212 导数的应用一学案高考一轮复习.docx

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212导数的应用一学案高考一轮复习

2014年高中数学一轮复习教学案

第二章函数、导数及其应用

第12节导数的应用

（一）

一．学习目标：

1．理解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．

2．理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）.

二．学习重、难点：

1．学习重点：

会求函数的单调区间；

2．学习难点：

理解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.

三．学习方法：

讲练结合

四．自主复习：

1．函数的单调性与导数

（1）函数f（x）在某个区间（a，b）内的单调性与其导数的正负有如下关系

①若_________，则f（x）在这个区间内单调递增；

②若_________，则f（x）在这个区间内单调递减；

③若_________，则f（x）在这个区间内是常数．

（2）利用导数判断函数单调性的一般步骤

①求_________；

②在定义域内解不等式______________________；

③根据结果确定f（x）的单调区间．

2．函数的极值与导数

（1）函数的极小值

函数y＝f（x）在点x＝a的函数值f（a）比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′（a）＝0，而且在点x＝a附近的左侧___________，右侧____________，则点a叫做函数y＝f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y＝f（x）的极小值．

（2）函数的极大值

函数y＝f（x）在点x＝b的函数值f（b）比它在点x＝b附近的其它点的函数值都大，f′（b）＝0，而且在点x＝b附近的左侧___________，右侧____________，则点b叫做函数y＝f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y＝f（x）的极大值．

极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．

五．复习前测：

1．已知函数f（x）的导函数f′（x）＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f（x）的图象可能是（　　）

2．函数f（x）＝1＋x－sinx在（0,2π）上是（　　）

A．增函数

B．减函数

C．在（0，π）上增，在（π，2π）上减

D．在（0，π）上减，在（π，2π）上增

3．设f（x）＝x（ax2＋bx＋c）（a≠0）在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是（　　）

A．（a，b）B．（a，c）

C．（b，c）D．（a＋b，c）

4．函数y＝3x2－6lnx的单调增区间为__________，单调减区间为__________．

5．函数y＝x3＋ax＋b在区间[－1,1]上为减函数，在（1，＋∞）上为增函数，则a等于__________．

要点点拨：

1．在确定函数的单调区间，求函数的极大（小）值时，应首先考虑所给函数的定义域，函数的单调区间应是其定义域的子集．

2．当求出函数的单调区间（如单调增区间）有多个时，不能把这些区间取并集．

3．f′（x）>0（或f′（x）<0）是f（x）在某一区间上为增函数（或减函数）的充分不必要条件．

4．可导函数的极值点必须是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点，如f（x）＝x3在x＝0处导数f′（0）＝0，但x＝0不是它的极值点，也就是说可导函数在点x0处的导数f′（x0）＝0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件.

六．复习过程：

题型一：

利用导数研究函数的单调性

[例1]　函数y＝

－2sinx的图象大致是（　　）

[思路点拨]　排除法与求导相结合，根据导数与函数单调性的关系判断．

变式训练1

如果函数y＝f（x）的图象如下图，那么导函数y＝f′（x）的图象可能是（　　）

[例2]　已知函数f（x）＝ex－ax－1.

（1）求f（x）的单调增区间；

（2）是否存在a，使f（x）在（－2,3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．

[规律总结]

（1）求解函数的单调区间，首先我们应先求函数的定义域，当f（x）不含参数时，也可通过解不等式f′（x）>0（或f′（x）<0）直接得到单调递增（或递减）区间，当f（x）含有参数时，应注意分类讨论；

（2）对于已知函数的单调性，求参数的取值范围，一般地最后要检验参数的取值能否使f′（x）恒等于0，若f′（x）恒等于0，则参数的值应舍去；若只有在个别点处有f′（x）＝0，则由f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立解出的参数取值范围为最后解．

题型二：

利用导数研究函数的极值

[例3]　已知函数f（x）＝（x2＋ax－2a2＋3a）ex（x∈R），其中a∈R.

（1）当a＝0时，求曲线y＝f（x）在点（1，f

（1））处的切线的斜率；

（2）当a≠

时，求函数f（x）的单调区间与极值．

[规律总结]　1.可导函数f（x）在点x0处取得极值的充要条件是：

f′（x0）＝0，且在x0的左，右两侧f′（x）的符号不同．

2．对含参数的极值问题要注意分类讨论．

变式训练3

设f（x）＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′（x），若函数y＝f′（x）的图象关于直线x＝－

对称，且f′

（1）＝0.

（1）求实数a，b的值；

（2）求函数f（x）的极值．

题型三：

函数单调性与极值的综合问题

[例4]　（2013·兰州调研）已知实数a>0，函数f（x）＝ax（x－2）2（x∈R）有极大值32.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求实数a的值．

[规律总结]　

（1）求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．

（2）如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．

变式训练4

（2013·海淀模拟）函数f（x）＝

（a∈R）．

（1）若f（x）在点（1，f

（1））处的切线斜率为

，求实数a的值；

（2）若f（x）在x＝1处取得极值，求函数f（x）的单调区间．

创新探究——函数思想在导数中的应用

[例题]　（2012·重庆）已知函数f（x）＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.

（1）求a，b的值；

（2）若f（x）有极大值28，求f（x）在[－3,3]上的最小值．

链接高考：

1．（2012·陕西）设函数f（x）＝xex，则（　　）

A．x＝1为f（x）的极大值点

B．x＝1为f（x）的极小值点

C．x＝－1为f（x）的极大值点

D．x＝－1为f（x）的极小值点

2．（2012·大纲全国）已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝（　　）

A．－2或2　　　　　　　　B．－9或3

C．－1或1D．－3或1

七．反馈练习：

1．（2012·辽宁）函数y＝

x2－lnx的单调递减区间为（　　）

A．（－1,1]B．（0,1]

C．[1，＋∞）D．（0，＋∞）

2．函数f（x）＝（x2－1）3＋2的极值点是（　　）

A．x＝1B．x＝－1

C．x＝1或－1或0D．x＝0

3．已知f（x）＝x3－ax在[1，＋∞）上是单调增函数，则a的最大值是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

4．（2012·沈阳模拟）已知y＝f（x）是定义在R上的函数，且f

（1）＝1，f′（x）>1，则f（x）>x的解集是（　　）

A．（0,1）B．（－1,0）∪（0,1）

C．（1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

5．（2012·福建）已知f（x）＝x3－6x2＋9x－abc，a

①f（0）f

（1）>0；②f（0）f

（1）<0；③f（0）f（3）>0；

④f（0）f（3）<0.

其中正确结论的序号是（　　）

A．①③B．①④

C．②③D．②④

6．函数f（x）的定义域为R，对任意实数x满足f（x－1）＝f（3－x），且f（x－1）＝f（x－3）．当1≤x≤2时，函数f（x）的导数f′（x）>0，则f（x）的单调递减区间是（　　）

A．[2k,2k＋1]（k∈Z）B．[2k－1,2k]（k∈Z）

C．[2k,2k＋2]（k∈Z）D．[2k－2,2k]（k∈Z）

7．设函数f（x）＝x（ex＋1）＋

x2，则函数f（x）的单调增区间为__________．

8．已知函数f（x）＝x3＋mx2＋（m＋6）x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是__________．

9．已知函数f（x）＝

x3－bx2＋c（b，c为常数）．当x＝2时，函数f（x）取得极值，若函数f（x）只有三个零点，则实数c的取值范围是__________．

10．已知函数f（x）＝

x3＋ax2－bx（a，b∈R）．若y＝f（x）图象上的点（1，－

）处的切线斜率为－4，求y＝f（x）的极大值．

11．已知函数f（x）＝x3－ax2－3x.

（1）若f（x）在[1，＋∞）上是增函数，求实数a的取值范围；

（2）若x＝3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间．

12．设函数f（x）＝

x3－ax2－ax，g（x）＝2x2＋4x＋c.

（1）试问函数f（x）能否在x＝－1时取得极值？

说明理由；

（2）若a＝－1，当x∈[－3,4]时，函数f（x）与g（x）的图象有两个公共点，求c的取值范围．

八．思维总结：

九．自我评价：

1．你对本章的复习的自我评价如何？

A．很好B．一般C．不太好

2．你认为在这章复习中还有哪些知识漏洞？