中考数学复习专题类型突破专题五二次函数综合题训练.docx

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中考数学复习专题类型突破专题五二次函数综合题训练

专题类型突破

专题五　二次函数综合题

类型一线段、周长问题

（2018·宜宾中考改编）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y＝x与抛物线交于A，B两点，直线l为y＝－1.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在一点M，使点M到点A，B的距离相等？

若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在l上是否存在一点P，使PA＋PB取得最小值？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）设点S是直线l的一点，是否存在点S，使的SB－SA最大，若存在，求出点S的坐标．

【分析】

（1）设顶点式y＝a（x－2）2，将点（4，1）代入即可求a的值，得出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式得到点A与点B的坐标，设出点M的坐标为（0，m），利用等式MA2

＝MB2，求出点M的坐标

；

（3）利用最短线段思想，作点B关于

直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值．求出直线AB′解析式后，联立直线l得出点P坐标；

（4）由最短线段思想可知，当S，A，B三点共线时，SB－SA取得最大值．

【自主解答】

1．（2018·广西中考）如图，抛物线y＝ax2－5ax＋c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（－3，0），C（0，4），点B在x轴上，AC＝BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM＝BN，连接MN，AM，AN.

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；

（3）试求出AM＋AN的最小值．

类型二图形面积问题

（2018·菏泽中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5

交y轴于点A，交x轴于点B（－5，0）和点C（1，0），过点A作AD∥x轴交抛物线于点D.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；

（3）若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．

【分析】

（1）根据题意可以求得a，b的值，从而可以求得抛物线的解析式；

（2）根据题意可以求得AD的长和点E到AD的距离，从而可以求得△EAD的面积；

（3）根据题意可以求得直线AB

的函数解析式，再根据题意可以求得△ABP的面积，然后根据二次函数的性质即可

解答本题．

【自主解答】

2．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（－9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB，AC分别交于点E，F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标；

（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

类型三抛物线上架构的三角形问题

（2018·怀化中考改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；

（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；

（3）试探究：

①在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？

若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②在数轴上是否存在点M，使得△ACM是以AC为底的等腰三角形？

若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）设交点式y＝a（x＋1）（x－3），展开得到－2a＝2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；

（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于点M，利用两点之间线段最短可判断此时MB＋MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；

（3）①过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数求出直线PC的解析式，当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．

②因为△ACM是以AC为底的等腰三角形，得出MA2＝MB2，然后分类讨论点M在x轴、y轴时的两种情况，进而求出点M的坐标即可．

【自主解答】

是否存在一点，使之与另外两个定点构成等腰三角形（直角三角形）的问题：

首先弄清题意（如等腰三角形：

若某边为底边，则只有一种情况；若某边为腰，有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形，则有三种情况）；其次借助于动点所在图形的解析式，表示出动点的坐标；然后按分类的情况，利用几何知识建立方程（组），求出动点坐标，注意要根据题意舍去不符合题意的点．

3．（2018·临沂中考）如图，在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，OC＝2OB，tan∠ABC＝2，点B的坐标为（1，0），抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A，B两点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是直线AB上方抛物线上的一点．过点P作PD垂直x轴于点D，交线段AB于点E，使PE＝DE.

①求点P的坐标；

②在直线PD上是否存在点M，使△ABM为直角三角形？

若存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．

类型四抛物线上架构的四边形问题

（2018·齐齐哈尔中考）综合与

探究

如图1所示，直线y＝x＋c与x轴交于点A（－4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A，C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点E在抛物线的对称轴上，求CE＋OE的最小值；

（3）如图2所示，点M是线段OA上的一个动点，过点M作垂直于x轴的直线与直线AC和抛物线分别交于点P，N.

①若以C，P，N为顶点的三角形与△APM相似，则△CPN的面积为________；

②若点P恰好是线段MN

的中点，点F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点D，使以点D，F，P，M为顶点的四边形是菱形？

若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）把已知点坐标代入解析式；

（2）取点C关于抛物线的对称轴直线l的对称点C′，由两点之间线段最短，最小值可得；

（3）①由已知，注意相似三角形的分类讨论．

②设出M坐标，求点P坐标．注意菱形是由等腰三角形以底边所在直线为对称轴对称得到的．本题即为研究△CPN为等腰三角形的情况．

【自主解答】

解答存在性问题的一般思路

解答存在性问题的一般思路是先假设问题存在，然后推理得出结论，进而判断结论是否成立．遇到有两个定点确定平行四边形或其他特殊四边形的问题时，常常要运用分类讨论和数形结合思想，分别画出符合要求的图形，找到所有的答案，分类时要注意不重不漏．

4．（2017·天水中考）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：

y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC.

（1）求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；

（2）求直线l的函数解析式（其中k，b用含a的式子表示）；

（3）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；

（4）设P

是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？

若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

参考答案

类型一

【例1】

（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），

设抛物线的解析式为y＝a（x－2）2.

∵该抛物线经过点（4，1），

∴1＝4a，解得a＝，

∴抛物线的解析式为y＝（x－2）2＝x2－x＋1.

（2）存在．

联立解得或

∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．

设点M的坐标为（0，m），

∴MA2＝（0－1）2＋（m－）2，

MB2＝（0－4）2＋（m－1）2.

∵点M到A，B的距离相等，

∴MA2＝MB2，

即（0－1）2＋（m－）2＝（0－4）2＋（m－1）2，

∴m＝，∴点M的坐标为（0，）．

（3）存在．

如图，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值．

∵点B（4，1），直线l为y＝－1，

∴点B′的坐标为（4，－3）．

设直线AB′的解析式为y＝kx＋b（k≠0），

将A（1，），B′（4，－3）代入y＝kx＋b得

解得

∴直线AB′的解析式为y＝－x＋.

当y＝－1时，有－x＋＝－1，

解得x＝，

∴点P的坐标为（，－1）．

（4）存在．

点S和点A，B在同一条直线上时，SB－SA最大．

∵点S在直线l上，

∴设点S的坐标为（n，－1），代入y＝x得n＝－4，

∴点S的坐标为（－4，－1）．

变式训练

1．解：

（1）把A（－3，0），C（0，4）代入y＝ax2－5ax＋c得

解得

∴抛物线解析式为y＝－x2＋x＋4.

∵AC＝BC，CO⊥AB，∴OB＝OA＝3，

∴B（3，0）．

∵BD⊥x轴交抛物线于点D，

∴D点的横坐标为3，

当x＝3时，y＝－×9＋×3＋4＝5，

∴D点坐标为（3，5）．

（2）在Rt△OBC中，BC＝＝＝5.

设M（0，m），则BN＝4－m，CN＝5－（4－m）＝m＋1.

∵∠MCN＝∠OCB，

∴当＝时，△CMN∽△COB，

则∠CMN＝∠COB＝90°，

即＝，解得m＝，此时M点坐标为（0，）．

当＝时，△CMN∽△CBO，

则∠CNM＝∠COB＝90°，

即＝，解得m＝，此时M点坐标为（0，）．

综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，）．

（3）如图，连接DN，AD.

∵AC＝BC，CO⊥AB，

∴OC平分∠ACB，

∴∠ACO＝∠BCO.

∵BD∥OC，∴∠BCO＝∠DBC.

∵DB＝BC＝AC＝5，CM＝BN，

∴△ACM≌△DBN，

∴AM＝DN，∴AM＋AN＝DN＋AN，

而DN＋AN≥AD（当且仅当点A，N，D共线时取等号），

∵AD＝＝，

∴AM＋AN的最小值为.

类型二

【例2】

（1）∵抛物线y＝ax2＋bx－5经过点B（－5，0）和点C（1，0），

∴解得

∴抛物线的解析式为y＝x2＋4x－5.

（2）∵抛物线y＝x2＋4x－5交y轴于点A，

∴A点坐标为（0，－5）．

又∵点E关于x轴的对称点在直线AD上，

∴点E的纵坐标为5.

如图，过点E作EF⊥DA，交DA的延长线于点F，

∴EF＝5＋|－5|＝10.

设点D的坐标为（a，－5），

∴a2＋4a－5＝－5，

∴a1＝0，a2＝－4，

∴点D的坐标为（－4，－5），

∴AD＝|－4|＝4，

∴S△ADE＝AD·EF＝×4×10＝20.

（3）设直线AB的解析式为y＝kx＋b，且该直线经过点B（－5，0）和点A（0，－5），

∴解得

∴直线AB的解析式为y＝－x－5.

如图，过点P作PN⊥x轴，垂足为点N，交直线AB于点M.

设P（x，x2＋4x－5），则M（x，－x－5），

∴S△ABP＝S△PMB＋S△PMA

＝[（－x－5）－（x2＋4x－5）]×5

＝－（x2＋5x）＝－（x＋）2＋，

∴当x＝－时，S△ABP最大，最大值为.

将x＝－代入y＝x2＋4x－5得y＝－，

∴P点的坐标为（－

，－）．

变式训练

2．解：

（1）把点A（0，1），B（－9，10）的坐标代入y＝x2＋bx＋c，

得解得

∴抛物线的解析式是y＝x2＋2x＋1.

（2）∵AC∥x轴，A（0，1），

由x2＋2x＋1＝1，解得x1＝－6，x2＝0.

∴C（－6，1）．

设直线AB的解析式是y＝kx＋b（k≠0），

由解得

则直线AB的解析式是y＝－x＋1.

设点P的坐标为（m，m2＋2m＋1），则点E的坐标为（m，－m＋1），EP＝－m＋1－（m2＋2m＋1）＝－m2－3m.

∵AC⊥EP，AC＝6，

∴S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC·EF＋AC·PF

＝AC·（EF＋PF）＝AC·PE

＝×6×（－m2－3m）

＝－m2－9m＝－（m＋）2＋.

又∵－6＜m＜0，

则当m＝－时，四边形AECP的面积的最大值是，

此时点P的坐标是（－，－）．

（3）由y＝x2＋2x＋1＝（x＋3）2－2，得顶点P的坐标是（－3，－2），此时PF＝yF－yP＝3，CF＝xF－xC＝3，

则在Rt△CFP中，PF＝CF，∴∠PCF＝45°.

同理可求∠EAF＝45°，∴∠PCF＝∠EAF，

∴在直线AC上存在满足条件的Q，如图△CPQ1∽△ABC或△CQ2P∽△ABC.

可求AB＝9，AC＝6，CP＝3，

①当△CPQ1∽△ABC时，设Q1（t1，1），

由＝，得＝，解得t1＝－4.

②当△CQ2P∽△ABC，设Q2（t2，1），

由

＝，得＝，解得t2＝3.

综上，满足条件的点Q有两个，坐标分别是Q1（－4，1）或Q2（3，1）．

类型三

【例3】

（1）设抛物线解析式为y＝a（x＋1）（x－3），

即y＝ax2－2ax－3a，

∴－2a＝2，解得a＝－1，∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3.

当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C（0，3）．

设直线AC的解析式为y＝px＋q，

把A（－1，0），C（0，3）代入得解得

∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.

（2）∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，

∴顶点D的坐标为（1，4）．

如图，作B点关于y轴的对称点B′，则B′（－3，0），连接DB′交y轴于M.

∵MB＝MB′，∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此时MB＋MD的值最小．

∵BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小．

易得直线DB′的解析式为y＝x＋3.

当x＝0时，y＝x＋3＝3，

∴点M的坐标为（0，3）．

（3）①存在．

如图，过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P.

∵直线AC的解析式为y＝3x＋3，

∴直线PC的解析式可设为

y＝－x＋b，

把C（0，3）代入得b＝3，

∴直线PC的解析式为y＝－x＋3.

解方程组得或

则此时P点坐标为（，）．

如图，过点A作A

C的垂线交抛物线于另一点P′，

直线P′A的解析式可设为

y＝－x＋b1，

把A（－1，

0）代入得＋b1＝0，解得b1＝－，

∴直线PC的解析式为y＝－x－.

解方程组得或

则此时P′点坐标为（，－）．

综上所述，符合条件的点P的坐标为（，）或（，－）．

②存在．

当点M在x轴上时，设点M的坐标为（n，0），

∵MA2＝MB2，即[n－（－1）]2＝n2＋（0－3）2，

∴n＝4，∴此时点M的坐标为（4，0）．

当点M在y轴上时，设点M的坐标为（0，a），

∵MA2＝MB2，即[0－（－1）]2＋（a－0）2＝（3－a）2，

∴a＝，∴此时点M的坐标为（0，）．

综上所述，符合条件的点M的坐标为（4，0）或（0，）．

变式训练

3．解：

（1）在Rt△ABC中，由点B的坐标可知OB＝1.

∵OC＝2OB，∴OC＝2，则BC＝3.

又∵tan∠ABC＝2，

∴AC＝2BC＝6，则点A的坐标为（－2，6）．

把点A，B的坐标代入抛物线y＝－x2＋bx＋c中得

解得

∴该抛物线的解析式为y＝－x2－3x＋4.

（2）①由点A（－2，6）和点B（1，0）的坐标易得直线AB的解析式为y＝－2x＋2.

如图，设点P的坐标为（m，－m2－3m＋4），则点E的坐标为（m，－2m＋2），点D的坐标为（m，0），

则PE＝－m2－m＋2，DE＝－2m＋2，

由PE＝DE得－m2－m＋2＝

（－2m＋2），

解得m＝±1.

又∵－2＜m＜1，

∴m＝－1，

∴点P的坐标为（－1，6）．

②∵M在直线PD上，且P（－1，6），

设M（－1，y），

∴AM2＝（－1＋2）2＋（y－6）2＝1＋（y－6）2，

BM2＝（1＋1）2＋y2＝4＋y2，AB2＝（1＋2）2＋62＝45.

分三种情况：

（ⅰ）当∠AMB＝90°时，有AM2＋BM2＝AB2，

∴1＋（y－6）2＋4＋y2＝45，解得y＝3±，

∴M（－1，3＋）或（－1，3－）；

（ⅱ）当∠ABM＝90°时，有AB2＋BM2＝AM2，

∴45＋4＋y2＝1＋（y－6）2，解得y＝－1，

∴M（－1，－1）．

（ⅲ）当∠BAM＝90°时，有AM2＋AB2＝BM2，

∴1＋（y－6）2＋45＝4＋y2，解得y＝，∴M（－1，）．

综上所述，点M的坐标为（－1，3＋）或（－1，3－）或（－1，－1）或（－1，）．

类型四

【例4】

（1）将A（－4，0）代入y＝x＋c得c＝4，

将A（－4，0）和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c得b＝－3，

∴抛物线解析式为y＝－x2－3x＋4.

（2）

如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点C′，连接OC′，交直线l于点E，连接CE，此时CE＋OE的值最小．

∵抛物线对称轴直线x＝－，∴CC′＝3.

由勾股定理可得OC′＝5，

∴CE＋OE的最小值为5.

（3）①当△CNP∽△AMP时，

∠CNP＝90°，则NC关于抛物线对称轴对称，

∴NC＝NP＝3，

∴△CPN的面积为.

当△CNP∽△MAP时，

由已知△NCP为等腰直角三角形，∠NCP＝90°.

如图，过点C作CE⊥MN于点E，设点M坐标为（a，0），

∴EP＝EC＝－a，

则N为（a，－a2－3a＋4），MP＝－a2－3a＋4－（－2a）＝－a2－a＋4，

∴P（a，－a2－a＋4），

代入y＝x＋4，

解得a＝－2或a＝0（舍），

则N（－2，6），P（－2，2），故PN＝4.

又∵EC＝－a＝2，

∴△CPN的面积为4.

故答案为或4.

②存在．设点M坐标为（a，0），则点N坐标为（a，－a2－3a＋4），则P点坐标为（a，），

把点P坐标代入y＝x＋4，

解得a1＝－4（舍去），a2＝－1.

当PF＝FM时，点D在MN垂直平分线上，则D（，）；

当PM＝PF时，由菱形性质得点D坐标为（－1＋，）或（－1－，－）；

当MP＝MF时，M，D关于直线y＝x＋4对称，点D坐标为（－4，3）．

变式训练

4．解：

（1）当y＝0时，ax2－2ax－3a＝0，

解得x1＝－1，x2＝3，∴A（－1，0），B（3，0），

对称轴为直线x＝＝1.

（2）∵直线l为y＝kx＋b且过A（－1，0），

∴0＝－k＋b，即k＝b，∴直线l为y＝kx＋k.

∵抛物线与直线l交于点A，D，

∴ax2－2ax－3a＝kx＋k，

即ax2－

（2a＋k）x－3a－k＝0.

∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4，

∴－3－＝－1×4，∴k＝a，

∴直线l的函数解析式为y＝ax＋a.

（3）

图1

如图1，过点E作EF∥y轴交直线l于点F.

设E（x，ax2－2ax－3a），

则F（x，ax＋a），EF＝ax2－2ax－3a－ax－a＝ax2－3ax－4a，

∴S△ACE＝S△AFE－S△CEF＝（ax2－3ax－4a）（x＋1）－（ax2－3ax－4a）x＝（ax2－3ax－4a）＝a（x－）2－a，

∴△ACE的面积的最大值为－a.

∵△ACE的面积的最大值为，

∴－a＝，

解得a＝－.

（4）以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形．

令ax2－2ax－3a＝ax＋a，即ax2－3ax－4a＝0，

解得x1＝－1，x2＝4，∴D（4，5a）．

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

设P（1，m），

如图2，①若AD是矩形ADPQ的一条边，

图2

则易得Q（－4，21a），

m＝21a＋5a＝26a，则P（1，26a）．

∵四边形ADPQ是矩形，

∴∠ADP＝90°，

∴AD2＋PD2＝AP2，

∴52＋（5a）2＋32＋（26a－5a）2＝22＋（26a）2，

即a2＝.

∵a＜0，∴a＝－，

∴P（1，－）．

②如图3，若AD是矩形APDQ的对角线，

图3

则易得Q（2，－3a），

m＝5a－（－3a）＝8a，

则P（1，8a）．

∵四边形APDQ是矩形，

∴∠APD＝90°，

∴AP2＋PD2＝AD2，

∴（－1－1）2＋（8a）2＋（1－4）2＋（8a－5a）2＝52＋（5a）2，

即a2＝.

∵a＜0，∴a＝－，∴P（1，－4）．

综上所述，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能成为矩形，点P坐标为（1，－）或（1，－4）．