北师大版本八年级数学下第五章分式与分式方程全章教案.docx
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北师大版本八年级数学下第五章分式与分式方程全章教案
北师大版本八年级数学下第五章分式与分式方程全章教案
1认识分式
第1课时认识分式
【知识与技能】
了解分式的概念明确分式和整式的区别.
【过程与方法】
让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型.
【情感态度】
培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流.
【教学重点】
掌握分式的概念.
【教学难点】
正确区分整式与分式.
一.情景导入，初步认知
下列式子中哪些是整式？
a，-3x2y3，5x-1，x2+xy+y2，
，
，
，
，
【教学说明】
因为分式概念的学习是学生通过观察，比较分式与整式的区别从而获得分式的概念，所以必须熟练掌握整式的概念．
二.思考探究，获取新知
1.问题情境.
问题情景
（1）：
面对目前严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前完成一原计划的任务.这一问题中有哪些等量关系？
如果设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要_____个月，实际完成一期工程用了_______个月.
问题情景
（2）：
新华书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册a元，现降价x元销售，当这种图书的库存全部售出时，其销售额为b元.降价销售开始时，新华书店这种图书的库存量是多少？
【教学说明】
教师要给学生一定的思考时间，让学生积极投身于问题情景中，根据学生的情况可以给予适当的提示和引导．
2.讨论内容：
对前面出现的代数式如下，它们有什么共同特征？
它们与整式有什么不同？
，
，
【教学说明】
学生通过观察.归纳.总结出整式与分式的异同，从而得出分式的概念．
【归纳结论】
一般的用A、B表示两个整式，A除以整式B，可以表示成AB的形式，如果B中含有字母，那么我们称AB为分式.A为分式的分子，B为分式的分母.对于任何一个分式的分母不等于0.
三.运用新知，深化理解
1.见教材P109例1.
2.下列各式中，哪些是整式？
哪些是分式？
（1）b2a;
（2）2a+b;（3）－x+14－x;（4）12xy+x2y.
答案：
（2）、（4）是整式，
（1）、（3）是分式．
3.x取什么值时，下列分式无意义？
（1）x2x－3；
（2）x－15x+10.
答案：
（1）因为当分母的值为零时，分式没有意义．由2x-3=0，得x=32，所以当x=32时，分式无意义．
（2）因为当分母的值为零时，分式没有意义．由5x+10=0，得x=-2，所以当x=-2时，分式无意义．
4.若分式2x-3有意义，则x的取值范围是（）
A.x≠3B.x≠-3C.x＞3D.x＞-3
解析：
当分母x-3≠0，即x≠3时，分式2x-3有意义．故选A.5.若分式|x|-1x+1的值为零，则x的值为1分析：
分式的值为0的条件是：
（1）分子=0；
（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题.
解析：
|x|-1x+1=0，则|x|-1=0，即x=±1，且x+1≠0，即x≠-1．故x=1．
【教学说明】
让学生体会分式的意义，理解如果a的取值使得分母的值为零，则分式没有意义，反之有意义．
四.师生互动，课堂小结
1.学习了分式的概念，掌握了整式与分式的异同．
2.知道当分式的分母不等于零时分式才有意义．
3.在学习新知识时，可把它与所学的旧知识比较，通过观察、类比、归纳它们的异同的方法来学习新知识．
4.我们应该多种树，保护人类生存环境．
五.教学板书
布置作业:
教材“习题5.1”中第1、2题.
在学习分式的概念时，借助整式的概念，用类比的思想进行教学，学生掌握的较好，能够紧抓概念，很容易的区分整式与分式.而在分式的值等于0的教学中，一部分学生都只考虑分式的分子等于0，而没有考虑分式的分母.因此，在后面的教学中对这方面的教学有待加强.
第2课时分式的基本性质及约分
【知识与技能】
1.理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分；
2.了解什么是最简分式，能将分式化为最简分式.
【过程与方法】
通过对分式的基本性质的归纳，培养学生观察、类比、推理的能力.
【情感态度】
让学生在讨论活动中通过相互间的合作与交流，进一步发展学生合作交流的能力和数学表达能力.
【教学重点】
掌握分式的基本性质.
【教学难点】
运用分式的基本性质来化简分式.
一.情景导入，初步认知
1.分数的基本性质是什么？
2.3/6=1/2的依据是什么？
【教学说明】
通过分数的约分复习分数的基本性质，通过类比来学习分式的基本性质．
二.思考探究，获取新知
探究1：
分式的基本性质.你认为分式3a/6a与1/2相等吗？
m2/mn与n/m呢？
【教学说明】
通过对分数的基本性质的理解，可类比得出分式的基本性质，但学生只想到分式的分子分母同时乘以或除以一个数，不容易想到整式，另外这个整式不能为零，老师要引导学生想到这一点．
【归纳结论】
分式的分子和分母都同时乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.用字母表示为：
探究2：
最简分式.化简下列分式：
【教学说明】
有的学生在应用分式的基本性质时往往没有同时乘以或除以同一个公因式．有些学生不能正确找到分子.分母的公因式，导致约分的错误和不彻底．所以教师要适当引导.
【归纳结论】
把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分，分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式．
三.运用新知，深化理解
1.下列各式正确的是（）
答案：
C
2.填空：
答案：
6a2，a-2.
3.下列运算错误的是（）
A.1个B.2个
C.3个D.4个
答案：
B
5.若把分式
中的x和y都扩大3倍，那么分式的值（）
A.扩大3倍B.不变
C.缩小3倍D.缩小6倍
答案：
C
6.约分：
【教学说明】
在教学中让学生将约分的步骤分为这样几步，首先将找出分子和分母公因式并提取，再将分式的分子和分母同时除以公因式．最后看看结果是否为最简分式或整式．
四.师生互动,课堂小结
这节课你有哪些收获？
五.教学板书
布置作业:
教材“习题5.2”中第1、2题.
学生对分式的基本性质，能说能背.从表面上来看，掌握的比较好.但从练习中可以发现很多问题，如：
不会找分式的分子.分母中的公因式；分子、分母不同时乘或除；约分不彻底等.所以在这些方面要多练习.
2分式的乘除法
知识与技能】
理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算.
【过程与方法】
经历探索分式的乘除法法则的过程，并结合具体情境说明其合理性.
【情感态度】
通过师生讨论.交流，培养学生合作探究的意识和能力.
【教学重点】
掌握分式的乘除法法则.
【教学难点】
熟练地运用法则进行计算，提高运算能力.
一.情景导入，初步认知
计算，并说出分数的乘除法的法则：
【教学说明】
复习小学学过的分数的乘除法运算，为学习分式乘除法的法则做准备.
二.思考探究，获取新知
探究：
分式的乘除法法则.
你能总结分式乘除法的法则吗？
与同伴交流.
【归纳结论】
分式的乘除法的法则:
两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;
两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
【教学说明】
让学生观察运算，通过小组讨论交流，并与分数的乘除法的法则类比，让学生自己总结出分式的乘除法的法则.
三.运用新知，深化理解
1.见教材P114例1.
2.见教材P115例2.
通过例题讲解，使学生会根据法则，理解每一步的计算，从而进行简单的分式的乘除法运算，并能解决一些与分式有关的简单的实际问题，增强学生代数推理的能力与应用意识.需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简.
6.甲队在n天内挖水渠a米，乙队在m天内挖水渠b米，如果两队同时挖水渠，要挖x米，需要多少天才能完成？
（用代数式表示）
【教学说明】
能解决一些与分式有关的简单的实际问题.
四.师生互动，课堂小结
分式乘除法的运算步骤：
当分式的分子与分母都是单项式时：
（1）乘法运算步骤是，①用分子相乘的积做积的分子，分母相乘的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子（或分母）的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分
（2）除法的运算步骤是，把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同.
当分式的分子.分母中有多项式，
1分解因式；
2②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.
③如果分式的分子（或分母）的符号是负号时，应把负号提到分式的前面.最后的计算结果必须是最简分式.
五.教学板书
布置作业:
教材“习题5.3”中第1、2题.
在练习中暴露出一些问题，例如我在传授过程中急于求成，法则的引入没有给学生过多的时间，如果时间足够，学生自己得出法则并不是一件难事.在解决习题时，对学生容易出现的错误没有重点强调.所以学生在后面的练习中仍然出现这样那样的错误.学生答题的规范性还差了些，在黑板上的板书不到位，在以后的教学中加强学生的答题规范性练习.
3分式的加减法
第1课时同分母分式的加减法
【知识与技能】
理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算.
【过程与方法】
类比同分数加减法的法则归纳出分式的加减法法则.
【情感态度】
通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想.
【教学重点】
分式加减法的运算.
【教学难点】
掌握同分母分式的加减法则，能进行分式的加减法运算.
一.情景导入，初步认知
1.做一做：
.
【教学说明】通过做一做的几道同分母分数加减的题，引导学生用类比的思想，猜一猜同分母分式的加减运算，并试图让学生认识其合理性,从而抛出同分母分式加减法的运算法则，点明本节课的主要内容.
二.思考探究，获取新知
探究：
同分母分式的加减
你能根据分数的加减法运算法则，总结出当分母相同时，分式的加减法运算法则吗？
【归纳结论】
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
用式子表示为：
三.运用新知，深化理解
1.见教材P117-P118例1~例2
2.计算：
3.计算：
四.师生互动,课堂小结
同分母分式加减法则是：
同分母的分式相加减,分母不变，把分子相加减.
五.教学板书
布置作业:
教材“习题5.4”中第1、2题.
通过这节课的学习，总结分式加减的特点：
同分母分式加减法则是：
同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.
第2课时异分母分式的加减法
【知识与技能】
1.会找最简公分母，能进行分式的通分；
2.理解并掌握异分母分式加减法的法则.
【过程与方法】
类比同分数加减法的法则归纳出分式的加减法法则.
【情感态度】
通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想.
【教学重点】
理解异分母分式的加减法则.
【教学难点】
掌握异分母的分式加减法的运算.
一.情景导入，初步认知
1..猜一猜
那么
?
你是怎么做的？
【教学说明】这是几个简单异分母的加减例子.也是对上节课所学知识的回顾，同时把本章前面几节所述分式概念，分式的约分以及分式乘除都有一定的复习，都可以通过这几个例子得到很好的诠释.
二.思考探究，获取新知
探究:
异分母分式的加减
讨论：
小明认为，只要把异分母的分式化成同分母的分式，异分母的分式的加减问题就变成了同分母的分式的加减问题.小亮同意小明的这种看法，但他俩的具体做法不同：
小明：
小亮：
你对这两种做法有何评论？
与同伴交流.
【教学说明】学生观察讨论，总结出异分母分式计算的法.
【归纳结论】根据分式的基本性质，可以将异分母的分式化为同分母的分式，这个过程叫通分.为了方便计算，异分母的分式通分时，通常取最简单的公分母（最简公分母）作它们的共同公分母.
异分母分式加减法的法则：
异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算．
用式子表示为：
三.运用新知，深化理解
1.见教材P120-121例3、例4
2.计算:
【教学说明】通过演练巩固，让学生对分式的加减法有更好的认识与掌握.
四.师生互动,课堂小结
1.学会用转化的思想将分母互为异分母的分式加减运算转化成同分母分式的加减法.
2.分子是多项式时，一定记得添括号后再进行加减运算.
3.类比方法很多时候是对的，学会用这种方法去分析和解决问题.
4.确定最简公分母的一般步骤：
①取各分母的_______的最小公倍数；
②凡出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式都要取；
③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取___________________的；
④如果分母是多项式，一般应先___________.
五.教学板书
布置作业:
教材“习题5.4”中第1、2题.“习题5.5”中第1、2题.
在授课结束后发现学生对于同分母的分式的加减运算掌握得比较好，但是对于异分母的分式加减就掌握得不是很理想，很多学生对于分式的通分还很不熟练，也有学生对于计算结果应该为最简分式理解不够总是无法化到最简的形式，所以对异分母的加减法还要加强练习.
第3课时分式的加减混合运算
【知识与技能】
1.熟练地进行同分母的分式加减法的运算.会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减；
2.明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.
【过程与方法】
经历分式的混合运算探讨过程，训练学生的分式运算能力.
【情感态度】
培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识,进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识.
【教学重点】
熟练地进行分式的混合运算.
【教学难点】
熟练地进行分式的混合运算.
一.情景导入，初步认知
1.同分母分式是怎样进行加减运算的？
2.异分母分式又是如何进行加减？
3.当分式的运算中含有加、减、乘、除时，该如何运算？
【教学说明】通过回忆同分母分式的加减法法则.异分母分式的加减法运算，来引出本节课的内容，同时又对问题3点明了类比的思想方法，使进入新知识的学习顺理成章.
二.思考探究，获取新知
1.计算：
-5×（1-7）＋6÷2
2.观察上题中的运算过程，你能借鉴有理数的混合运算顺序，总结出分式的混合运算顺序吗？
【归纳结论】
同四则运算顺序相同；分式混合运算中，先乘方再算乘除后算加减，有括号的先算括号内的.
【教学说明】
学生观察讨论，通过类比的方法总结出分式混合运算的法则.这样学生的理解更透彻.
3.观察下列题目的计算过程，你能发现什么吗？
问题：
这个计算结果对吗？
还能进一步化简吗？
【归纳结论】
最后结果要写成最简分式.由此，我们可以总结出分式的混合运算的法则：
先乘方再算乘除最后算加减，有括号的先算括号内的.
三.运用新知，深化理解
【教学说明】
教学时，要随时注意学生出现的错误，及时给予纠正．对计算错误的原因，要仔细分析．帮助学生从根本上弄清概念和法则，使学生明白所犯错误的原因，才能避免再犯同样的错误.
四.师生互动,课堂小结
通过本节课的学习，你有哪些收获？
还存在哪些疑惑？
请与同伴交流.
五.教学板书
布置作业:
教材“习题5.6”中第2题.
学生依据分数的混合运算的性质进行分式的混合运算，学起来并不难，但要达到运算熟练的程度并不容易．在强调进行分式混合运算同时，要注意运算顺序：
在没有括号的情况下，按从左到右的方向，先乘方，再乘除，然后加减；有括号要按先小括号，再中括号，最后大括号的顺序.混合运算后的结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.分子或分母的系数是负数时，要把“-”号提到分式本身的前面.
4分式方程
第1课时分式方程的概念及解法
【知识与技能】
1.理解分式方程的概念;
2.会通过设适当的未知数并根据等量关系列出分式方程；
3.学生掌握解分式方程的基本方法和步骤.
【过程与方法】
通过列出的方程归纳出它们的共同特点，得出分式方程的概念.了解分式的概念，明确分式和整式的区别；经历和体会解分式方程的必要步骤；使学生进一步了解数学思想中的“转化”思想.
【情感态度】
在建立分式方程的数学模型的过程中培养能力和克服困难的勇气，并从中获得成就感，提高解决问题的能力.
【教学重点】
掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.
【教学难点】
掌握分式方程的解法、解，分式方程要验根.
一.情景导入，初步认知
在这一章的第一节《分式》中，我们曾研究过一个“固沙造林，绿化家园”的问题.面对日益严重的土地沙化问题，某县决定分期分批固沙造林，一期工程计划在一定期限内固沙造林2400公顷，实际每月固沙造林的面积比原计划多30公顷，结果提前4个月完成计划任务.原计划每月固沙造林多少公顷？
分析：
这一问题中有哪些已知量和未知量？
已知量：
造林总面积2400公顷实际每月造林面积比原计划多30公顷提前4个月完成原任务
未知量：
原计划每月固沙造林多少公顷
这一问题中有哪些等量关系？
实际每月固沙造林的面积=计划每月固沙造林的面积+30公顷
原计划完成的时间-完成实际的时间=4个月
我们设原计划每月固沙造林x公顷，那么原计划完成一期工程需要_____个月，实际完成一期工程用了______个月，根据题意，可得方程____________.
【教学说明】
为了让学生经历从实际问题抽象.概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型在解决实际生活问题中作用，利用第一节《分式》中一个熟悉的问题，引导学生努力寻找问题中的所有等量关系，发展学生分析问题.解决问题的能力.
二.思考探究，获取新知
探究1：
分式方程的概念
问题：
甲.乙两地相距1400km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用9h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的2.8倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为xkm/h，那么x满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需yh，那么y满足怎样的方程？
问题：
为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为x人，那么x满足怎样的方程？
【教学说明】
再次让学生经历从实际问题抽象.概括分式方程这一“数学化”的过程，体会分式方程的模型作用.回顾刚才我们得出的4个方程：
它们和我们以前所碰到的方程一样吗？
有什么不一样的地方？
上面所得到的方程有什么共同特点？
【教学说明】
通过让学生通过观察.归纳.总结出整式方程与分式方程的异同，从而得出分式方程的概念
【归纳结论】
分母中中含有未知数的方程叫做分式方程
探究2：
分式方程的解法
1.解下列分式方程：
【教学说明】
通过观察，使学生发现可以将分式方程通过去分母转化成一元一次方程来求解.通过教师对例题讲解，让学生明确解分式方程的一般步骤.
【归纳结论】1.解分式方程的一般步骤：
（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；
（2）解这个整式方程；
2.下列哪种解法准确？
解分式方程
解法一：
将原方程变形为
方程两边都乘以x-2,得：
1-x=-1-2
解这个方程，得：
x=4.
解法二：
将原方程变形为
方程两边都乘以x-2,得：
1-x=-1-2（x-2）
解这个方程，得：
x=2
你认为x=2是原方程的根？
与同伴交流.
【归纳结论】
增根概念：
将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根；
认识增根：
1增根是去分母后所得的根；
2增根使最简公分母的值为；
③增根（填“是”或“不是”）原方程的根.
三.运用新知，深化理解
A．2个B.3个C.4个D.5个
答案：
B.
（）是分式方程,（）是整式方程.
答案：
B;A、C
3.王军同学准备在课外活动时间组织部分同学参加电脑网络培训，按原定的人数估计共需费用300元.后因人数增加到原定人数的2倍，费用享受了优惠，一共只需要480元，参加活动的每个同学平均分摊的费用比原计划少4元，原定的人数是多少？
如果设原定是x人，那么x满足怎样的分式方程?
解：
方程两边都乘以y（y-1），
得2y2+y（y-1）=（y-1）（3y-1），
2y2+y2-y=3y2-4y+1，3y=1，
解得y=1/3.
检验：
当y=1/3时，y（y-1）=1/3×1/3-1=-2/9≠0，
∴y=1/3是原方程的解，
∴原方程的解为y=1/3.
解：
两边同时乘以（x+1）（x-2），
得x（x-2）-（x+1）（x-2）=3．
解这个方程，得x=-1．
检验：
x=-1时（x+1）（x-2）=0，x=-1不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
（3）
解：
方程的两边同乘（x-1）（x+1），
得3x+3-x-3=0，解得x=0．
检验：
把x=0代入（x-1）（x+1）=-1≠0．
∴原方程的解为：
x=0.
（4）
解：
方程的两边同乘（x+2）（x-2），得2-（x-2）=0，解得x=4．
检验：
把x=4代入（x+2）（x-2）=12≠0．∴原方程的解为：
x=4.
再两边同乘以3x-1，得3（3x-1）-1=2，3x-1=1，x=2/3.
检验：
把x=2/3代入（3x-1）：
（3x-1）≠0，
∴x=2/3是原方程的根．∴原方程的解为x=2/3．
（6）
解：
方程两边同乘以2（3x-1），
得：
-2+3x-1=3，解得：
x=2，
检验：
x=2时，2（3x-1）≠0．所以x=2是原方程的解.
【教学说明】
通过学生的反馈练习，考察学生对分式方程概念的理解；以及解分式方程.使教师能全面了解学生对解分式方程是否清楚，以便教师能及时地进行查缺补漏.
四.师生互动,课堂小结
1.什么样的方程是分式方程？
2.解分式方程的一般步骤：
（1）去分母（即在方程的两边都乘以最简公分母），把原分式方程化为_____；
（2）解这个整式方程；
（3）检验：
把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母的值不等于零的根是原分式方程的_____，使最简公分母的值等于零的根是原方程的_____.
五.教学板书
布置作业:
教材“习题5.7”中第1、2、3题.“习题5.8”中第1、2题.
虽然在课堂上做了很多，但也存在许多不足的地方，以下是教师在教学中应该注意的地方：
第一，讲例题时，先讲一个产生增根的较好，这样便于说明分式方程有时无解的原因，也便于讲清分式方程检验的必要性，也是
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