答案 AC
命题点二 电场线、等势面与粒子运动轨迹问题
1．等势线总是和电场线垂直，已知电场线可以画出等势线，已知等势线也可以画出电场线．
2．几种典型电场的等势线（面）
电场
等势线（面）
重要描述
匀强电场
垂直于电场线的一簇平面
点电荷的电场
以点电荷为球心的一簇球面
等量异种点电荷的电场
连线的中垂线上电势处处为零（选无穷远处为零电势点）
等量同种（正）点电荷的电场
连线上，中点的电势最低；中垂线上，中点的电势最高
3.某点速度方向即为该点轨迹的切线方向．
4．从轨迹的弯曲方向判断受力方向（轨迹向合外力方向弯曲），从而分析电场方向或带电体电性．
5．结合轨迹、速度方向与电场力的方向，确定电场力做功的正负，从而确定电势能、电势的变化和电势差．
6．根据动能定理或能量守恒定律判断动能的变化情况．
例2
如图5所示，P是固定的点电荷，虚线是以P为圆心的两个圆．带电粒子Q在P的电场中运动，运动轨迹与两圆在同一平面内，a、b、c为轨迹上的三个点．若Q仅受P的电场力作用，其在a、b、c点的加速度大小分别为aa、ab、ac，速度大小分别为va、vb、vc，则（ ）
图5
A．aa>ab>ac，va>vc>vb
B．aa>ab>ac，vb>vc>va
C．ab>ac>aa，vb>vc>va
D．ab>ac>aa，va>vc>vb
答案 D
解析 由库仑定律F＝
可知，粒子在a、b、c三点受到的电场力的大小关系为Fb>Fc>Fa，由a＝
，可知ab>ac>aa.根据粒子的轨迹可知，粒子Q与场源电荷P的电性相同，二者之间存在斥力，若粒子由c→b→a运动，整个过程中，电场力先做负功再做正功，且Wba>|Wcb|，结合动能定理可知，va>vc>vb，同理，若粒子由a→b→c运动，也可得va＞vc＞vb，故选项D正确．
变式4
（2018·温州市十五校联合体期末）两个点电荷a、b周围的电场线分布情况如图6所示，虚线为带电粒子c穿越该电场时的运动轨迹，该粒子在电场中运动时只受电场力作用，由图可判断（ ）
图6
A．a、b带等量异号电荷
B．a、b带同号电荷，a的电荷量大于b的电荷量
C．粒子c带正电，在电场中运动时动能先减小后增大
D．粒子c带负电，在电场中运动时动能先增大后减小
答案 D
变式5
实线为三条未知方向的电场线，从电场中的M点以相同的速度飞出a、b两个带电粒子，a、b的运动轨迹如图7中的虚线所示（a、b只受电场力作用），则（ ）
图7
A．a一定带正电，b一定带负电
B．电场力对a做正功，a的电势能减小，电场力对b做负功，b的电势能增大
C．a的速度将减小，b的动能将增大
D．a的加速度减小，b的加速度将增大
答案 D
解析 电场线的方向未知，所以粒子带电性质不确定；由题图中轨迹变化可知电场力都做正功，动能都增大，电势能都减小，所以选项A、B、C错误．电场线密的地方电场强度大，电场线疏的地方电场强度小，所以a受力减小，加速度减小，b受力增大，加速度增大，所以选项D正确．
变式6
如图8所示，直线a、b和c、d是处于匀强电场中的两组平行线，M、N、P、Q是它们的交点，四点处的电势分别为φM、φN、φP、φQ.一电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等．则（ ）
图8
A．直线a位于某一等势面内，φM＞φQ
B．直线c位于某一等势面内，φM＞φN
C．若电子由M点运动到Q点，电场力做正功
D．若电子由P点运动到Q点，电场力做负功
答案 B
解析 电子带负电荷，电子由M点分别运动到N点和P点的过程中，电场力所做的负功相等，有WMN＝WMP＜0，而WMN＝qUMN，WMP＝qUMP，q＜0，所以有UMN＝UMP＞0，即φM＞φN＝φP，匀强电场中等势线为平行的直线，所以NP和MQ分别是两条等势线，有φM＝φQ，故A错误，B正确；电子由M点运动到Q点过程中，WMQ＝q（φM－φQ）＝0，电子由P点运动到Q点过程中，WPQ＝q（φP－φQ）＞0，故C、D错误．
命题点三 电势差与电场强度的关系
1．匀强电场中电势差与电场强度的关系
（1）UAB＝Ed，d为A、B两点沿电场方向的距离．
（2）在匀强电场中，不与电场线垂直的同一直线上的距离相同的两点间的电势差相等，相互平行的相等线段的两端点电势差也相等．
2．E＝
在非匀强电场中的几点妙用
（1）解释等差等势面的疏密与电场强度大小的关系：
当电势差U一定时，电场强度E越大，则沿电场强度方向的距离d越小，即电场强度越大，等差等势面越密．
（2）定性判断非匀强电场电势差的大小关系：
如距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大；E越小，U越小．
例3
（多选）一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图9所示，三点的电势分别为10V、17V、26V．下列说法正确的是（ ）
图9
A．电场强度的大小为2.5V/cm
B．坐标原点处的电势为1V
C．电子在a点的电势能比在b点的低7eV
D．电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV
答案 ABD
解析 如图所示，
设a、c之间的d点电势与b点电势相同，则
＝
＝
，所以d点的坐标为（3.5cm,6cm），过c点作等势线bd的垂线，电场强度的方向由高电势指向低电势．由几何关系可得，cf的长度为3.6cm，电场强度的大小E＝
＝
＝2.5V/cm，故选项A正确；因为Oacb是矩形，所以有Uac＝UOb，可知坐标原点O处的电势为1V，故选项B正确；a点电势比b点电势低7V，电子带负电，所以电子在a点的电势能比在b点的高7eV，故选项C错误；b点电势比c点电势低9V，电子从b点运动到c点，电场力做功为9eV，故选项D正确．
变式7
如图10所示，匀强电场的方向平行于xOy坐标系平面，其中坐标原点O处的电势为2V，a点的坐标为（0cm,4cm），电势为8V，b点的坐标为（3cm,0cm），电势为8V，则电场强度的大小为（ ）
图10
A．250V/m B．200V/m
C．150V/mD．120V/m
答案 A
解析 由题意可知a、b两点的电势相等，则ab为一条等势线，又O点电势为2V，则知匀强电场的场强方向垂直于ab指向左下方．
过O点作ab的垂线交ab于c点，
由几何关系得：
tan∠b＝
，得∠b＝53°
Oc＝Ob·sin∠b＝0.03m×sin53°＝2.4×10－2m
c、O间的电势差U＝8V－2V＝6V
则电场强度大小E＝
＝250V/m，故A正确．
拓展点 静电场φ－x图象问题
1．电场强度的大小等于φ－x图线的切线斜率大小，电场强度为零处，φ－x图线存在极值，其切线的斜率为零．
2.在φ－x图象中可以直接判断各点电势的大小，并可根据电势大小关系确定电场强度的方向．
3．在φ－x图象中分析电荷移动时电势能的变化，可用WAB＝qUAB，进而分析WAB的正负，然后作出判断．
例4
（多选）在一静止点电荷的电场中，任一点的电势φ与该点到点电荷的距离r的关系如图11所示．电场中四个点a、b、c和d的电场强度大小分别为Ea、Eb、Ec和Ed.点a到点电荷的距离ra与点a的电势φa已在图中用坐标（ra，φa）标出，其余类推．现将一带正电的试探电荷由a点依次经b、c点移动到d点，在相邻两点间移动的过程中，电场力所做的功分别为Wab、Wbc和Wcd.下列选项正确的是（ ）
图11
A．Ea∶Eb＝4∶1B．Ec∶Ed＝2∶1
C．Wab∶Wbc＝3∶1D．Wbc∶Wcd＝1∶3
答案 AC
解析 由题图可知，a、b、c、d到点电荷的距离分别为1m、2m、3m、6m，根据点电荷的场强公式E＝k
可知，
＝
＝
，
＝
＝
，故A正确，B错误；电场力做功W＝qU，a与b、b与c、c与d之间的电势差分别为3V、1V、1V，所以
＝
，
＝
，故C正确，D错误．
变式8
空间存在着平行于x轴方向的静电场，P、M、O、N、Q为x轴上的点，P、Q间的电势φ随位置坐标x的变化如图12所示．一个带电粒子仅在电场力作用下从M点由静止开始沿x轴向右运动，则下列判断中正确的是（ ）
图12
A．粒子一定带正电
B．N点电势低于Q点电势
C．P、O间的场强大小是10V/m，与O、Q间的场强大小相同
D．粒子从M向N运动过程中，电势能先减小后增大
答案 A
解析 由题图可知沿x轴正方向，电势逐渐降低，所以空间存在向右的匀强电场，在x＜0区域，E1＝
＝10V/m，在x＞0区域，E2＝
V/m，选项B、C错误；粒子由静止向右运动，粒子带正电，选项A正确；在粒子从M向N运动的过程中，电场力做正功，电势能逐渐减小，选项D错误．
1．如图1所示，运输汽油等易燃易爆物品的车辆总有一条铁链拖在地上，这样做的目的是（ ）
图1
A．发出声音，引起路人注意
B．减缓车速，保证行车安全
C．把静电引入大地，避免因放电引起爆炸
D．与地面发生摩擦，在运输车上积累电荷
答案 C
2．下列关于电势和电势能的说法中，正确的是（ ）
A．电场力做正功，电荷的电势能一定增大
B．电势越高处，电荷的电势能一定越大
C．电势能与电荷量大小有关，与电荷种类无关
D．顺着电场的方向，电势越来越低
答案 D
解析 电场力做正功，电荷的电势能一定减小，A错误；电势能与电荷量及电性均有关系，电势越高，电荷的电势能不一定越大，B、C错误；顺着电场的方向，电势越来越低，故D正确．
3.如图2所示，实线为匀强电场的电场线，虚线为电荷在电场中的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，则下列说法正确的是（ ）
图2
A．电荷在b点的电势能大于在a点的电势能
B．该电场的方向水平向左
C．b点的电势高于a点的电势
D．电荷在电场中相同时间内速度的变化量不相同
答案 A
解析 由题图电荷运动轨迹可知电荷所受电场力方向向左，所以由a到b电场力做负功，电势能增加，因电荷电性未知，故无法判断电场的方向与电势的高低，故A正确，B、C错误；电荷在匀强电场中做匀变速运动，在相同时间内速度的变化量相同，故D错误．
4．如图3所示，a、b、c为电场中同一条水平方向电场线上的三点，c为ab的中点，a、b电势分别为φa＝5V、φb＝3V．下列叙述正确的是（ ）
图3
A．该电场在c点处的电势一定为4V
B．a点处的场强Ea一定大于b点处的场强Eb
C．一正电荷从c点运动到b点电势能一定减少
D．一正电荷运动到c点时受到的电场力由c指向a
答案 C
解析 当该电场是匀强电场时，由于沿电场方向相同距离电势差相等，则电场在c点处的电势为4V，当该电场不是匀强电场时，在c点处的电势不一定为4V，故A错误；一条电场线无法比较电场线的疏密，就无法比较场强的大小，则a点处的场强Ea不一定大于b点处的场强Eb，故B错误；据电场线和场强方向的规定可知，正电荷所受的电场力方向水平向右，所以从c到b电场力做正功，电势能减小，动能增加，故C正确；由题可判断电场线方向从a指向b，正电荷运动到c点时受到的电场力由c指向b，故D错误．
5.如图4所示，实线表示电场线，虚线表示等势线，则（ ）
图4
A．A点电势比B点高
B．A点电场强度比B点大
C．负电荷在A点电势能大
D．负电荷由B移到A静电力做负功
答案 A
解析 沿电场线方向电势越来越低，则知A点电势比B点高，故A正确；电场线的疏密程度反映场强的大小，A处电场线疏，所以A处电场强度小，故B错误；负电荷在电势高处电势能小，则知负电荷在A点电势能小，故C错误；负电荷由B移到A，电势能减小，静电力做正功，故D错误．
6.如图5所示，在等量的异种点电荷形成的电场中，有A、B、C三点，A点为两点电荷连线的中点，B点为连线上距A点距离为d的一点，C为连线中垂线距A点距离也为d的一点，则下面关于三点电场强度的大小，电势高低的比较，正确的是（ ）
图5
A．EA＝EC>EB，φA＝φC＝φB
B．EB>EA>EC，φA＝φC>φB
C．EAφB，φA>φC
D．因为零电势点未规定，所以无法比较电势的高低
答案 B
7.（多选）图6中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷．一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点，则该粒子（ ）
图6
A．带负电
B．在c点受力最大
C．在b点的电势能大于在c点的电势能
D．由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化
答案 CD
解析 由粒子运动轨迹可以判断出粒子受到斥力作用，粒子带正电，A选项错误；离电荷距离越近受斥力越大，故粒子在a点受力最大，B选项错误；由b点到c点的运动过程中电场力对粒子做正功，电势能减小，故该粒子在b点电势能大于在c点电势能，C选项正确；ab与bc处于等间距同心圆上，靠近电荷的位置电场强度较大，结合U＝Ed可判断电势差Uab>Ubc，电场力做功W＝qU，则Wab>Wbc，结合动能定理可知，该粒子由a点到b点的动能变化大于由b点到c点的动能变化，D选项正确．
8．两点电荷激发电场所形成的电场线分布如图7所示，A、B是电场线上的两点，下列判断正确的是（ ）
图7
A．A、B两点的电势相等
B．两电荷所带电荷量相等
C．左边电荷带负电，右边电荷带正电
D．A、B两点的电场强度大小不等，方向相同
答案 C
解析 根据顺着电场线方向电势降低，等势面与电场线垂直，可知，A点所在等势面的电势高于B点所在等势面的电势，则A点的电势高于B点的电势，故A错误；对照等量异种点电荷电场线的分布情况，可知两电荷所带电荷量不等，右侧的点电荷带电荷量较多，故B错误；根据电场线从正电荷出发到负电荷终止，可知左边电荷带负电，右边电荷带正电，故C正确；根据电场线的疏密程度表示场强的大小，知A点的电场强度比B点的大，由电场强度方向沿电场线的切线方向知A、B两点的电场强度方向不同，故D错误．
9．如图8所示，实线表示等量异种电荷的等势线，过O点的虚线MN与等势线垂直，两个相同的带正电的粒子分别从A、B两点以相同的初速度v0开始运动，速度方向水平向右，且都能从PQ左侧经过O点，AB连线与PQ平行，设A、B两点的粒子加速度大小分别为a1和a2，电势能分别为Ep1和Ep2，通过O点时的速度大小分别为v1和v2，粒子的重力不计，则（ ）
图8
A．A点的电势高于B点的电势
B．a1＜a2
C．Ep1＞Ep2
D．v1＜v2
答案 D
解析 B处粒子能通过O点，说明左侧场源电荷带负电，右侧场源电荷带正电，由题图知，B点的电势与AO之间某点的电势相等，根据顺着电场线方向电势降低，可知A点的电势低于B点的电势，选项A错误；A处电场线密，电场强度大，粒子在A点受到的电场力大，加速度大，则a1＞a2，选项B错误；根据正电荷在电势高处电势能大，可知Ep1＜Ep2，选项C错误；两个粒子从A、B运动到O点电场力做负功，因为OA间的电势差大于OB间的电势差，则粒子从A运动到O点电场力做的负功较多，由动能定理知v1＜v2，选项D正确．
10．在匀强电场中建立一直角坐标系，如图9所示．从坐标原点沿＋y轴前进0.2m到A点，电势降低了10
V，从坐标原点沿＋x轴前进0.2m到B点，电势升高了10
V，则匀强电场的场强大小和方向为（ ）
图9
A．50V/m，方向B→A
B．50V/m，方向A→B
C．100V/m，方向B→A
D．100V/m，方向垂直AB斜向下
答案 C
解析 连接AB，由题意可知，AB中点C点电势应与坐标原点O相等，连接OC即为等势线，与等势线OC垂直的方向为电场的方向，故电场方向由B→A，
其大小E＝
＝
V/m＝100V/m，选项C正确．
11.如图10所示，在匀强电场中有四个点A、B、C、D，恰好为平行四边形的四个顶点，O点为平行四边形两条对角线的交点．已知：
φA＝－4V，φB＝6V，φC＝8V，则φD、φO分别为（ ）
图10
A．－6V,6VB．2V,1V
C．－2V,2VD．－4V,4V
答案 C
解析 由平行且等间距两线段电势差相等知
φB－φA＝φC－φD，得φD＝－2
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