小学毕业班六年级全册数学应用题解决问题常见例题分析详解.docx

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小学毕业班六年级全册数学应用题解决问题常见例题分析详解

小学毕业班六年级全册数学应用题（解决问题）常见例题分析详解

（追及问题、工程问题、公因数公倍数、行船问题、正反比例问题、按比例分配、方阵问题、倍比问题、浓液浓度问题、最值问题、时钟问题、列车问题、年龄问题、构图布数问题）

1.追及问题

两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之内，后面的追上前面的物体。

这类应用题就叫做追及问题。

　　【数量关系】

　　追及时间=追及路程÷（快速-慢速）

　　追及路程=（快速-慢速）×追及时间

　　【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式。

　　例1、好马每天走120千米，劣马每天走75千米，劣马先走12天，好马几天能追上劣马?

　　解：

（1）劣马先走12天能走多少千米?

75×12=900（千米）

（2）好马几天追上劣马?

900÷（120-75）=20（天）

　　列成综合算式75×12÷（120-75）=900÷45=20（天）

　　答：

好马20天能追上劣马。

　　例2、小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发，同向而跑。

小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米。

　　解：

小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米，此时小亮跑了（500-200）米，要知小亮的速度，须知追及时间，即小明跑500米所用的时间。

又知小明跑200米用40秒，则跑500米用[40×（500÷200）]秒，

　　所以小亮的速度是（500-200）÷[40×（500÷200）]=300÷100=3（米）

　　答：

小亮的速度是每秒3米。

例3、我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击。

已知甲乙两地相距60千米，问解放军几个小时可以追上敌人?

　　解：

敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22-16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是[10×（22-6）]千米，甲乙两地相距60千米。

由此推知

　　追及时间=[10×（22-6）+60]÷（30-10）=220÷20=11（小时）

　　答：

解放军在11小时后可以追上敌人。

　　例4、一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米;一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离。

　　解：

这道题可以由相遇问题转化为追及问题来解决。

从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，

　　这个时间为16×2÷（48-40）=4（小时）

　　所以两站间的距离为（48+40）×4=352（千米）

　　列成综合算式（48+40）×[16×2÷（48-40）]=88×4=352（千米）

　　答：

甲乙两站的距离是352千米。

　　例5、兄妹二人同时由家上学，哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米。

哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取，行至离校180米处和妹妹相遇。

问他们家离学校有多远?

　　解：

要求距离，速度已知，所以关键是求出相遇时间。

　　从题中可知，在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90-60）米，

　　那么，二人从家出走到相遇所用时间为180×2÷（90-60）=12（分钟）

　　家离学校的距离为90×12-180=900（米）

　　答：

家离学校有900米远。

　　例6、孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校，当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课。

后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步，可比原来步行早9分钟到学校。

求孙亮跑步的速度。

　　解：

手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟，如果按原速走下去，就要迟到（10-5）分钟，后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10-5）分钟。

　　如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟，由此可知，行1千米，跑步比步行少用[9-（10-5）]分钟。

　　所以步行1千米所用时间为1÷[9-（10-5）]=0.25（小时）=15（分钟）

　　跑步1千米所用时间为15-[9-（10-5）]=11（分钟）

　　跑步速度为每小时1÷11/60=5.5（千米）

　　答：

孙亮跑步速度为每小时5.5千米。

2.工程问题

工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

　　【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

　　工作量=工作效率×工作时间

　　工作时间=工作量÷工作效率

　　工作时间=总工作量÷（甲工作效率+乙工作效率）

　　【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。

　　例1、一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成?

　　解：

题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1”。

　　由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10;

　　乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15;

　　两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10+1/15）。

　　由此可以列出算式：

1÷（1/10+1/15）=1÷1/6=6（天）

　　答：

两队合做需要6天完成。

　　例2、一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。

现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?

　　解：

设总工作量为1，则甲每小时完成1/6，乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6-1/8），二人合做时每小时完成（1/6+1/8）。

　　因为二人合做需要[1÷（1/6+1/8）]小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件，所以

（1）每小时甲比乙多做多少零件?

　　24÷[1÷（1/6+1/8）]=7（个）

（2）这批零件共有多少个?

　　7÷（1/6-1/8）=168（个）

　　答：

这批零件共有168个。

　　解二：

上面这道题还可以用另一种方法计算：

　　两人合做，完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8=4∶3

　　由此可知，甲比乙多完成总工作量的4-3/4+3=1/7

　　所以，这批零件共有24÷1/7=168（个）

例3、一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。

现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成?

　　解：

必须先求出各人每小时的工作效率。

如果能把效率用整数表示，就会给计算带来方便，因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数，例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是

　　60÷12=560÷10=660÷15=4

　　因此余下的工作量由乙丙合做还需要

　　（60-5×2）÷（6+4）=5（小时）

　　答：

还需要5小时才能完成。

　　例4、一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有若干个同样粗细的进水管。

当打开4个进水管时，需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要打开多少个进水管?

　　解：

注（排）水问题是一类特殊的工程问题。

往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工作量，单位时间内水的流量就是工作效率。

　　要2小时内将水池注满，即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。

为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）。

　　只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出。

　　我们设每个同样的进水管每小时注水量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5），2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知

　　每小时的排水量为（1×2×15-1×4×5）÷（15-5）=1

　　即一个排水管与每个进水管的工作效率相同。

由此可知

　　一池水的总工作量为1×4×5-1×5=15

　　又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1×2，

　　所以，2小时内注满一池水

　　至少需要多少个进水管?

（15+1×2）÷（1×2）=8。

5≈9（个）

　　答：

至少需要9个进水管。

3.公约数（公因数）公倍数的问题

需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题。

　　【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

　　【解题思路和方法】先确定题目中要用最大公约数或者最小公倍数，再求出答案。

最大公约数和最小公倍数的求法，最常用的是“短除法”。

　　例1、一张硬纸板长60厘米，宽56厘米，现在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形，不许有剩余。

问正方形的边长是多少?

　　解：

硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边长。

　　60和56的最大公约数是4。

　　答：

正方形的边长是4厘米。

　　例2、甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶，甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分钟，丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发，问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇?

　　解：

要求多少时间才能在同一起点相遇，这个时间必定同时是36、30、48的倍数。

因为问至少要多少时间，所以应是36、30、48的最小公倍数。

36、30、48的最小公倍数是720。

　　答：

至少要720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。

　　例3、一个四边形广场，边长分别为60米，72米，96米，84米，现要在四角和四边植树，若四边上每两棵树间距相等，至少要植多少棵树?

　　解：

相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数，要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大，那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。

　　所以，至少应植树（60+72+96+84）÷12=26（棵）

　　答：

至少要植26棵树。

　　例4、一盒围棋子，4个4个地数多1个，5个5个地数多1个，6个6个地数还多1个。

又知棋子总数在150到200之间，求棋子总数。

　　解：

如果从总数中取出1个，余下的总数便是4、5、6的公倍数。

因为4、5、6的最小公倍数是60，又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为

　　60×3+1=181（个）

　　答：

棋子的总数是181个。

4.行船问题

行船问题也就是与航行有关的问题。

解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度;水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和;船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

　　【数量关系】

　　（顺水速度+逆水速度）÷2=船速

　　（顺水速度-逆水速度）÷2=水速

　　顺水速=船速×2-逆水速=逆水速+水速×2

　　逆水速=船速×2-顺水速=顺水速-水速×2

　　【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

　　例1、一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时?

　　解：

由条件知，顺水速=船速+水速=320÷8，而水速为每小时15千米，所以，船速为每小时320÷8-15=25（千米）

　　船的逆水速为25-15=10（千米）

　　船逆水行这段路程的时间为320÷10=32（小时）

　　答：

这只