大学物理习题答案第一章.docx
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大学物理习题答案第一章
[习题解答]
1-3如题1-3图所示,汽车从A地出发,向北行驶60km到达B地,然后向东行驶60km到达C地,最后向东北行驶50km到达D地。
求汽车行驶的总路程和总位移。
解汽车行驶的总路程为
;
汽车的总位移的大小为
r=
位移的方向沿东北方向,与方向一致。
1-4现有一矢量R是时间t的函数,问与在一般情况下是否相等?
为什么?
解与在一般情况下是不相等的。
因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导,表示矢量R的大小随时间的变化率;而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导,再取绝对值,表示矢量R大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。
如果矢量R方向不变只是大小变化,那么这两个表示式是相等的。
1-5一质点沿直线L运动,其位置与时间的关系为r=6t22t3,r和t的单位分别是m和s。
求:
(1)第二秒内的平均速度;
(2)第三秒末和第四秒末的速度;
(3)第三秒末和第四秒末的加速度。
解取直线L的正方向为x轴,以下所求得的速度和加速度,若为正值,表示该速度或加速度沿x轴的正方向,若为负值表示,该速度或加速度沿x轴的反方向。
(1)第二秒内的平均速度
ms1;
(2)第三秒末的速度
因为,将t=3s代入,就求得第三秒末的速度,为
v3=18ms1;
用同样的方法可以求得第四秒末的速度,为
v4=48ms1;
(3)第三秒末的加速度
因为,将t=3s代入,就求得第三秒末的加速度,为
a3=24ms2;
用同样的方法可以求得第四秒末的加速度,为
v4=36ms2.
1-6一质点作直线运动,速度和加速度的大小分别为和,试证明:
(1) vdv=ads;
(2)当a为常量时,式v2=v02+2a(ss0)成立。
解
(1)
;
(2)对上式积分,等号左边为
,
等号右边为
,
于是得
,
即
.
1-7质点沿直线运动,在经过时间t后它离该直线上某定点O的距离s满足关系式:
s=(t1)2(t2),s和t的单位分别是m和s。
求:
(1)当质点经过O点时的速度和加速度;
(2)当质点的速度为零时它离开O点的距离;
(3)当质点的加速度为零时它离开O点的距离;
(4)当质点的速度为12ms1时它的加速度。
解:
取质点沿x轴运动,取坐标原点为定点O。
(1)质点经过O点时,即s=0,由式
,
可以解得
t=1.0s,t=2.0s.
当t=1s时,
.
当t=2s时,
v=1.0ms-2,a=4.0ms-2.
(2)质点的速度为零,即
上式可化为
,
解得
t=1.0s和t=1.7s.
当t=1s时,质点正好处于O点,即离开O点的距离为0m;当t=5/3s时,质点离开O点的距离为0.15m。
(3)质点的加速度为零,即
,
上式可化为
3t-4=0 ,
解得
t=1.3s.
这时离开O点的距离为0.074m。
(4)质点的速度为12ms1,即
,
由此解得
将t值代入加速度的表示式
,
求得的加速度分别为
a=12.4ms-2和a=12.2ms-2.
1-8一质点沿某直线作减速运动,其加速度为a=Cv2,C是常量。
若t=0时质点的速度为v0,并处于s0的位置上,求任意时刻t质点的速度和位置。
解以t=0时刻质点的位置为坐标原点O,取水平线为x轴,质点就沿x轴运动。
因为是直线运动,矢量可以用带有正负号的标量来表示。
,
于是有
.
两边分别积分,得
.
因为t0=0,所以上是变为
,
即
,
(1)
上式就是任意时刻质点的速度表达式。
因为
,dx=vdt,
将式
(1)代入上式,得
,
两边分别积分,得
.
于是,任意时刻质点的位置表达式为
.
1-9质点作直线运动,初速度为零,初始加速度为a0,质点出发后每经过时间,加速度均匀增加b。
求经过t时间后质点的速度和加速度。
解可以把质点运动所沿的直线定为直线L,并设初始时刻质点处于固定点O上。
根据题意,质点运动的加速度应该表示为
.
由速度公式
可以求得经过t时间质点的速度
.
另外,根据位移公式可以求得经过t时间质点的位移
.
1-10质点沿直线y=2x+1m运动,某时刻位于x1=1.51m处,经过了1.20s到达x2=3.15m处。
求质点在此过程中的平均速度。
解根据定义,平均速度应表示为
,
其中
.
由已知条件找出x和y,就可以求得平均速度。
.
根据直线方程y=2x+1,可求得
y1=2x1+1=4.02m,y2=2x2+1=7.31m.
所以
.
平均速度为
.
也可以用下面的方式表示
;
与x轴的夹角为
.
1-11质点运动的位置与时间的关系为x=5+t2,y=3+5tt2,z=1+2t2,求第二秒末质点的速度和加速度,长度和时间的单位分别是米和秒。
解已知质点运动轨道的参量方程为
.
质点任意时刻的速度和加速度分别为
和 .
质点在第二秒末的速度和加速度就是由以上两式求得的。
将t=2s代入上式,就得到质点在第二秒末的速度和加速度,分别为
和 .
1-12设质点的位置与时间的关系为x=x(t),y=y(t),在计算质点的速度和加速度时,如果先求出,然后根据和求得结果;还可以用另一种方法计算:
先算出速度和加速度分量,再合成,得到的结果为v=和。
你认为哪一组结果正确?
为什么?
解第二组结果是正确的。
而在一般情况下第一组结果不正确,这是因为在一般情况下
.
速度和加速度中的r是质点的位置矢量,不仅有大小而且有方向,微分时,既要对大小微分也要对方向微分。
第一组结果的错误就在于,只对位置矢量的大小微分,而没有对位置矢量的方向微分。
1-13火车以匀加速运动驶离站台。
当火车刚开动时,站在第一节车厢前端相对应的站台位置上的静止观察者发现,第一节车厢从其身边驶过的时间是5.0s。
问第九节车厢驶过此观察者身边需要多少时间?
解设火车的加速度为a,每节车厢的长度为l,第一节车厢从观察者身边通过所需时间为t1,t1满足
.
(1)
前八节车厢通过观察者身边所需时间为t2,前九节车厢通过观察者身边所需时间为t3,并可列出下面两个方程式
,
(2)
(3)
由式
(1)得
.
将上式代入式
(2)和式(3),分别得到
,
.
第九节车厢通过观察者身边所需时间为
t=t3t2=15.00s14.14s=0.86s.
1-14一架开始静止的升降机以加速度1.22ms2上升,当上升速度达到2.44ms1时,有一螺帽自升降机的天花板上落下,天花板与升降机的底面相距2.74m。
计算:
(1)螺帽从天花板落到升降机的底面所需要的时间;
(2)螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离。
解设螺帽落到升降机地面所需时间为t,在这段时间内螺帽下落的距离为h1,同时升降机上升的距离为h2。
(1)若以螺帽为研究对象,可取y轴竖直向下,t=0时,螺帽的速度为v0=2.24ms1,加速度为g,则有
(1)
若以升降机为研究对象,可取y轴竖直向上,t=0时,升降机的速度为v0=2.44ms1,加速度为a=1.22ms2,这时应有
(2)
显然h=h1+h2就是升降机的天花板与底面之间的距离,等于2.74m。
于是
(3)
有式(3)解得
.
(2)螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离,就是上面所说的h1,将上面所求得的t代入式
(1),可以得到
.
1-15设火箭引信的燃烧时间为6.0s,今在与水平面成45角的方向将火箭发射出去,欲使火箭在弹道的最高点爆炸,问必须以多大的初速度发射火箭?
解以火箭发射点为原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴,建立坐标系。
设发射火箭的初速度为v0,则其竖直向上的分量为
竖直向上的速度为
.
火箭到达最高点时,vy=0,由此可以求得初速度为
.
1-16倾斜上抛一小球,抛出时初速度与水平面成60角,1.00秒钟后小球仍然斜向上升,但飞行方向与水平面成45角。
试求:
(1)小球到达最高点的时间;
(2)小球在最高点的速度。
解以抛设点为原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴,建立坐标系。
(1)为求得小球到达最高点的时间,必须先求出它的初速度v0。
因为v0与水平方向成60角,所以可列出下面的方程式
.
当t=1s时,速度v与水平方向成45,必定有,所以
,
由此解得
.
如果小球到达最高点的时间为t,则有
,
由此解得
.
(2)小球到达最高点时的速度是沿水平方向的,其大小为
.
1-17质点作曲线运动,其角速度为常量,质点位置的极径与时间的关系可以表示为,其中0和都是常量。
求质点的径向速度和径向加速度,横向速度和横向加速度。
解质点的径向速度为
,
横向速度为
.
质点的径向加速度为
,
横向加速度为
.
(计算过程用到了为常量的条件。
)
1-18质点沿任意曲线运动,t时刻质点的极坐标为,,试求此时刻质点的速度、加速度,并写出质点运动的轨道方程。
解t时刻质点的速度为
,
此时刻质点的加速度为
.
题目给出了轨道的参量方程,由参量方程消去参变量t,就可以得到质点运动的轨道方程。
由轨道的参量方程的第二式得
,
将上式代入轨道的参量方程的第一式,得
,
这就是质点运动的轨道方程。
1-19质点沿半径为R的圆周运动,角速度为=ct,其中c是常量。
试在直角坐标系和平面极坐标系中分别写出质点的位置矢量、速度和加速度的表达式。
解建立如图1-12所示的坐标系,直角坐标系的原点与极坐标的极点相重合,并且就是质点运动所沿的圆周的圆心。
显然直角坐标与极坐标有如下关系
,
(1)
图1-12
式中=R,就是圆周的半径。
相反的关系可以表示为
.
(2)
设t=0时,质点处于圆周与x轴的交点上。
由题已知
,
所以
(3)
将式(3)代入式
(1),得
.
于是质点的位置矢量可以表示为
;
质点的运动速度可以表示为
;
质点的运动加速度可以表示为
在极坐标中质点的位置矢量可以表示为
;
质点的速度为
;
质点的加速度为
.
1-20质点按照s=bt的规律沿半径为R的圆周运动,其中s是质点运动的路程,b、c是常量,并且b2>cR。
问当切向加速度与法向加速度大小相等时,质点运动了多少时间?
解质点运动的速率为
,
切向加速度为
切向加速度的大小可以写为at=c。
法向加速度可以