高考数学练习题圆锥曲线.docx

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高考数学练习题圆锥曲线

高考数学练习题---圆锥曲线

一、选择题

1.【2012高考新课标文4】设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为（）

【答案】C∵△是底角为的等腰三角形，

∴，，∴=，∴，∴=，故选C.

2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，；则的实轴长为（）

【答案】C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题.

【解析】由题设知抛物线的准线为：

，设等轴双曲线方程为：

，将代入等轴双曲线方程解得=，∵=，∴=，解得=2，∴的实轴长为4，故选C.

3.【2012高考山东文11】已知双曲线：

的离心率为2.若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为（A）　（B）　　（C）　　（D）

【答案】D考点：

圆锥曲线的性质解析：

由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知，此题应注意C2的焦点在y轴上，即（0，p/2）到直线的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。

4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为

（A）（B）（C）（D）

【答案】C【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。

通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数，从而得到椭圆的方程。

【解析】因为，由一条准线方程为可得该椭圆的焦点在轴上县，所以。

故选答案C

5.【2012高考全国文10】已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（A）（B）（C）（D）

【答案】C【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。

首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。

【解析】解：

由题意可知，，设，则，故，，利用余弦定理可得。

6.【2012高考浙江文8】如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。

若M，O，N将椭圆长轴四等分，

则双曲线与椭圆的离心率的比值是A.3B.2C.D.

【答案】B【命题意图】本题主要考查了椭圆和双曲线的方程和性质，通过对两者公交点求解离心率的关系.【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则，即，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为，，.

7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点。

若点到该抛物线焦点的距离为，则（）A、B、C、D、

【答案】B[解析]设抛物线方程为y2=2px（p>0）,则焦点坐标为（），准线方程为x=,

[点评]本题旨在考查抛物线的定义:

|MF|=d,（M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离）.

8.【2012高考四川文11】方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（）A、28条B、32条C、36条D、48条

【答案】B[解析]方程变形得，若表示抛物线，则

所以，分b=-2,1,2,3四种情况：

（1）若b=-2，;

（2）若b=2,

以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；同理若b=1，共有9条；若b=3时，共有9条.综上，共有14+9+9=32种

[点评]此题难度很大，若采用排列组合公式计算，很容易忽视重复的4条抛物线.列举法是解决排列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用.

9.【2012高考上海文16】对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（）

A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充分必要条件D、既不充分也不必要条件

【解析】方程的曲线表示椭圆，常数常数的取值为所以，由得不到程的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示椭圆，能推出，因而必要.所以答案选择B.

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程的组成特征，可以知道常数的取值情况.属于中档题.

10.【2012高考江西文8】椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。

若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为A.B.C.D.

【解析】本题着重考查等比中项的性质，以及椭圆的离心率等几何性质，同时考查了函数与方程，转化与化归思想.

利用椭圆及等比数列的性质解题.由椭圆的性质可知：

，，.又已知，，成等比数列，故，即，则.故.即椭圆的离心率为.

【点评】求双曲线的离心率一般是通过已知条件建立有关的方程，然后化为有关的齐次式方程，进而转化为只含有离心率的方程，从而求解方程即可.体现考纲中要求掌握椭圆的基本性质.来年需要注意椭圆的长轴，短轴长及其标准方程的求解等.

11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C：

-=1的焦距为10，点P（2,1）在C的渐近线上，则C的方程为

A．-=1B.-=1C.-=1D.-=1

【解析】设双曲线C：

-=1的半焦距为，则.又C的渐近线为，点P（2,1）在C的渐近线上，，即.又，，C的方程为-=1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型.

12.【2102高考福建文5】已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于

ABCD

分析：

本题考查的知识点为圆锥曲线的性质，利用离心率即可。

解答：

根据焦点坐标知，由双曲线的简单几何性质知，所以，因此.故选C.

二、填空题

13.【2012高考四川文15】椭圆为定值，且的的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。

[解析]根据椭圆定义知：

4a=12,得a=3,又

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.

14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2y2=1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2,则∣PF1∣+∣PF2∣的值为__________________

【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。

【解析】由双曲线的方程可知

【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。

15.【2012高考江苏8】在平面直角坐标系中，若双曲线的离心率为，则的值为．

【考点】双曲线的性质。

由得。

∴，即，解得。

16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽米.

【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点的坐标为（0,0），设与抛物线的交点为，根据题意，知（-2，-2），（2，-2）．设抛物线的解析式为，则有，∴．∴抛物线的解析式为．水位下降1米，则-3，此时有或．∴此时水面宽为米．

17.【2012高考重庆文14】设为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率

18.【2012高考安徽文14】过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=______。

【解析】设及；则点到准线的距离为

得：

又

19.【2012高考天津文科11】已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为,则

【解析】双曲线的渐近线为，而的渐近线为，所以有，，又双曲线的右焦点为，所以，又，即，所以。

三、解答题

20.【2012高考天津19】已知椭圆（a>b>0）,点P（,）在椭圆上。

（I）求椭圆的离心率。

（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线的斜率的值。

【解析】（Ⅰ）点在椭圆上

（Ⅱ）设；则

直线的斜率

21.【2012高考江苏19】如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，．已知和都在椭圆上，其中为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）设是椭圆上位于轴上方的两点，且直线与直线平行，与交于点P．

（i）若，求直线的斜率；（ii）求证：

是定值．

【答案】解：

（1）由题设知，，由点在椭圆上，得，∴。

由点在椭圆上，得

∴椭圆的方程为。

（2）由

（1）得，，又∵∥，

∴设、的方程分别为，。

∴。

∴

。

同理，。

（i）由

得，。

解得=2。

∵注意到，∴。

∴直线的斜率为。

（ii）证明：

∵∥，∴，即。

∴。

由点在椭圆上知，，∴。

同理。

。

∴

由

得，，，

∴。

∴是定值。

【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。

【解析】

（1）根据椭圆的性质和已知和都在椭圆上列式求解。

（2）根据已知条件，用待定系数法求解。

22.【2012高考安徽文20】如图，分别是椭圆：

+=1（）的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，=60°.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）已知△的面积为40，求a,b的值.

【解析】（I）

（Ⅱ）设；则，在中，

面积

23.【2012高考广东】在平面直角坐标系中，已知椭圆：

（）的左焦点为，且点在上.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线同时与椭圆和抛物线：

相切，求直线的方程.

【解析】

（1）因为椭圆的左焦点为，所以，点代入椭圆，得，即，

所以，所以椭圆的方程为.

（2）直线的斜率显然存在，设直线的方程为，

，消去并整理得，

因为直线与椭圆相切，所以，

整理得①

，消去并整理得。

因为直线与抛物线相切，所以，

整理得②

综合①②，解得或。

所以直线的方程为或。

24.【2102高考北京文19】已知椭圆C：

+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为，直线y=k（x-1）与椭圆C交与不同的两点M,N（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值

【考点定位】此题难度集中在运算，但是整体题目难度确实不大，从形式到条件的设计都是非常熟悉的，相信平时对曲线的练习程度不错的学生做起来应该是比较容易的。

解：

（1）由题意得解得.所以椭圆C的方程为.

（2）由得.

设点M,N的坐标分别为，，则，，，.

所以|MN|===.

由因为点A（2,0）到直线的距离，

所以△AMN的面积为.由，解得.

25.【2012高考山东文21】如图，椭圆的离心率为，直线和所围成的矩形ABCD的面积为8.（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）设直线与椭圆M有两个不同的交点与矩形ABCD有两个不同的交点.求的最大值及取得最大值时m的值.

【答案】（21）（I）……①,矩形ABCD面积为8，即……②

由①②解得：

，∴椭圆M的标准方程是.

（II），设，则，

由得..

当过点时，，当过点时，.①当时，有，

，其中，由此知当，即时，取得最大值.②由对称性，可知若，则当时，取得最大值.

③当时，，，由此知，当时，取得最大值.

综上可知，当和0时，取得最大值.

26.【2102高考福建文21】如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：

x2=2py（p＞0）上。

（1）求抛物线E的方程；

（2）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。

证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。

考点：

圆锥曲线的定义，直线和圆锥曲线的位置关系，定值的证明。

难度：

难。

分析：

本题考查的知识点为抛物线方程的求解，直线和圆锥曲线的联立，定值的表示及计算。

解答：

（I）设；则，

得：

点关于轴对称

代入抛物线的方程得：

抛物线的方程为

（II）设；则，过点的切线方程为即

令，设满足：

及

得：

对均成立

以为直径的圆恒过轴上定点

27.【2012高考上海文22】在平面直角坐标系中，已知双曲线

（1）设是的左焦点，是右支上一点，若，求点的坐标；

（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；

（3）设斜率为（）的直线交于、两点，若与圆相切，求证：

⊥

[解]

（1）双曲线，左焦点.设，则，

由M是右支上一点，知，所以，得.所以.

（2）左顶点，渐近线方程：

.

过A与渐近线平行的直线方程为：

，即.

解方程组，得.所求平行四边形的面积为.

（3）设直线PQ的方程是.因直线与已知圆相切，故，

即（*）.由，得.

设P（x1,y1）、Q（x2,y2），则.，所以

.

由（*）知，所以OP⊥OQ.

【点评】本题主要考查双曲线的概念、标准方程、几何性质及其直线与双曲线的关系．特别要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为，它的渐近线为，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本题属于中档题．

28．【2012高考新课标文20】

设抛物线C：

x2=2py（p>0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.（I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4

，求p的值及圆F的方程；（II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值.

【命题意图】本题主要考查圆的方程、抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系、点到直线距离公式、线线平行等基础知识，考查数形结合思想和运算求解能力.

【解析】设准线于轴的焦点为E，圆F的半径为，

则|FE|=，=，E是BD的中点，

（Ⅰ）∵，∴=，|BD|=，

设A（，），根据抛物线定义得，|FA|=，

∵的面积为，∴===，解得=2，

∴F（0,1）,FA|=，∴圆F的方程为：

；

（Ⅱ）【解析1】∵，，三点在同一条直线上,∴是圆的直径，,

由抛物线定义知，∴，∴的斜率为或－，

∴直线的方程为：

，∴原点到直线的距离=，

设直线的方程为：

，代入得，，

∵与只有一个公共点，∴=，∴，

∴直线的方程为：

，∴原点到直线的距离=，

∴坐标原点到，距离的比值为3.

【解析2】由对称性设，则

点关于点对称得：

得：

，直线

切点

直线

坐标原点到距离的比值为。

29.如图，在直角坐标系xOy中，点P（1，）到抛物线C：

=2px（P＞0）的准线的距离为。

点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。

（1）求p,t的值。

（2）求△ABP面积的最大值。

【命题意图】考查了抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.

【解析】

（1）由题意得，得.

（2）设，线段AB的中点坐标为，由题意得，设直线AB的斜率为k（k）.由，得，得

所以直线的方程为，即.

由，整理得，

所以，，.从而得，

设点P到直线AB的距离为d，则，设ABP的面积为S，则.由，得.令，，则.设，，则.由，得，所以，故ABP的面积的最大值为.

30.【2012高考湖南文21】在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C：

x2+y2-4x+2=0的圆心.[（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标.

【解析】（Ⅰ）由，得.故圆Ｃ的圆心为点

从而可设椭圆Ｅ的方程为其焦距为，由题设知

故椭圆Ｅ的方程为：

（Ⅱ）设点的坐标为，的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切，得

　　，

即　　　　　

同理可得　　.

从而是方程的两个实根，于是

　　　　　　　　　　　　　　①

且

由得解得或

由得由得它们满足①式，故点Ｐ的坐标为

，或，或，或.

【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为，得出关于点P坐标的一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标.

31.【2012高考湖北文21】（本小题满分14分）

设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。

（2）过原点斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？

若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。

解：

（Ⅰ）如图1，设，，则由，

可得，，所以，.①

因为点在单位圆上运动，所以.②

将①式代入②式即得所求曲线的方程为.

因为，所以

当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为，；

当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，

两焦点坐标分别为，.

（Ⅱ）解法1：

如图2、3，，设，，则，，

直线的方程为，将其代入椭圆的方程并整理可得

.

依题意可知此方程的两根为，，于是由韦达定理可得

，即.

因为点H在直线QN上，所以.

于是，.

而等价于，

即，又，得，

故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，

都有.

解法2：

如图2、3，，设，，则，

，

因为，两点在椭圆上，所以两式相减可得

.③

依题意，由点在第一象限可知，点也在第一象限，且，不重合，

故.于是由③式可得

.④

又，，三点共线，所以，即.

于是由④式可得.

而等价于，即，又，得，

故存在，使得在其对应的椭圆上，对任意的，都有

.

【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求.

32.【2012高考全国文22】已知抛物线与圆有一个公共点，且在点处两曲线的切线为同一直线.（Ⅰ）求；（Ⅱ）设、是异于且与及都相切的两条直线，、的交点为，求到的距离。

【命题意图】本试题考查了抛物线与圆的方程，以及两个曲线的公共点处的切线的运用，并在此基础上求解点到直线的距离。

解：

（1）设，对求导得，故直线的斜率，当时，不合题意，所心圆心为，的斜率，由知，即，解得，故所以

（2）设为上一点，则在该点处的切线方程为即

若该直线与圆相切，则圆心到该切线的距离为，即，化简可得求解可得

抛物线在点处的切线分别为，其方程分别为

①②③

②－③得，将代入②得，故

所以到直线的距离为。

【点评】该试题出题的角度不同于平常，因为涉及的是两个二次曲线的交点问题，并且要研究两曲线在公共点出的切线，把解析几何和导数的工具性结合起来，是该试题的创新处。

另外对于在第二问中更是难度加大了，出现了另外的两条公共的切线，这样的问题对于我们以后的学习也是一个需要练习的方向。

33.【2012高考辽宁文20】如图，动圆,1

相交于A，B，C，D四点，点分别为的左，右顶点。

（Ⅰ）当t为何值时，矩形ABCD的面积取得最大值？

并求出其最大面积；

（Ⅱ）求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程。

【命题意图】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。

【解析】（Ⅰ）设A（，），则矩形ABCD的面积S=，由得，，∴==，当，时，=6，∴=时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为6.

（Ⅱ）设，又知，则直线的方程为①

直线的方程为②由①②得③

由点在椭圆上，故可得，从而有，代入③得

∴直线与直线交点M的轨迹方程为【解析】本题主要考查直线、圆、椭圆的方程，椭圆的几何性质，轨迹方程的求法，考查函数方程思想、转化思想、数形结合思想、运算求解能力和推理论证能力，难度较大。

34.【2012高考江西文20】已知三点O（0,0），A（-2,1），B（2,1），曲线C上任意一点M（x,y）满足

（1）求曲线C的方程；

（2）点Q（x0,y0）（-2

【解析】

（1），，,

代入式子可得整理得

（2）设；则，得：

交轴于点，与联立：

可求，

35.【2012高考四川文21】如图，动点与两定点、构成，且直线的斜率之积为4，设动点的轨迹为。

（Ⅰ）求轨迹的方程；（Ⅱ）设直线与轴交于点，与轨迹相交于点，且，求的取值范围。

[解析]

（1）设M的坐标为（x,y），当x=-1时，直线MA的斜率不存在；当x=1时，直线MB的斜率不存在。

于是x≠1且x≠-1.此时，MA的斜率为，MB的斜率为.由题意，有·=4化简可得，4x2-y2-4=0故动点M的轨迹C的方程为4x2-y2-4=0（x≠1且x≠-1）

18.由消去y，可得3x2-2mx-m2-4=0.（﹡）

对于方程（﹡），其判别式=（-2m）2－4×3（-m2-4）=16m2+48>0

而当1或-1为方程（*）的根时，m的值为-1或1.

结合题设（m>0）可知，m>0，且m≠1

设Q、R的坐标分别为（XQ,YQ）,（XR,YR）,则为方程（*）的两根.

因为,所以，

所以。

此时

所以

所以综上所述，评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识，考察思维能力、运算能力，考察函数、分类与整合等思想，并考察思维的严谨性。

36.【2012高考重庆文21】已知椭圆的中心为原点，长轴在轴上，上顶点为，左、右焦点分别为，线段的中点分别为，且△是面积为4的直角三角形。

（Ⅰ）求该椭圆的离心率和标准方程；（Ⅱ）过作直线交椭圆于，，求△的面积

【答案】：

（Ⅰ）+=1（Ⅱ）

，

（*）

设则是上面方程的两根，因此

又，所以

由，知，即，解得

当时，方程（*）化为：

故，的面积当时，同理可得（或由对称性可得）的面积综上所述，的面积为。

37.【2012高考陕西文20】已知椭圆，椭圆以的长轴为短轴，且与有相同的离心率。

（1）求椭圆的方程；

（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆和上，，求直线的方程。

【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆的方程为，其离心率为，故，则．

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）解法一：

两点的坐标分别为，由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，因此可设直线的方程为．将代入中，得，所以，

将代入中，得，所以，又由，得，即．解得，故直线的方程为或．

解法二：

两点的坐标分别为，

由及（Ⅰ）知，三点共线且点不在轴上，

因此可设直线的方程为．

将代入中，得，所以，

又由，得，，

将代入中，得，即，

解得，故直线的方程为或