Matlab在《复变函数与积分变换》中的应用.docx
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Matlab在《复变函数与积分变换》中的应用
Matlab在《复变函数与积分变换》中的应用
摘要：
复变函数与积分变换工程是应用必备的基础课，在解决实际问题中也有十分重要的意义。
MATLAB是集数值计算、图形处理、图像处理、符号计算文字处理、数字建模、实时控制、动态仿真、信号处理等功能为一体的数学应用软件【1】。
将MATLAB应用到复变函数与积分变换的学习中，可以为复变函数与积分变换的计算和应用带来极大的方便。
关键字：
复变函数积分变换MATLAB应用
前言：
把复变函数与积分变换的学习和MATLAB结合起来，就可以把复杂繁琐的计算交于计算机,而把主要精力集中在建立和优化数学模型上。
可以利用MATLAB可以对一个复常数进行基本的求模，求幅角，求实部、虚部的运算。
更进一步地，还可以求复数的指数、对数，对复数进行三角运算。
在对于复变函数的研究中，可以求解复变函数的留数，并用来求复变函数的积分，对复变函数进行泰勒级数展开。
在积分变换方面，可以对函数进行傅里叶变换、逆变换，进行拉普拉斯变换、逆变换。
1.复数的基本运算
1.1复数的实部和虚部
real（z）返回复数z的实部
imag（z）返回复数z的虚部
1.2共轭复数
conj（z）返回复数z的共轭复数
1.3复数的模和辐角
abs（z）返回复数z的模
angle（z）返回复数z的辐角
1.4复数的乘除法
*乘法：
模相乘，辐角相加
/除法：
模相除，辐角相减
1.5复数的平方根
sqrt（z）返回复数z的平方根值
1.7复数的幂运算
z^n返回复数z的n次幂
1.8复数的指数运算和对数运算
exp（z）返回复数z的以e为底的指数值
log（z）返回复数z的以e为底的对数值
1.9复数的三角运算
sin（z）、cos（z）、tan（z）、cot（z）、sec（z）、asin（z）、…等函数，返回复数z的函数值。
1.10复数方程求根
solve（‘f（x）=0’）求方程f（x）=0的根
例1求下列复数的实部、虚部、共轭复数、模、辐角【2】。
（1）
（2）
（3）
+3
+i
解：
编写程序
Z=[（（1-i）/（1+i））^7,i/（1-i）+（1-i）/i,i^5+3*i^18+i]
re=real（Z）%求实部
im=imag（Z）%求虚部
Z1=conj（Z）%求共轭复数
r=abs（Z）%求模
theta=angle（Z）%求辐角
运行结果为：
例2求
的解。
解：
编写程序
solve（‘z^4+1=0’）
运行结果为：
2计算复变函数的极限、微分与积分
解析函数是《复变函数与积分变换》中最主要的研究对象，它在理论和实际问题中有着广泛的作用。
2.1MATLAB求复变函数极限
例3
解：
编写程序
symsz;
f=z/（sin（z））
limit（f,z,0）
即f（z）在z=0的极限是1
2.2MATLAB求复变函数微分
例4
解：
编写程序
symsz
f=z/（（1+z）*（sin（z）））;
diff（f）
2.3MATLAB求复变函数积分
例5
解
symstz
z=2*cos（t）+i*2*sin（t）;
f=1/（z+i）^10/（z-2）/（z-5）;
inc=int（f*diff（z）,t,0,2*pi）
3用MATLAB计算留数
根据留数的定义，设Z0是解析函数f（z）的孤立奇点，我们把f（z）在Z0处的洛朗展开式中负一次幂项的系数C-1称为f（z）在Z0出的留数，记作Res[f（z）,z]，即Res[f（z）,z]=C-1。
【2】在matlab中利用residue（）函数可以求出任意复变函数的孤立奇点以及在该点处的留数值。
格式如下：
[r,p,k]=residue[b,a]【3】。
例6求下列函数在奇点处的留数
f（z）=
解：
[r,p,k]=residue（[1,1],[1,-2,0]）
所以Res[f（z）,2]=1.5Res[f（z）,0]=-0.5。
例7计算积分
，其中，C为正向圆周,|Z|=2.
解：
先求被积函数的留数。
[r,p,k]=residue（[1,0],[1,0,0,0,-1]）
可见，在圆周|Z|=2内有四个极点，所以积分值等于2xpix（0.25+0.25-0.25-0.25）=0。
4．Taylor级数展开
Taylor级数展开在复变函数中有很重要的地位，如分析复变函数的解析性等。
taylor（f）%返回f函数的5次幂多项式近似
taylor（f,n）返回n-1次幂多项式近似
taylor（f,a）返回a点附近的幂多项式近似
taylor（f,x）对f中的变量x展开；若不含x，则对变量x=findsym（f）展开【4】。
例8求函数
在零点处的泰勒级数展开式。
解：
symsx
Taylor（sin（x）/x,0）
5.Fourier变换及其逆变换
在MATLAB中，使用fourier（）函数来实现Fourier变换，Fourier变换的逆变换是使用ifourier（）函数来实现。
Fourier（f,u,v）将返回函数f,该函数以符号u为自变量，代替默认值x，
F（v）=int（f（x）*exp（-i*v*u）,x,iinf,inf）;
f=ifourier（F,u,v）将返回函数f,该函数以符号v为自变量，代替默认值w，
f（u）=（int（F（V）*EXP（-i*u*v,w,-inf,inf））/2pi。
例9求
的Fourier变换，在此x是参数，t是时间变量【5】。
解：
>>symstxw;
ft=exp（-（t-x））*sym（‘heaviside（t-x）’）;
F1=simle（fourier（ft,t,w））
F2=simle（fourier（ft））
F3=simle（fourier（ft,t））
F1=
1/exp（i*x*w）/（1+i*w）
F2=
1*exp（-i*t*w）/（1+w）
F3=
1*exp（-t*（2+i*t））/（i+t）
例10求Fourier变换的逆变换。
解>>symstuvwx
Ifourier（w*exp（-3*w）*sym（‘Heaviside（w）’））
ans=
1/2/（-3+i*x）^2/pi
>>ifourier（1/（1+w^2）,u）
ans=1/2*exp（-u）*Heaviside（u）+1/2*exp（u）*Heaviside（-u）
>>ifourier（v/（1+w^2）,v,u）
ans=-i/（1+w^2）*dirac（1,u）
>>ifourier（sym（‘fourier（f（x）,x,w）’w,x）
ans=
f（x）
6.Laplace变换及其逆变换
拉普拉斯（laplace）积分变换在工程、应用数学等方面都有重要的作用。
用Matlab求解更加方便【6】。
6.1Laplace变换
F=laplace（f,t,s）求时域函数f（t）的laplace变换F
F是s的函数，参数s省略，返回结果F默认为’s’的函数；f为t的函数，当参数t省略，默认自由变量为’t’。
6.2拉普拉斯（laplace）反变换
F=ilaplace（f,t,s）求F的laplace反变换f
解：
symsts;symsabpositive
f=[exp（sin（t）/t）];
L=laplace（f）
解：
symsts
F=1/（s*（s-1）^2）;
f=simple（ilaplace（F））
7.MATLAB绘图功能在复变函数中的应用
随着计算机处理数据和图形的功能越来越强，复变函数和计算机的结合已经成为必然的选择：
比如从定理的推导证明到繁杂的运算，单调乏味。
十分影响学习的兴趣一和计算杉瞄合起来就不同了．学生可以把复变函数的一些初等厢数．利用绘图功能将该幽数用图形直观的表达出来．由此可以通过图形来观察出函数图形的一些性质，这使得教学过程直观生动。
但由于复变函数的自变量是复数，函数值也是复数，就需要有四个量来表示，而MATLAB表现四位数据的方法是用三个空间坐标再加上颜色。
下面将通过一些具体算例来说明通过复变函数的图形可以帮助我仃J理解复变函数课程中一些比较难于理解的抽象的函数概念和性质【7】。
例13绘制z、
、sinz、
的图像。
解：
subplot（2,2,1）
z=cplxgrid（40）;
cplxmap（z,z）;
colorbar（'vert'）;
title（'z'）;
subplot（2,2,2）
z=cplxgrid（40）;
cplxmap（z,z.^3）;
colorbar（'vert'）;
title（'z^3'）;
subplot（2,2,3）
z=cplxgrid（40）;
cplxmap（z,sin（z））;
colorbar（'vert'）;
title（'sinz'）;
subplot（2,2,4）
subplot（2,2,1）
z=cplxgrid（40）;
cplxmap（z,z）;
colorbar（'vert'）;
title（'z'）;
subplot（2,2,2）
z=cplxgrid（40）;
cplxmap（z,z.^3）;
colorbar（'vert'）;
title（'z^3'）;
subplot（2,2,3）
z=5*cplxgrid（40）;
cplxmap（z,sin（z））;
colorbar（'vert'）;
title（'sin（z）'）;
subplot（2,2,4）
z=cplxgrid（40）;
cplxroot（4）;
colorbar（'vert'）;
title（'z^1/4'）;
结束语：
以上是《复变函数与积分变换》中一些问题的MATLAB解法。
我们从中可以看出，利用MATLAB求解这些问题具有规范、简洁、灵活等特点；大大简化了数学问题的求解过程，便于求解一些实际应用中较为复杂的数学问题；对于理解掌握《复变函数与积分变换》理论知识也具有一定的辅助作用。
因此，我们在平时的学习中应该经常把它们结合起来使用，这样会起到意想不到的结果。
参考文献
【1】陈静，段振辉Matlab在复变函数与积分变换课程教学中的应用[J].河南机电高等专科学校学报。
【2】《复变函数与积分变换》华中科技大学数学系高等教育出版社
【3】《MATLABR2008数学和控制实例教程》曹岩主编化学工业出版社
【4】Matlab在《复变函数》教学中的应用
【5】《MATLABR2006a基础篇》曹岩主编化学工业出版社
【6】《高等应用数学问题的MATLAB求解》薛定宇陈阳泉著清华大学出版社
【7】MATLAB在《复变函数》教学田的应用.宁夏师范学院数计学院.陈耀庚
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