第十一讲无穷级数分解.docx
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第十一讲无穷级数分解
第十一讲无穷级数
一、考试要求
1、理解（了解）级数的收敛、发散以及收敛级数的和的概念。
2、掌握级数的基本性质及收敛的必要条件，掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件，掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。
3、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与收敛的关系，掌握交错级数的莱布尼茨判别法。
4、掌握（会求）幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。
5、了解幕级数在其收敛区间内的基本性质（和函数的连续性、逐项求导和逐项积分），会求简单幕级数在其收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和。
6掌握ex,sinx,cosx,ln（1+x）与（1+x）a的麦克劳林展开式，会用它们将简单函
数间接展开成幕级数。
7、了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在［-L，L］上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在［0，L］上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。
、内容提要
1数项级数
（1）定义
⑵性质：
1）若「Un加括号发散="Un发散；
n£nT
qQ2）若vUn收敛=limUn=0
2正项级数
（1）定义
（2）判敛：
S有界；2）比较法；3）比值法；4）根值法
3交错级数（-1）n，Un
n壬
4一般项级数
绝对收敛，条件收敛
5函数项级数
幕级数：
（1）收敛半径、收敛区间、收敛域
⑵Abel定理：
若已知an（x-x°）n在x=a点收敛（发散），则
n=0
qQ
当x_Xo|c|a_Xo（x—x°|»a—X。
）时送an（x—x°）n绝对收敛（发散）。
n」
（3）性质：
连续，逐项求导，逐项积分
6函数的幕级数展开
傅里叶级数
⑵收敛定理：
设f（x）定义在（」：
「：
）中（或只在［-1,1］上有定义），在［-1,1］上满足：
（i）除可能的第一类间断点外均连续，（ii）只有有限多个极值点，则f（x）的付里叶级数在（-：
：
，=：
）中（或只在［-1,1］上）处处收敛，且其和函数为
1二1二
其中
anf（x）cosnxdx,bnf（x）sinnxdx,n=0,1,2,
nit-n
（4）如果f（x）是［-|,|］上的偶函数，或定义在［0，l］上的函数作偶延拓，则
彳&）~色亠二ancosn-x，其中an=2f（x）cos-^^dx；如果f（x）是［T,l］上的奇函
2nmnll0l
数，或定义在［0，l］上的函数作奇延拓，则f（x）~vbnsi，其中
n=il
2i
bnf（x）sindx
l0l
三、重要公式与结论
*、：
、n
1、对于级数aUn，令Sn八山，贝U
QO
nJk二
n「
n=1
2、设
a,b都是非零常数，则有
cO
oO
oO
（1）
若vUn
与aVn都收敛，
则7（aUnbVn）收敛；
n=1
n-1
n-1
QO
QO
oO
（2）
若aUn
和'vn中一个收敛，而另一个发散，则
'（aUnbVn）发冃攵;
n=1
CO
nT
QO
co
nT
（1）若送Un收敛，则送Un=limSn=limSn」，且limUn=lim（Sn-Sn」）=0nn,•』nn）
oO
⑵若nimUn"或该极限不存在，则Un发散
（3）若vUn和aVn都发散，则a（aUn）的敛散性不确定。
n=1n=1n=1
QOO0
，如果P>1,则lim_Un=血，且送Un和送Un都nTnT
发散。
4、若幕级数瓦an（x-Xo）n在Xi处收敛，则对任何满足X-Xo|VXi-Xo的x，n二
、an（x-Xo）n绝对收敛；若幕级数an（x-Xo）n在Xi处发散，则对任何满足
n4n-1
QO
x-x0|aXp-x0的x，瓦an（x-x0）n发散。
nm
5、幕级数的变换公式
QO
（1）设anxn的收敛域为Ip，其和函数为S（x），f（x）是定义在R上的一个已知
n=1
qQ
函数，则7an[f（x）]n的收敛域为J-"xR:
f（x）TJ，且其和函数为S（f（x））；
n=1
也发散
a
7、几何级数瓦aqn，在q<1时收敛，且送aqn，=;当q工1时发散
n=1n=11_q
8、p级数'—p（或.-p—
n=nn=nlnn
，当p1时收敛，当p乞1时发散
1
1-x）2
一In1-x）
co
9、7nxnJ=1，2x恥-卷nxnJ•…
n4
--n2n
xxx
x
nAn2n
10、若f（x）_0（x_1）且单调下降，则
yf（n）与J（x）dx同敛散
nT
11、
2n
x,xx
e=1nx九
2!
n!
.g（-常2n卅
SIixx
2（2n+1）!
V1）n2n
coxx
n卫（2n）!
x2x3n」
In1x）=x（-1）
23
n
X
*
n
A
一=1xx^xn
1-x
（1x），1：
x^^x2：
（j）（…5
2!
n!
四、典型题型与例题
题型一、数项级数敛散性的判定
解题思路:
1、
若nimun
qQ
=0,则vUn发散;
nd
否则进一步判断
2、若aUn为正项级数，先化简山，视其特点选择适当的判别法:
n=1
1
（1）
若Un中含有—
n
则可与p级数（或对数p级数）比较;
（2）若Un中含有n的乘积的形式（包括n!
），
则可考虑用比值判别法;
（3）若Un中含有形如af（n）的因子,
则可考虑用根值判别法;
（4）以上方法均失效，则可利用已知级数的敛散性质,
结合敛散的定义和性质，考察其收敛性。
（1）若E叫|收敛，则EUn绝对收敛;
n丄n丄
（2）若送|Un发散，则看送Un是否是交错级数，
nz4n=1
若是，用莱布尼兹判别法判断&Un是否条件收敛。
n二
例2、判定下列级数的敛散性
"ln+1、
n生nn
近1
'（1-cos-）,
n£n
°°1
'sin（n二
nd
1
un二sin—
nTnn
1’n1
［因为In
nn
1
［因为
001n+1
所以'（--In^）n#nn
1
1-cos-~^-^2所以V（1-COS-）收敛n二n
11
~2,
2n
11
收敛］
2n「
1,「（x）c0（x>0充分大）x-Inx
QO
单调递减，且un>0（n-；门）,从而v（T）nsin
nd
n-Inn
）,［注:
f（x）二
-^―条件收敛］
n-Inn
CO■y|
⑷（s^-1）
n1nn
oCii°°1
广型绝对收敛，V1发散，
1nnm、n
2、抽象级数的敛散性（通常以选择题的形式出现）
故二（Sinn：
nd
1
2尸）必发散］nn
例3、
CO
设an•0且an收敛,
n:
d
（0-），则级数二（-1）n（ntan-）a2n
2n^n
例4、
例5、
（A）绝对收敛,
（C）发散
（B）条件收敛
（D）敛散性与入有关
qQqQ
设■.0,an0且7an收敛，则级数7（-1）
n-1
nan
.n2■
（A）绝对收敛,
（C）发散
F列选项正确的是
（A）
（B）
（C）
（D）
若JUn收敛,
nz4
则二
n=1
（B）条件收敛
（D）敛散性与入有关
u2必收敛
qQ
若un_0单调下降，且limun=0,则（-1）nlnun必收敛n_^c
若Un_0且「，Un收敛，则&Un必收敛
n4
若v（-1）nUn收敛,
n：
1
nV
oO
则二In（1un）必收敛
nd
若级数7an与bn都发散,
（A）
（C）
n吕nT
qQ
（anbn）发散,nT
oO
瓦（an
n=1
+bn）发散
（B）
（D）
oO
vanbn发散
n=1
、（a2-b；）发散
nd
例7、（021）
oO11
设un=0（n=1,2,3），且lim--1，则级数'（—1）n1（——）
“虫口.n#UnUn卅
（B）绝对收敛
（D）收敛性根据所给条件不能判定
an-|an
2
7Pn与vqn都收敛•
ndnd
odoO
Pn与aqn都收敛•
ndnd
COqQ
7Pn与'qn敛散性都不定•
nTnd
（A）发散
（C）条件收敛
an+
2
例8（033）设pn=
an
qn
n=1,2,…，则下列命题正确的是
（A）
（B）
（C）
若'「an条件收敛，则
nd
QO
若7an绝对收敛，则
n:
d
qQ
若van条件收敛，则
nd
（D）若van绝对收敛，则vPn与vqn敛散性都不定
n4n丄n二
qQ
例9、（041）设a.为正项级数，下列结论中正确的是
n4
oO
（A）若limna.=0，则级数a.收敛.
n—
-nd
qQ
（B）若存在非零常数■，使得limna^■，则级数"a.发散.
n=1
n—）pc
qQ
（C）若级数Yan收敛，则limn2an=0.
n>:
:
n4
qQ
（D）
使得limna*V.
若级数二an发散，则存在非零常数■，
nz4
例12、判断下列级数的敛散性'吧2）（a0）.
心（a+1）n
n
例13、判别级数二•凹aT,（a0）的敛散性，当收敛时，进一步判断是绝对收
心n1+a
敛还是条件收敛？
4、综合题
例14、（设函数f（x）在（-©•：
：
）上有定义，在x=0的某个邻域内有一阶连续导数且
例15（041）设有方程xn•nx-4二0，其中n为正整数.证明此方程存在惟一正
qQ
实根Xn，并证明当〉•1时，级数aX；收敛•
nm
题型二、求函数项级数的收敛域及幕级数的收敛半径、收敛区间及收敛域
解题思路:
例16求7呼（1V的收敛域.
2n-1
例17求ndX2n的收敛域.
□0
例18、求幕级数v（-1）n
n=1
题型三、求函数项级数的和函数及级数的和解题思路:
例19、
n卫n!
例20、求级数J-的和
n/（n2-1）2n
閃12n十
例21、（063）求幕级数aX的收敛域及和函数s（x）
n=in（2n-1）
丄）x2n的收敛区间与和函数f（x）.n（2n-1）
题型四、函数的幕级数展开解题思路:
例23、将f（x）诃如艺展开为x的幂级数
例24、（061）将函数f（x）X—2展成x的幕级数.
2+x—x
1
例25、（”3）将函数f（xr严门展开成x-1的幂级数'并指出其收敛区间
5.
2'
11
5111f（厂0）+f（2+°）
解：
s（-5）=s（—2jrs（j）=s
（2）22―
ao
qQ
例28设f（x）在［-二，二］上二阶连续可导，f（x）〜色、a.cosnx，可是f（x）的傅里
2n#
由题设，存在M>0，使f"（x）兰M
oO
收敛，从而van绝对收敛.
n=1
例29*把函数f（x）在［0,二］上展开成正弦级数，并利用所得展开式推出求和公
111111
57111317
oo
f（x）-'bnsinnx，这里
n=1
例30、（071）设幕级数aanxn在（」：
，•：
：
）内收敛，其和函数y（x）满足
n=0
y-2xy-4y=0,y（0）=0,y（0）=1.
2
（I）证明：
an.2一an,n=1,2,|l（;
n+1
（II）求y（x）的表达式.
二阶导，再代入微分方程，引出系数之间的递推
【分析】先将和函数求一阶、
关系。
n',yn（n-1）anxn‘，代入微分方
n=2
程y-2xy」4y=0,有
（II）由初始条件y（0）=0,y（0）=1知，a^=0,a^1.于是根据递推关系式
21
an2an,有a2n二0,a2n1・故
n+1n!
2
2n1、、I2、nx2
=x（x）xe
nM
:
:
:
:
:
:
1y（x）=二anXn=二a?
nx2n1-x
n4n卫门竺n!
【评注】本题由两部分组成，在讨论第二部分时应注意利用第一部分得到的结论，最后和函数的确定利用了指数函数的幕级数展开式。
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