三角形拓展题.docx
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三角形拓展题
三角形拓展题
一．选择题（共7小题）
1．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）
A．35°B．95°C．85°D．75°
2．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（ ）
A．7B．10C．35D．70
3．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？
（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
4．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．140米B．150米C．160米D．240米
5．若一个三角形的三条边长分别为3，2a﹣1，6，则整数a的值可能是（ ）
A．2，3B．3，4C．2，3，4D．3，4，5
6．已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形
7．如图，△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数（ ）
A．35°B．5°C．15°D．25°
二．填空题（共2小题）
8．如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为 ．
9．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= °．
三．解答题（共4小题）
10．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
11．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
12．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：
∠CFE=∠CEF．
13．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
三角形拓展题
参考答案与试题解析
一．选择题（共7小题）
1．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（ ）
A．35°B．95°C．85°D．75°
【分析】根据三角形角平分线的性质求出∠ACD，根据三角形外角性质求出∠A即可．
【解答】解：
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，∠ACE=60°，
∴∠ACD=2∠ACE=120°，
∵∠ACD=∠B+∠A，
∴∠A=∠ACD﹣∠B=120°﹣35°=85°，
故选：
C．
【点评】本题考查了三角形外角性质，角平分线定义的应用，注意：
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
2．若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（ ）
A．7B．10C．35D．70
【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入
中即可得出结论．
【解答】解：
∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n=180×（n﹣2），解得：
n=10．
这个正n边形的所有对角线的条数是：
=
=35．
故选C．
【点评】本题考查了多边形的内角以及多边形的对角线，解题的关键是求出正n边形的边数．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据多边形的内角和公式求出多边形边的条数是关键．
3．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？
（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
【分析】在DO延长线上找一点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠BOM=140°，再根据邻补角互补即可得出结论．
【解答】解：
在DO延长线上找一点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠BOM=360°﹣220°=140°．
∵∠BOD+∠BOM=180°，
∴∠BOD=180°﹣∠BOM=180°﹣140°=40°．
故选A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及邻补角，解题的关键是根据多边形的外角和为360°找出∠BOM=140°．
4．如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24°，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（ ）
A．140米B．150米C．160米D．240米
【分析】多边形的外角和为360°每一个外角都为24°，依此可求边数，再求多边形的周长．
【解答】解：
∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°，
∴多边形的边数为360°÷24°=15，
∴小华一共走了：
15×10=150米．
故选B．
【点评】本题考查多边形的内角和计算公式，多边形的外角和．关键是根据多边形的外角和及每一个外角都为24°求边数．
5．若一个三角形的三条边长分别为3，2a﹣1，6，则整数a的值可能是（ ）
A．2，3B．3，4C．2，3，4D．3，4，5
【分析】直接利用三角形三边关系得出a的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：
∵一个三角形的三条边长分别为3，2a﹣1，6，
∴
，
解得：
2＜a＜5，
故整数a的值可能是：
3，4．
故选：
B．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键．
6．已知△ABC中，∠A=20°，∠B=∠C，那么三角形△ABC是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．正三角形
【分析】根据已知条件和三角形的内角和是180度求得各角的度数，再判断三角形的形状．
【解答】解：
∵∠A=20°，
∴∠B=∠C=
（180°﹣20°）=80°，
∴三角形△ABC是锐角三角形．
故选A．
【点评】主要考查了三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件．
7．如图，△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高线，且∠B=50°，∠C=60°，则∠EAD的度数（ ）
A．35°B．5°C．15°D．25°
【分析】利用三角形的内角和是180°可得∠BAC的度数；AE是∠BAC的角平分线，可得∠EAC的度数；利用AD是高可得∠ADC=90°，那么可求得∠DAC度数，那么∠EAD=∠EAC﹣∠DAC．
【解答】解：
∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=70°，
∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC=
∠BAC=35°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°﹣∠C=30°，
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=5°．
故选B．
【点评】关键是得到和所求角有关的角的度数；用到的知识点为：
三角形的内角和是180°；角平分线把一个角分成相等的两个角．
二．填空题（共2小题）
8．如图，已知在△ABC中，∠B与∠C的平分线交于点P．当∠A=70°时，则∠BPC的度数为 125° ．
【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再由角平分线的定义得出∠2+∠4的度数，由三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数．
【解答】解：
∵△ABC中，∠A=70°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣70°=110°，
∴BP，CP分别为∠ABC与∠ACP的平分线，
∴∠2+∠4=
（∠ABC+∠ACB）=
×110°=55°，
∴∠P=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣55°=125°．
故答案为：
125°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及角平分线的定义，熟知三角形的内角和定理是解答此题的关键．
9．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 540 °．
【分析】连接∠2和∠5，∠3和∠5的顶点，可得三个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
【解答】解：
连接∠2和∠5，∠3和∠5的顶点，可得三个三角形，
根据三角形的内角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=540°．
故答案为540．
【点评】本题主要考查三角形的内角和为180°定理，需作辅助线，比较简单．
三．解答题（共4小题）
10．在△ABC中，CD⊥AB于D，CE是∠ACB的平分线，∠A=20°，∠B=60°．求∠BCD和∠ECD的度数．
【分析】由CD⊥AB与∠B=60°，根据两锐角互余，即可求得∠BCD的度数，又由∠A=20°，∠B=60°，求得∠ACB的度数，由CE是∠ACB的平分线，可求得∠ACE的度数，然后根据三角形外角的性质，求得∠CEB的度数．
【解答】解：
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∵∠B=60°，
∴∠BCD=90°﹣∠B=90°﹣60°=30°；
∵∠A=20°，∠B=60°，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠ACB=100°，
∵CE是∠ACB的平分线，
∴∠ACE=
∠ACB=50°，
∴∠CEB=∠A+∠ACE=20°+50°=70°，
∠ECD=90°﹣70°=20°
【点评】此题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质以及三角形高线，角平分线的定义等知识．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．
11．如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB=50°，∠C=60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【分析】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【解答】解：
∵∠A=50°，∠C=60°
∴∠ABC=180°﹣50°﹣60°=70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=180°﹣90°﹣∠C=30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF=∠ABF=35°，∠EAF=25°，
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAF=5°，
∠AFB=∠C+∠CBF=60°+35°=95°，
∴∠BOA=∠EAF+∠AFB=25°+95°=120°，
∴∠DAC=30°，∠BOA=120°．
故∠DAE=5°，∠BOA=120°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出∠EAF、∠CBF，再运用三角形外角性质求出∠AFB．
12．已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分∠ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：
∠CFE=∠CEF．
【分析】题目中有两对直角，可得两对角互余，由角平分线及对顶角可得两对角相等，然后利用等量代换可得答案．
【解答】证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠4=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
即∠CFE=∠CEF．
【点评】本题考查了三角形角平分线、中线和高的有关知识；正确利用角的等量代换是解答本题的关键．
13．如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．
【分析】△ABD中，由三角形的外角性质知∠3=2∠2，因此∠4=2∠2，从而可在△BAC中，根据三角形内角和定理求出∠4的度数，进而可在△DAC中，由三角形内角和定理求出∠DAC的度数．
【解答】解：
设∠1=∠2=x，则∠3=∠4=2x．
因为∠BAC=63°，
所以∠2+∠4=117°，即x+2x=117°，
所以x=39°；
所以∠3=∠4=78°，
∠DAC=180°﹣∠3﹣∠4=24°．
【点评】此题主要考查了三角形的外角性质以及三角形内角和定理的综合应用．
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