1，0），b＝（0，1），显然a·b＝0，b·c＝0，但a·c＝1≠0，∴p是假命题.

又a，b，c是非零向量，

由a∥b知a＝xb（x∈R），由b∥c知b＝yc（y∈R），

∴a＝xyc，∴a∥c，∴q是真命题.

综上知p∨q是真命题，p∧q是假命题.

綈p为真命题，綈q为假命题.

∴（綈p）∧（綈q），p∧（綈q）都是假命题.

（2）对于命题p，由a>|b|两边平方，可得到a2>b2，故命题p为真命题.对于命题q，直线m∥α，但是m，n有可能是异面直线，故命题q为假命题，綈q为真命题.所以p∧（綈q）为真命题.

答案　

（1）A　

（2）B

规律方法　1.“p∨q”、“p∧q”、“綈p”形式命题真假的判断关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”含义的理解，其操作步骤是：

（1）明确其构成形式；

（2）判断其中命题p，q的真假；（3）确定“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假.

2.p∧q形式是“一假必假，全真才真”，p∨q形式是“一真必真，全假才假”，綈p则是“与p的真假相反”.

【训练1】

（1）若命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，则（　　）

A.命题p与命题q都是真命题

B.命题p与命题q都是假命题

C.命题p是真命题，命题q是假命题

D.命题p是假命题，命题q是真命题

（2）（2020·衡水中学检测）命题p：

若向量a·b<0，则a与b的夹角为钝角；命题q：

若cosα·cosβ＝1，则sin（α＋β）＝0.下列命题为真命题的是（　　）

A.pB.綈qC.p∧qD.p∨q

解析　

（1）因为綈p为真命题，所以p为假命题，又p∨q为真命题，所以q为真命题.

（2）当a，b方向相反时，a·b<0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；

若cosαcosβ＝1，则cosα＝cosβ＝1或cosα＝cosβ＝－1，

所以sinα＝sinβ＝0，从而sin（α＋β）＝0，命题q是真命题，

所以p∨q是真命题.

答案　

（1）D　

（2）D

考点二　全称量词与存在量词　

多维探究

角度1　含有量词命题的否定

【例2－1】（2020·河南八所重点高中联考）已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：

∀f（x）∈A，|f（x）|∈B，则綈p为（　　）

A.∀f（x）∈A，|f（x）|∉BB.∀f（x）∉A，|f（x）|∉B

C.∃f（x）∈A，|f（x）|∉BD.∃f（x）∉A，|f（x）|∉B

解析　全称命题的否定为特称命题：

改写量词，否定结论.

∴綈p：

∃f（x）∈A，|f（x）|∉B.

答案　C

角度2　全称（特称）命题的真假判断

【例2－2】

（1）已知定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是（　　）

A.∀x∈R，f（－x）≠f（x）

B.∀x∈R，f（－x）≠－f（x）

C.∃x0∈R，f（－x0）≠f（x0）

D.∃x0∈R，f（－x0）≠－f（x0）

（2）（2020·衡水检测）已知命题p：

∀x∈N*，

≥

，命题q：

∃x∈R，2x＋21－x＝2

，则下列命题中是真命题的是（　　）

A.p∧qB.（綈p）∧q

C.p∧（綈q）D.（綈p）∧（綈q）

解析　

（1）∵定义域为R的函数f（x）不是偶函数，∴∀x∈R，f（－x）＝f（x）为假命题，∴∃x0∈R，f（－x0）≠f（x0）为真命题.

（2）因为y＝xn（n∈N*）在（0，＋∞）上递增.

∴∀x∈N*，

≥

成立，p为真命题.

又2x＋21－x≥2

＝2

，

当且仅当2x＝21－x，即x＝

时，上式取等号，

则q为真命题.因此p∧q为真命题.

答案　

（1）C　

（2）A

规律方法　1.全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别，否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论.

2.判定全称命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p（x）成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可.

【训练2】

（1）（角度1）命题“∃x0∈R，1

A.∀x∈R，1

B.∃x0∈R，1

C.∃x0∈R，f（x0）≤1或f（x0）>2

D.∀x∈R，f（x）≤1或f（x）>2

（2）（角度2）已知命题p：

∀x∈R，x＋

≥2；命题q：

∃x0∈（0，＋∞），x

＞x

，则下列命题中为真命题的是（　　）

A.（綈p）∧qB.p∧（綈q）

C.（綈p）∧（綈q）D.p∧q

解析　

（1）特称命题的否定是全称命题，原命题的否定形式为“∀x∈R，f（x）≤1或f（x）>2”.

（2）对于p：

当x＝－1时，x＋

＝－2，∴p为假命题.对于q：

取x0∈（0，1），此时x

＞x

，∴q为真命题.

从而綈p为真命题，（綈p）∧q为真命题.

答案　

（1）D　

（2）A

考点三　由命题的真假求参数　

典例迁移

【例3】

（1）已知命题p：

“∀x∈[0，1]，a≥ex”；命题q：

“∃x0∈R，使得x

＋4x0＋a＝0”.若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为________________.

（2）（经典母题）已知f（x）＝ln（x2＋1），g（x）＝

－m，若对∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），则实数m的取值范围是________________.

解析　

（1）若命题“p∧q”是真命题，那么命题p，q都是真命题.由∀x∈[0，1]，a≥ex，得a≥e；由∃x0∈R，使x

＋4x0＋a＝0，得Δ＝16－4a≥0，则a≤4，因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e，4].

（2）当x∈[0，3]时，f（x）min＝f（0）＝0，

当x∈[1，2]时，g（x）min＝g

（2）＝

－m，

由f（x）min≥g（x）min，

得0≥

－m，所以m≥

.

答案　

（1）[e，4]　

（2）

【迁移】本例

（2）中，若将“∃x2∈[1，2]”改为“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是__________________________________.

解析　当x∈[1，2]时，g（x）max＝g

（1）＝

－m，对∀x1∈[0，3]，∀x2∈[1，2]使得f（x1）≥g（x2）等价于f（x）min≥g（x）max，得0≥

－m，∴m≥

.

答案　

规律方法　1.由含逻辑联结词的命题真假求参数的方法步骤：

（1）求出每个命题是真命题时参数的取值范围；

（2）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

2.全称命题可转化为恒成立问题.

3.含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数的最值解决.

【训练3】已知命题p：

∀x∈R，2x<3x，命题q：

∃x∈R，x2＝2－x，若命题

（綈p）∧q为真命题，则x的值为（　　）

A.1B.－1C.2D.－2

解析　因为綈p：

∃x∈R，2x≥3x，要使（綈p）∧q为真，所以綈p与q同时为真.

由2x≥3x，得

≥1，所以x≤0.①

由x2＝2－x，得x＝1或x＝－2.②

由①②知x＝－2.

答案　D

逻辑推理——突破双变量“存在性或任意性”问题

　逻辑推理的关键要素是：

逻辑的起点、推理的形式、结论的表达.解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系（或两个函数最值之间的关系），目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质.

类型1　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得g（x2）＝f（x1）成立”的问题

【例1】已知函数f（x）＝x3＋（1－a）x2－a（a＋2）x，g（x）＝

x－

，若对任意x1∈

[－1，1]，总存在x2∈[0，2]，使得f′（x1）＋2ax1＝g（x2）成立，求实数a的取值范围.

解　由题意知，g（x）在[0，2]上的值域为

.

令h（x）＝f′（x）＋2ax＝3x2＋2x－a（a＋2），

则h′（x）＝6x＋2，由h′（x）＝0得x＝－

.

当x∈

时，h′（x）<0；当x∈

时，h′（x）>0，所以[h（x）]min＝h

＝－a2－2a－

.

又由题意可知，h（x）的值域是

的子集，所以

解得实数a的取值范围是[－2，0].

思维升华　理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数f（x）的值域是g（x）的值域的子集”，从而利用包含关系构建关于a的不等式组，求得参数的取值范围.

类型2　形如“存在x1∈A及x2∈B，使得f（x1）＝g（x2）成立”的问题

【例2】已知函数f（x）＝

函数g（x）＝ksin

－2k＋2（k>0），若存在x1∈[0，1]及x2∈[0，1]，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数k的取值范围.

解　由题意，易得函数f（x）的值域为[0，1]，g（x）的值域为

，并且两个值域有公共部分.

先求没有公共部分的情况，即2－2k>1或2－

k<0，解得k<

或k>

，所以，要使两个值域有公共部分，k的取值范围是

.

思维升华　本类问题的实质是“两函数f（x）与g（x）的值域的交集不为空集”，上述解法的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为“任意”，则“等价转化”策略是利用“f（x）的值域和g（x）的值域相等”来求解参数的取值范围.

类型3　形如“对任意x1∈A，都存在x2∈B，使得f（x1）

【例3】已知函数f（x）＝x＋

，g（x）＝2x＋a，若∀x1∈

，∃x2∈[2，3]，使得f（x1）≤g（x2），则实数a的取值范围是________.

解析　依题意知f（x）max≤g（x）max.

∵f（x）＝x＋

在

上是减函数，∴f（x）max＝f

＝

.

又g（x）＝2x＋a在[2，3]上是增函数，∴g（x）max＝8＋a，

因此

≤8＋a，则a≥

.

答案　

思维升华　理解量词的含义，将原不等式转化为[f（x）]max≤[g（x）]max；利用函数的单调性，求f（x）与g（x）的最大值，得关于a的不等式，求得a的取值范围.

思考1：

在[例3]中，若把“∃x2∈[2，3]”变为“∀x2∈[2，3]”时，其它条件不变，则a的取值范围是________.

问题“等价转化”为[f（x）]max≤[g（x）]min，请读者完成.

思考2：

在[例3]中，若将“∀x1∈

”改为“∃x1∈

”，其它条件不变，则a的取值范围是______.

问题“等价转化”为f（x）min≤g（x）max，请读者自行求解.

A级　基础巩固

一、选择题

1.（2020·宜昌调研）命题p：

“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为（　　）

A.∀x>1，x2－1≤0B.∀x≤1，x2－1≤0

C.∃x0>1，x

－1≤0D.∃x0≤1，x

－1≤0

解析　命题p：

“∀x>1，x2－1>0”，则綈p为：

∃x0>1，x

－1≤0.

答案　C

2.第32届夏季奥林匹克运动会将于2020年7月24日在日本东京隆重开幕.在体操预赛中，有甲、乙两位队员参加.设命题p是“甲落地站稳”，q是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没有站稳”可表示为（　　）

A.（綈p）∨（綈q）B.p∨（綈q）

C.（綈p）∧（綈q）D.p∨q

解析　命题“至少有一位队员落地没有站稳”包含以下三种情况：

“甲、乙落地均没有站稳”、“甲落地没站稳，乙落地站稳”、“乙落地没有站稳，甲落地站稳”，故可表示为（綈p）∨（綈q）.或者，命题“至少有一位队员落地没有站稳”等价于命题“甲、乙均落地站稳”的否定，即“p∧q”的否定，选A.

答案　A

3.命题“∀n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（　　）

A.∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞n

B.∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞n

C.∃n0∈N*，f（n0）∉N*且f（n0）＞n0

D.∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）＞n0

解析　∵全称命题的否定为特称命题，

∴该命题的否定是：

∃n0∈N*，f（n0）∉N*或f（n0）>n0.

答案　D

4.已知命题p：

∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：

若a2

A.p∧qB.p∧綈q

C.綈p∧qD.綈p∧綈q

解析　因为x2－x＋1＝

＋

>0恒成立，所以p为真命题，则綈p为假命题；当a＝1，b＝－2时，满足a2

答案　B

5.（2020·河南六校联考）已知命题p：

对任意x∈R，总有2x>x2，q：

“ab>4”是“a>2，b>2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（　　）

A.p∧qB.（綈p）∧q

C.p∧（綈q）D.（綈p）∧（綈q）

解析　当x＝2时，2x＝x2，所以p是假命题；由a>2，b>2可以推出ab>4；反之不成立，例如a＝2，b＝4，所以“ab>4”是“a>2，b>2”的必要不充分条件，故q是假命题；所以（綈p）∧（綈q）是真命题.

答案　D

6.已知命题“∃x∈R，4x2＋（a－2）x＋

≤0”是假命题，则实数a的取值范围为（　　）

A.（－∞，0）B.[0，4]

C.[4，＋∞）D.（0，4）

解析　因为命题“∃x∈R，4x2＋（a－2）x＋

≤0”是假命题，所以其否定命题“∀x∈R，4x2＋（a－2）x＋

>0”是真命题.

则Δ＝（a－2）2－4×4×

＝a2－4a<0，

解得0

答案　D

7.命题p：

函数y＝log2（x－2）的单调递增区间是[1，＋∞），命题q：

函数y＝

的值域为（0，1）.下列命题是真命题的为（　　）

A.p∧qB.p∨qC.p∧（綈q）D.綈q

解析　由于y＝log2（x－2）的单调递增区间是（2，＋∞），

所以命题p是假命题.

由3x>0，得3x＋1>1，所以0<

<1，

所以函数y＝

的值域为（0，1），故命题q为真命题.

所以p∧q为假命题，p∨q为真命题，p∧（綈q）为假命题，綈q为假命题.

答案　B

8.已知函数f（x）＝a2x－2a＋1.若命题“∀x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A.

B.（1，＋∞）

C.

D.

∪（1，＋∞）

解析　∵函数f（x）＝a2x－2a＋1，

命题“∀x∈（0，1），f（x）≠0”是假命题，

∴原命题的否定：

“∃x0∈（0，1），使f（x0）＝0”是真命题，

∴f

（1）f（0）<0，即（a2－2a＋1）（－2a＋1）<0，

∴（a－1）2（2a－1）>0，解得a>

，且a≠1，

∴实数a的取值范围是

∪（1，＋∞）.

答案　D

二、填空题

9.若“∀x∈

，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________.

解析　∵函数y＝tanx在

上是增函数，∴ymax＝tan

＝1，依题意，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1.

答案　1

10.命题p的否定是“对所有正数x，

>x＋1”，则命题p可写为________________________________.

解析　因为p是綈p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.

答案　∃x0∈（0，＋∞），

≤x0＋1

11.（2020·湖南百校大联考改编）下列四个命题：

p1：

任意x∈R，2x>0；p2：

存在x∈R，x2＋x＋1≤0；p3：

任意x∈R，sinx<2x；p4：

存在x∈R，cosx>x2＋x＋1.其中是真命题的为________.

解析　∀x∈R，2x>0恒成立，p1是真命题.

又x2＋x＋1＝

＋

>0，∴p2是假命题.

由sin

＝1>2－

π，知p3是假命题.

取x＝－

时，cos

>cos

＝

，

但x2＋x＋1＝

<

，则p4为真.

综上，p1，p4为真命题，p2，p3是假命题.

答案　p1，p4

12.已知命题p：

∃x0∈R，（m＋1）（x

＋1）≤0，命题q：

∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立.若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________.

解析　由命题p：

∃x0∈R，（m＋1）（x

＋1）≤0可得m≤－1；由命题q：

∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，即Δ＝m2－4<0，可得－2

若p∧q为真命题，则－2

因为p∧q为假命题，所以m≤－2或m>－1.

答案　（－∞，－2]∪（－1，＋∞）

B级　能力提升

13.命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是（　　）

A.∀x∈R，∃n∈N*，使得n

B.∀x∈R，∀n∈N*，使得n

C.∃x∈R，∃n∈N*，使得n

D.∃x0∈R，∀n∈N*，使得n

解析　改变量词，否定结论.∴该命题的否定应为：

∃x0∈R，∀n∈N*，使得n

.

答案　D

14.（2020·南昌质检）下列有关命题的说法正确的是（　　）

A.命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”

B.命题p：

∃x0∈R，sinx0＝

；命题q：

∀x∈R，x>sinx，则命题p∨q为真

C.命题“∃x0∈R，x

＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1<0”

D.命题“若x＝y，则sinx＝siny”的逆否命题是真命题

解析　选项A，命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2≠1，则x≠1”，∴A选项错误.

选项B，∵sinx0＝

>1，

∴命题p是假命题.命题q：

当x＝0时，x＝sinx，

∴命题q是假命题，则命题p∨q为假.

∴B选项错误.

选项C，命题“∃x0∈R，x

＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，∴C选项错误.

选项D，∵x＝y，∴sinx＝siny，

∴该命题的逆否命题为真命题.

∴D选项正确.

答案　D

15.已知函数f（x）＝