概率论与数理统计浙大四版习题答案完全真实.docx
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概率论与数理统计浙大四版习题答案完全真实
概率论与数理统计习题答案精选版
浙大第四版
说明：
剩余习题在学习辅导与习题选解
第一章概率论的基本概念
1.写出下列随机试验的样本空间
（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一]1）
o1n100S,，n表小班人数nnn
（3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。
（[一]2）
S={10，11，12，„„„，n，„„„}
（4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。
（[一]（3））
S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，}
2.设A，B，C为三事件，用A，B，C的运算关系表示下列事件。
（1）A发生，B与C不发生。
表示为：
A或A－（AB+AC）或A－（B∪C）
（2）A，B都发生，而C不发生。
表示为：
AB或AB－ABC或AB－C
表示为：
A+B+C（3）A，B，C中至少有一个发生
（4）A，B，C都发生，表示为：
ABC
表示为：
或S－（A+B+C）或ABC（5）A，B，C都不发生，（6）A，B，C中不多于一个发生，即A，B，C中至少有两个同时不发生相当于,中至少有一个发生。
故表示为：
。
（7）A，B，C中不多于二个发生。
相当于：
A,,C中至少有一个发生。
故表示为：
AC或ABC
（8）A，B，C中至少有二个发生。
相当于：
AB，BC，AC中至少有一个发生。
故表示为：
AB+BC+AC
6.在房间里有10人。
分别佩代着从1号到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码。
（1）求最小的号码为5的概率。
记“三人纪念章的最小号码为5”为事件A
10∵10人中任选3人为一组：
选法有3种，且每种选法等可能。
5又事件A相当于：
有一人号码为5，其余2人号码大于5。
这种组合的种数有12
∴5121P（A）12103
（2）求最大的号码为5的概率。
10记“三人中最大的号码为5”为事件B，同上10人中任选3人，选法有3种，且
4每种选法等可能，又事件B相当于：
有一人号码为5，其余2人号码小于5，选法有12
种
4121P（B）20103
7.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，红漆3桶。
在搬运中所标笺脱落，交货人随意将这些标笺重新贴，问一个定货4桶白漆，3桶黑漆和2桶红漆顾客，按所定的颜色如数得到定货的概率是多少？
记所求事件为A。
9在17桶中任取9桶的取法有C17种，且每种取法等可能。
432C4C3取得4白3黑2红的取法有C10
故432C10C4C3252P（A）2431C17
8.在1500个产品中有400个次品，1100个正品，任意取200个。
（1）求恰有90个次品的概率。
记“恰有90个次品”为事件A
1500∵在1500个产品中任取200个，取法有200种，每种取法等可能。
4001100200个产品恰有90个次品，取法有90110种
400110090110P（A）1500200∴
（2）至少有2个次品的概率。
记：
A表“至少有2个次品”
B0表“不含有次品”，B1表“只含有一个次品”，同上，200个产品不含次品，取法
11004001100有200种，200个产品含一个次品，取法有1199种
∵AB0B1且B0，B1互不相容。
∴110040011001199200P（A）1P（A）1[P（B0）P（B1）]115001500200200
9.从5双不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一双的概率是多少？
记A表“4只全中至少有两支配成一对”则表“4只人不配对”
10∵从10只中任取4只，取法有4种，每种取法等可能。
要4只都不配对，可在5双中任取4双，再在4双中的每一双里任取一只。
取法有5244
P（）4C524
4C10821
8132121P（A）1P（）1
11.将三个球随机地放入4个杯子中去，问杯子中球的最大个数分别是1，2，3，的概率各为多少？
记Ai表“杯中球的最大个数为i个”i=1,2,3,
三只球放入四只杯中，放法有43种，每种放法等可能
对A1：
必须三球放入三杯中，每杯只放一球。
放法4³3³2种。
（选排列：
好比3个球在4个位置做排列）
P（A1）43263164
243种。
对A2：
必须三球放入两杯，一杯装一球，一杯装两球。
放法有C3
2（从3个球中选2个球，选法有C3，再将此两个球放入一个杯中，选法有4
种，最后将剩余的1球放入其余的一个杯中，选法有3种。
2C343P（A2）43916
对A3：
必须三球都放入一杯中。
放法有4种。
（只需从4个杯中选1个杯子，放入此
3个球，选法有4种）
P（A3）413164
12.50个铆钉随机地取来用在10个部件，其中有三个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将三只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率是多少？
记A表“10个部件中有一个部件强度太弱”。
法一：
用古典概率作：
把随机试验E看作是用三个钉一组，三个钉一组去铆完10个部件（在三个钉的一组中不分先后次序。
但10组钉铆完10个部件要分先后次序）
3333C47C44C23对E：
铆法有C50种，每种装法等可能
3333C47C44C23对A：
三个次钉必须铆在一个部件上。
这种铆法有〔C3〕×10
种
3333[C3C47C44C23]10
333C50C47C23P（A）10.000511960
法二：
用古典概率作
把试验E看作是在50个钉中任选30个钉排成一列，顺次钉下去，直到把部件铆完。
（铆钉要计先后次序）
3对E：
铆法有A50种，每种铆法等可能
对A：
三支次钉必须铆在“1，2，3”位置上或“4，5，6”位置上，„或“28，29，
327327327327A47A3A47A3A4710A3A4730”位置上。
这种铆法有A3种
32710A3A47
30A50P（A）10.000511960
14.
（1）已知P（）0.3,P（B）0.4,P（A）0.5,求P（B|A）。
解一：
P（A）1P（）0.7,P（）1P（B）0.6,AASA（B）ABA注意（AB）（A）.故有
P（AB）=P（A）－P（A）=0.7－0.5=0.2。
再由加法定理，
P（A∪）=P（A）+P（）－P（A）=0.7+0.6－0.5=0.8于是P（B|A）P[B（A）]P（AB）0.20.25P（A）P（A）0.8
解二:
P（A）P（A）P（|A）由已知0507P（|A）
P（|A）0.5521P（B|A） 故 P（AB）P（A）P（B|A）0.7775
1
P（BAB）P（BA）P（B|A）定义0.25P（A）P（A）P（）P（A）0.70.60.5
（2）P（A）111,P（B|A）,P（A|B）,求P（AB）。
432
11定义P（AB）P（A）P（B|A）由已知条件1P（B）1有解：
由P（A|B）P（B）P（B）2P（B）6
由乘法公式，得P（AB）P（A）P（B|A）112
111146123由加法公式，得P（AB）P（A）P（B）P（AB）
15.掷两颗骰子，已知两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）。
解：
（方法一）（在缩小的样本空间SB中求P（A|B），即将事件B作为样本空间，求事件A发生的概率）。
掷两颗骰子的试验结果为一有序数组（x,y）（x,y=1,2,3,4,5,6）并且满足x,+y=7，则样本空间为
S={（x,y）|（1,6）,（6,1）,（2,5）,（5,2）,（3,4）,（4,3）}
每种结果（x,y）等可能。
A={掷二骰子，点数和为7时，其中有一颗为1点。
故P（A）21}63
方法二：
（用公式P（A|B）P（AB）P（B）
S={（x,y）|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每种结果均可能
A=“掷两颗骰子，x,y中有一个为“1”点”，B=“掷两颗骰子，x,+y=7”。
则P（B）612，,P（AB）22666
2
2P（AB）21故P（A|B）P（B）163
6
16.据以往资料表明，某一3口之家，患某种传染病的概率有以下规律：
P（A）=P{孩子得病}=0.6，P（B|A）=P{母亲得病|孩子得病}=0.5，P（C|AB）=P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4。
求母亲及孩子得病但父亲未得病的概率。
解：
所求概率为P（AB）（注意：
由于“母病”，“孩病”，“父病”都是随机事件，这里不是求P（|AB）
P（AB）=P（A）=P（B|A）=0.6×0.5=0.3,P（|AB）=1－P（C|AB）=1－0.4=0.6.
从而P（ABC）=P（AB）·P（C|AB）=0.3×0.6=0.18.
17.已知10只晶体管中有2只次品，在其中取二次，每次随机地取一只，作不放回
抽样，求下列事件的概率。
（1）二只都是正品（记为事件A）
法一：
用组合做在10只中任取两只来组合，每一个组合看作一个基本结果，每种取法等可能。
C8228P（A）20.62C1045
法二：
用排列做在10只中任取两个来排列，每一个排列看作一个基本结果，每个排列等可能。
2A8
2A10P（A）
2845
法三：
用事件的运算和概率计算法则来作。
记A1，A2分别表第一、二次取得正品。
P（A）P（A1A2）P（A）P（A2|A1）
（2）二只都是次品（记为事件B）872810945
法一：
P（B）2C2
2C10145
法二：
P（B）2A2
2A10145
法三：
P（B）P（12）P
（1）P（2|1）21110945
（3）一只是正品，一只是次品（记为事件C）
法一：
P（C）11C8C2
2C101645
112（C8C2）A2
2A10法二：
P（C）1645
法三：
P（C）P（A121A2）且A12与1A2互斥P（A1）P（2|A1）P
（1）P（A2|1）28168210910945
（4）第二次取出的是次品（记为事件D）
法一：
因为要注意第一、第二次的顺序。
不能用组合作，
法二：
P（D）11A9A2
2A1015
法三：
P（D）P（A1212）且A12与1A2互斥P（A1）P（2|A1）P
（1）P（2|1）822111091095
18.某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而随机的拨号，求他拨号不超过三次而接通所需的电话的概率是多少？
如果已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？
记H表拨号不超过三次而能接通。
Ai表第i次拨号能接通。
注意：
第一次拨号不通，第二拨号就不再拨这个号码。
HA11A212A3 三种情况互斥
P（H）P（A1）P
（1）P（A2|1）P
（1）P（2|1）P（A3|12）
191981310109109810
如果已知最后一个数字是奇数（记为事件B）问题变为在B已发生的条件下，求H再发生的概率。
P（H|B）PA1|B1A2|B12A3|B）
P（A1|B）P（1|B）P（A2|B1）P（1|B）P（2|B1）P（A3|B12）
14143135545435
19.
（1）设有甲、乙二袋，甲袋中装有n只白球m只红球，乙袋中装有N只白球M只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取到（即从乙袋中取到）白球的概率是多少？
（此为第三版19题
（1））
记A1，A2分别表“从甲袋中取得白球，红球放入乙袋”
再记B表“再从乙袋中取得白球”。
∵
∴B=A1B+A2B且A1，A2互斥P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）
=nN1mNnmNM1nmNM1
（2）第一只盒子装有5只红球，4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。
先从第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只球，求取到白球的概率。
记C1为“从第一盒子中取得2只红球”。
C2为“从第一盒子中取得2只白球”。
C3为“从第一盒子中取得1只红球，1只白球”，
D为“从第二盒子中取得白球”，显然C1，C2，C3两两互斥，C1∪C2∪C3=S，由全概率公式，有
P（D）=P（C1）P（D|C1）+P（C2）P（D|C2）+P（C3）P（D|C3）
112C525C4C47C56532221199C911C911C9
21.已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。
今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
解：
A1={男人}，A2={女人}，B={色盲}，显然A1∪A2=S，A1A2=φ由已知条件知P（A1）P（A2）1P（B|A1）5%,P（B|A2）0.25%2
由贝叶斯公式，有
15P（A1B）P（A1）P（B|A1）20P（A1|B）125P（B）P（A1）P（B|A1）P（A2）P（B|A2）15212100210000
22.一学生接连参加同一课程的两次考试。
第一次及格的概率为P，若第一次及格
P则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为2
（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。
（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。
解：
Ai={他第i次及格}，i=1,2
已知P（A1）=P（A2|A1）=P，P（A2|1）
（1）B={至少有一次及格}}A1A2所以{两次均不及格
∴P（B）1P（）1P（12）1P
（1）P（2|1）
1[1P（A1）][1P（A2|1）]
1（1P）（1P31）PP2222
（*）定义P（A1A2）
（2）P（A1A2）P（A2）
由乘法公式，有P（A1A2）=P（A1）P（A2|A1）=P2由全概率公式，有P（A2）P（A1）P（A2|A1）P
（1）P（A2|1）
PP（1P）
P2
P2P22
将以上两个结果代入（*）得P（A1|A2）P2
P2P222PP1
24.有两箱同种类型的零件。
第一箱装5只，其中10只一等品；第二箱30只，其中18只一等品。
今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取零件两次，每次任取一只，作不放回抽样。
试求
（1）第一次取到的零件是一等品的概率。
（2）第一次取到的零件是一等品的条件下，第二次取到的也是一等品的概率。
解：
设Bi表示“第i次取到一等品”i=1，2
Aj表示“第j箱产品”j=1,2，显然A1∪A2=S
（1）P（B1）A1A2=φ1101182。
0.4（B1=A1B+A2B由全概率公式解）2502305
110911817P（B1B2）2504923029
（2）P（B2|B1）0.48572P（B1）
5
（先用条件概率定义，再求P（B1B2）时，由全概率公式解）
25.某人下午5:
00下班，他所积累的资料表明：
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是5:
47到家的，试求他是乘地铁回家的概率。
解：
设A=“乘地铁”，B=“乘汽车”，C=“5:
45~5:
49到家”，由题意,AB=φ,A∪B=S已知：
P（A）=0.5,P（C|A）=0.45,P（C|B）=0.2,P（B）=0.5
由贝叶斯公式有
P（A|C）P（C|A）P（A）P（C）0.50.450.4590.6923110.6513P（C|A）P（C|B）22
34.
（1）]设有4个独立工作的元件1，2，3，4。
它们的可靠性分别为P1，P2，P3，P4，将它们按图
（1）的方式联接，求系统的可靠性。
记Ai表示第i个元件正常工作，i=1，2，3，4，
A表示系统正常。
∵A=A1A2A3+A1A4两种情况不互斥
（加法公式）∴P（A）=P（A1A2A3）+P（A1A4）－P（A1A2A3A4）
=P（A1）P（A2）P（A3）+P（A1）P（A4）－P（A1）P（A2）P（A3）P（A4）
=P1P2P3+P1P4－P1P2P3P4（A1,A2,A3,A4独立）
（2）如图1，2，3，4，5表示继电器接点，假设每一继电器接点闭合的概率为p，且设各
继电器闭合与否相互独立，求L和R是通路
的概率。
记Ai表第i个接点接通
记A表从L到R是构成通路的。
45
∵A=A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四种情况不互斥
∴P（A）=P（A1A2）+P（A1A3A5）+P（A4A5）+P（A4A3A2）－P（A1A2A3A5）
+P（A1A2A4A5）+P（A1A2A3A4）+P（A1A3A4A5）
+P（A1A2A3A4A5）P（A2A3A4A5）+P（A1A2A3A4A5）+P（A1A2A3A4A5）+（A1A2A3A4A5）+P（A1A2A3A4A5）－P（A1A2A3A4A5）
又由于A1，A2，A3，A4，A5互相独立。
故P（A）=p2+p3+p2+p3－[p4+p4+p4+p4+p5+p4]
+[p5+p5+p5+p5]－p5=2p2+3p3－5p4+2p5
37.设第一只盒子装有3只蓝球，2只绿球，2只白球；第二只盒子装有2只蓝球，3只绿球，4只白球。
独立地分别从两只盒子各取一只球。
（1）求至少有一只蓝球的概率，
（2）求有一只蓝球一只白球的概率，（3）已知至少有一只蓝球，求有一只蓝球一只白球的概率。
解：
记A1、A2、A3分别表示是从第一只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球，B1、B2、B3分别表示是从第二只盒子中取到一只蓝球、绿球、白球。
（1）记C={至少有一只蓝球}
C=A1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1，5种情况互斥
由概率有限可加性，得
P（C）P（A1B1）P（A1B2）P（A1B3）P（A2B1）P（A3B1）
独立性P（A）P（B）P（A）P（B）P（A）P（B）P（A）P（B）P（A）P（B）
1112132131
3233342222579797979799
（2）记D={有一只蓝球，一只白球}，而且知D=A1B3+A3B1两种情况互斥
P（D）P（A1B3P（A3B1）P（A1）P（B3）P（A3）P（B1）
342216797963
P（CD）P（D）16P（C）P（C）35（3）P（D|C）（注意到CDD）
38.袋中装有m只正品硬币，n只次品硬币，（次品硬币的两面均印有国徽）。
在袋中任取一只，将它投掷r次，已知每次都得到国徽。
问这只硬币是正品的概率为多少？
解：
设“出现r次国徽面”=Br“任取一只是正品”=A
由全概率公式，有
m1rn（）1r
mn2mn
m1r（）P（A）P（Br|A）mmn2P（A|Br）m1rnP（Br）mn2r（）mn2mnP（Br）P（A）P（Br|A）P（）P（Br|）
（条件概率定义与乘法公式）
39.设由以往记录的数据分析。
某船只运输某种物品损坏2%（这一事件记为A1），10%（事件A2），90%（事件A3）的概率分别为P（A1）=0.8,P（A2）=0.15,P（A2）=0.05，现从中随机地独立地取三件，发现这三件都是好的（这一事件记为B），试分别求P（A1|B）P（A2|B）,P（A3|B）（这里设物品件数很多，取出第一件以后不影响取第二件的概率，所以取第一、第二、第三件是互相独立地）
∵B表取得三件好物品。
B=A1B+A2B+A3B三种情况互斥
由全概率公式，有
∴P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）
=0.8×（0.98）3+0.15×（0.9）3+0.05×（0.1）3=0.8624
P（A1B）P（A1）P（B|A1）0.8（0.98）3
P（A1|B）0.8731P（B）P（B）0.8624
P（A2B）P（A2）P（B|A2）0.15（0.9）3
P（A2|B）0.1268P（B）P（B）0.8624
P（A3B）P（A3）P（B|A3）0.05（0.1）3
P（A3|B）0.0001P（B）P（B）0.8624
40.将A，B，C三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为α，而输出为其它一字母的概率都是（1－α）/2。
今将字母串AAAA，BBBB，CCCC之一输入信道，输入AAAA，BBBB，CCCC的概率分别为p1,p2,p3（p1+p2+p3=1），已知输出为ABCA，问输入的是AAAA的概率是多少？
（设信道传输每个字母的工作是相互独立的。
）
解：
设D表示输出信号为ABCA，B1、B2、B3分别表示输入信号为AAAA，BBBB，CCCC，则B1、B2、B3为一完备事件组，且P（Bi）=Pi,i=1,2,3。
再设A发、A收分别表示发出、接收字母A，其余类推，依题意有
P（A收|A发）=P（B收|B发）=P（C收|C发）=α，
P（A收|B发）=P（A收|C发）=P（B收|A发）=P（B收|C发）=P（C收|A发）=P（C收|B发）=1α2
又P（ABCA|AAAA）=P（D|B1）=P（A收|A发）P（B收|A发）P（C收|A发）P（A收|A发）
=α2（1α2），2
1α3）2同样可得P（D|B
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