届高三数学一轮复习导学案教师讲义第4章第6讲 三角函数的图象及三角函数模型的简单应用.docx
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届高三数学一轮复习导学案教师讲义第4章第6讲三角函数的图象及三角函数模型的简单应用
第6讲 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用
1．y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念
y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0），
x∈[0，＋∞）表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x
－
－
－
ωx＋φ
0
π
2π
y＝Asin（ωx＋φ）
0
A
0
－A
0
3.三角函数图象变换的两种方法（ω＞0）
判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）y＝sin的图象可以由y＝sin的图象向右平移个单位得到．（ ）
（2）将函数y＝sinωx的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度，得到函数y＝sin（ωx－φ）的图象．（ ）
（3）利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．（ ）
（4）函数y＝Asin（ωx＋φ）的最小正周期为T＝.（ ）
（5）把y＝sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.（ ）
（6）若函数y＝Acos（ωx＋φ）的最小正周期为T，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.（ ）
答案：
（1）√
（2）× （3）× （4）× （5）× （6）√
（教材习题改编）y＝2sin的振幅、频率和初相分别为（ ）
A．2，，－ B．2，，－
C．2，，－D．2，，－
答案：
A
（教材习题改编）为了得到函数y＝3sin的图象，只需将y＝3sin的图象上的所有点（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：
选D.因为y＝3sin＝3sin，故选D.
为了得到y＝3sin2x＋1的图象，只需将y＝3sinx的图象上的所有点（ ）
A．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
B．横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度
C．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度
D．横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度
解析：
选B．将y＝3sinx的图象上的所有点的横坐标缩短倍，得到y＝3sin2x的图象，再向上平移1个单位长度即得y＝3sin2x＋1的图象，故选B．
若将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ）
A．x＝－（k∈Z）
B．x＝＋（k∈Z）
C．x＝－（k∈Z）
D．x＝＋（k∈Z）
解析：
选B．函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y＝2sin，令2＝kπ＋（k∈Z），解得x＝＋（k∈Z），所以所求对称轴的方程为x＝＋（k∈Z），故选B．
已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω>0）的图象如图所示，则ω＝________．
解析：
由题图可知，＝－＝，
即T＝，所以＝，
故ω＝.
答案：
五点法作图及图象变换
[典例引领]
已知函数f（x）＝sinωx＋cosωx（ω＞0）的最小正周期为π.
（1）求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y＝f（x）在区间[0，π]上的图象；
（2）函数y＝f（x）的图象可由函数y＝sinx的图象经过怎样的变换得到？
【解】
（1）由题意知f（x）＝sin，
因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，
故f（x）＝sin.
列表如下：
2x＋
π
2π
x
0
π
f（x）
1
0
－1
0
y＝f（x）在[0，π]上的图象如图所示．
（2）将y＝sinx的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，再将y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数f（x）＝sin（x∈R）的图象．
函数y＝Asin（ωx＋φ）（A>0，ω>0）的图象的两种作法
五点法
设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象
图象变换法
由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin（ωx＋φ）的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
[注意] 平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
[通关练习]
1．（2018·安徽两校阶段性测试）将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为（ ）
A．x＝ B．x＝
C．x＝D．x＝π
解析：
选A．将函数y＝cos图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时，得到函数y＝cos的图象；再将此函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝cos＝cos的图象．该函数图象的对称轴为－＝kπ（k∈Z），即x＝2kπ＋（k∈Z）．结合选项，只有A符合，故选A．
2．（2018·宝鸡质量检测
（一））为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝cos的图象（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：
选A．y＝cos＝sin＝sin，故要得到函数y＝sin的图象，只需要平移－＝个单位长度，又＞0，所以应向左平移，故选A．
由图象确定y＝Asin（ωx＋φ）的解析式
[典例引领]
（1）（2018·兰州诊断考试）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，若x1，x2∈，且f（x1）＝f（x2），则f（x1＋x2）＝（ ）
A．B．
C．D．1
（2）已知函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋B（A>0，x∈R，ω>0，|φ|<π）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为f（x）＝________．
【解析】
（1）由题图知，＝，即T＝π，则ω＝2，所以f（x）＝sin（2x＋φ），因为点在函数f（x）的图象上，所以sin（2×＋φ）＝0，即＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z，
又|φ|＜，所以φ＝，
所以f（x）＝sin（2x＋），
因为x1，x2∈，
且f（x1）＝f（x2），
所以＝，
所以x1＋x2＝，
所以f（x1＋x2）＝sin（2×＋）＝.
（2）由题图可知，函数的最大值为A＋B＝3，最小值为－A＋B＝－1，解得A＝2，B＝1.
函数的最小正周期为T＝2×＝π，
由＝π，解得ω＝2.
由f＝2sin＋1＝－1，
得sin＝－1，
故φ－＝2kπ－（k∈Z），
解得φ＝2kπ－（k∈Z），
又因为|φ|<π，
所以φ＝－.
所以f（x）＝2sin＋1.
【答案】
（1）C
（2）2sin＋1
确定y＝Asin（ωx＋φ）＋b（A＞0，ω＞0）的步骤和方法
（1）求A，b：
确定函数的最大值M和最小值m，
则A＝，b＝.
（2）求ω：
确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.
（3）求φ：
常用的方法有：
①代入法：
把图象上的一个已知点代入（此时A，ω，b已知）或代入图象与直线y＝b的交点求解（此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上）．
②特殊点法：
确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”（即图象的“峰点”）时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z；“最小值点”（即图象的“谷点”）时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
[通关练习]
1.函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f的值为（ ）
A．－B．－
C．－D．－1
解析：
选D.由图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，得φ＝，则f（x）＝sin，f＝sin＝sin＝－1，选项D正确．
2．已知函数f（x）＝Acos（ωx＋φ）的图象如图所示，f＝－，则f＝（ ）
A．－B．－
C．D．
解析：
选A．由题图知＝－＝，
所以T＝，即ω＝3，
当x＝时，y＝0，
即3×＋φ＝2kπ－，k∈Z，
所以φ＝2kπ－，k∈Z，
即k＝1时，φ＝－，
所以f（x）＝Acos.
即Acos＝－，得A＝，
所以f（x）＝cos，
故f＝cos＝－.
三角函数图象与性质的应用（高频考点）
三角函数图象与性质的应用是每年高考的重点，既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中．主要命题角度有：
（1）三角函数模型的实际应用；
（2）与三角函数有关的零点（方程根）问题；
（3）三角函数的图象与性质的综合问题．
[典例引领]
角度一 三角函数模型的实际应用
某实验室一天的温度（单位：
℃）随时间t（单位：
h）的变化近似满足函数关系：
f（t）＝10－cost－sint，t∈[0，24），则实验室这一天的最大温差为________℃.
【解析】 因为f（t）＝10－2
＝10－2sin，
又0≤t＜24，
所以≤t＋＜，
所以－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f（t）在[0，24）上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
【答案】 4
角度二 与三角函数有关的零点（方程根）问题
已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________．
【解析】 方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin2x＝cos2x＋sin2x＝2sin，x∈.
设2x＋＝t，则t∈，
所以题目条件可转化为＝sint，t∈有两个不同的实数根．
所以y＝和y＝sint，t∈的图象有两个不同交点，如图：
由图象观察知，的范围为，
故m的取值范围是（－2，－1）．
【答案】 （－2，－1）
角度三 三角函数的图象与性质的综合问题
已知函数f（x）＝4cosωx·sin＋a（ω>0）图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.
（1）求a和ω的值；
（2）求函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间．
【解】
（1）f（x）＝4cosωx·sin＋a
＝4cosωx·＋a
＝2sinωxcosωx＋2cos2ωx－1＋1＋a
＝sin2ωx＋cos2ωx＋1＋a
＝2sin＋1＋a.
当sin＝1时，f（x）取得最大值2＋1＋a＝3＋a，又f（x）图象上最高点的纵坐标为2，
所以3＋a＝2，所以a＝－1.
又f（x）图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以f（x）的最小正周期T＝π，
所以2ω＝＝2，所以ω＝1.
（2）由
（1）得f（x）＝2sin，
由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
令k＝0，得≤x≤，
所以函数f（x）在[0，π]上的单调递减区间为.
（1）三角函数模型的应用体现在两方面：
一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．
（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．
（3）研究y＝Asin（ωx＋φ）的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
[通关练习]
1.如图为函数f（x）＝Msin（ωx＋φ）（M＞0，ω＞0，≤φ≤π）的部分图象，若点A，B分别为函数f（x）的最高点与最低点，且|AB|＝5，那么f（－1）＝（ ）
A．2B．
C．－D．－2
解析：
选A．由图可知M＝2，f（0）＝1，即2sinφ＝1，解得sinφ＝，又因为≤φ≤π，所以φ＝.又A，B两点是函数图象上的最高点和最低点，设A（x1，2），B（x2，－2），由题意知|AB|＝5，即＝5，解得|x2－x1|＝3.由图可知A，B两点横坐标之差的绝对值为最小正周期的一半，即|x2－x1|＝，而T＝，故＝3，解得ω＝，所以f（x）＝2sin，故f（－1）＝2sin＝2sin＝2，故选A．
2．已知函数f（x）＝cos，其中x∈，若f（x）的值域是，则m的取值范围是________．
解析：
画出函数的图象．
由x∈，可知≤3x＋≤3m＋，
因为f＝cos＝－且f＝cosπ＝－1，
要使f（x）的值域是，只要≤m≤，即m∈.
答案：
五点法作图及图象变换问题
（1）五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线的凸凹方向；
（2）图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言，而不是看角ωx＋φ的变化．
由图象确定函数解析式
解决由函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象确定A，ω，φ的问题时，常常以“五点法”中的五个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个“零点”和第二个“零点”的位置．要善于抓住特殊量和特殊点．
1．（2018·福州综合质量检测）要得到函数f（x）＝cos2x的图象，只需将函数g（x）＝sin2x的图象（ ）
A．向左平移个周期 B．向右平移个周期
C．向左平移个周期D．向右平移个周期
解析：
选C．因为f（x）＝cos2x＝sin＝sin，且函数g（x）的周期为＝π，所以将函数g（x）＝sin2x的图象向左平移个单位长度，即向左平移个周期，可得函数f（x）＝cos2x的图象，故选C．
2．（2017·高考全国卷Ⅰ）已知曲线C1：
y＝cosx，C2：
y＝sin，则下面结论正确的是（ ）
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
解析：
选D.易知C1：
y＝cosx＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，故选D.
3．函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（－1＋4kπ，1＋4kπ），k∈Z
B．（－3＋8kπ，1＋8kπ），k∈Z
C．（－1＋4k，1＋4k），k∈Z
D．（－3＋8k，1＋8k），k∈Z
解析：
选D.由题图，知T＝4×（3－1）＝8，所以ω＝＝，所以f（x）＝sin.把（1，1）代入，得sin＝1，即＋φ＝＋2kπ（k∈Z），又|φ|＜，所以φ＝，所以f（x）＝sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋（k∈Z），得8k－3≤x≤8k＋1（k∈Z），所以函数f（x）的单调递增区间为（8k－3，8k＋1）（k∈Z），故选D.
4．（2018·湖南五市十校联考）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则＝（ ）
A．－1B．
C．D．1
解析：
选B．由已知易得ω＝2，由五点法作图可知2×＋φ＝，得φ＝，即f（x）＝sin.故f＝1，f＝，f＝－，f＝－1，f＝－，f＝，故＝336×＋f＋f＝.故选B．
5．将函数f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位长度后关于原点对称，则函数f（x）在上的最小值为（ ）
A．－B．－
C．D．
解析：
选A．将f（x）＝sin（2x＋φ）的图象向左平移个单位长度得y＝sin＝sin的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝kπ（k∈Z），且|φ|＜，所以φ＝－，即f（x）＝sin，当x∈时，2x－∈，所以当2x－＝－，即x＝0时，f（x）取得最小值，最小值为－，选A．
6．已知函数f（x）＝Atan（ωx＋φ），y＝f（x）的部分图象如图，则f＝________．
解析：
由题图可知，T＝2＝，
所以ω＝2，所以2×＋φ＝kπ＋（k∈Z）．
又|φ|<，所以φ＝.
又f（0）＝1，所以Atan＝1，得A＝1，
所以f（x）＝tan，
所以f＝tan＝tan＝.
答案：
7．函数f（x）＝sinωx（ω＞0）的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是________．
解析：
依题意得，函数f＝sin（ω＞0）的图象过点，于是有f＝sin＝sinωπ＝0（ω＞0），ωπ＝kπ，k∈Z，即ω＝k∈Z，因此正数ω的最小值是1.
答案：
1
8．已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f（x）＝________．
解析：
依题意得＝2，则＝2，即ω＝，所以f（x）＝sin，由于该函数图象过点，因此sin（π＋φ）＝－，即sinφ＝，而－≤φ≤，故φ＝，所以f（x）＝sin.
答案：
sin
9．某同学用“五点法”画函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
Asin（ωx＋φ）
0
5
－5
0
（1）请将上表数据补充完整，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y＝f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ>0）个单位长度，得到y＝g（x）的图象．若y＝g（x）图象的一个对称中心为，求θ的最小值．
解：
（1）根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－，数据补全如下表：
ωx＋φ
0
π
2π
x
π
Asin（ωx＋φ）
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f（x）＝5sin.
（2）由
（1）知f（x）＝5sin，
则g（x）＝5sin.
因为函数y＝sinx图象的对称中心为（kπ，0），k∈Z,
令2x＋2θ－＝kπ，
解得x＝＋－θ，k∈Z.
由于函数y＝g（x）的图象关于点成中心对称，
所以令＋－θ＝，
解得θ＝－，k∈Z.
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
10．已知f（x）＝2sin＋a＋1.
（1）若x∈R，求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈时，f（x）的最大值为4，求a的值；
（3）在
（2）的条件下，求满足f（x）＝1且x∈[－π，π]的x集合．
解：
（1）由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
可得x∈（k∈Z），
所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．
（2）当x＝时，f（x）取最大值，
f＝2sin＋a＋1＝a＋3＝4，
所以a＝1.
（3）由f（x）＝2sin＋2＝1可得
sin＝－，
则2x＋＝＋2kπ或2x＋＝π＋2kπ，k∈Z，
即x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z，
又x∈[－π，π]，
可解得x＝－，－，，，
所以x的集合为.
1．将函数f（x）＝sin2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）－g（x2）|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝，则φ＝（ ）
A． B．
C．D．
解析：
选D.由已知得g（x）＝sin（2x－2φ），满足|f（x1）－g（x2）|＝2，不妨设此时y＝f（x）和y＝g（x）分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝，令2x1＝，2x2－2φ＝－，此时|x1－x2|＝＝，又0<φ<，故φ＝，选D.
2．已知函数f（x）＝sin（2x＋φ），其中φ为实数，若f（x）≤|f|对x∈R恒成立，且f＞f（π），则f（x）的单调递增区间是（ ）
A．（k∈Z）
B．（k∈Z）
C．（k∈Z）
D．（k∈Z）
解析：
选C．因为f（x）≤对x∈R恒成立，即＝＝1，所以φ＝kπ＋（k∈Z）．因为f＞f（π），所以sin（π＋φ）＞sin（2π＋φ），即sinφ＜0，所以φ＝－π＋2kπ（k∈Z），所以f（x）＝sin，所以由三角函数的单调性知2x－∈（k∈Z），得x∈（k∈Z），故选C．
3．（2017·高考天津卷）设函数f（x）＝2sin（ωx＋φ），x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f＝0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（ ）
A．ω＝，φ＝B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－D．ω＝，φ＝
解析：
选A．由f＝2，f＝0，f（x）的最小正周期T>2π，可得－＝＝，所以T＝3π，所以ω＝＝.再由f＝2及|φ|<π得φ＝.
4．（2018·南宁模拟）将函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sinx的图象，则f＝________.
解析：
y＝sinxy＝siny＝sin，
即f（x）＝sin，所以f＝sin＝sin＝.
答案：
5．（2017·高考山东卷）设函数f（x）＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
（1）求ω；
（2）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在上的最小值．
解：
（1）因为f（x）＝sin＋sin，
所以f（x）＝sinωx－cosωx－cosωx＝sinωx－cosωx
＝＝sin.
由题设知f＝0，
所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0＜ω＜3，
所以ω＝2.
（2）由
（1）得f（x）＝sin，
所以g（x）＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，
即x＝－时，g（x）取得最小值－.
6．已知函数f（x）＝cos（πx＋φ）的部分图象如图所示．
（1）求φ及图中x0的值；
（2）设g（x）＝f（x）＋f，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．
解：
（1）由题图得f（0）＝，
所以cosφ＝，
因为0<φ<，故φ＝.
由于f（x）的最小正周期等于2，
所以由题图可知1故<πx0＋<，
由f（x0）＝得cos＝，
所以πx0＋＝，x0＝.
（2）因为f＝cos＝cos＝－sinπx，
所以g（x）＝f（x）＋f＝cos－sinπx＝cosπxcos－sinπxsin－sinπx
＝cosπx－sinπx＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
故－πx＝，
即x＝－时，g（x）取得最大值；
当－πx＝－，
即x＝时，g（x）取得最小值－.
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