秋人教必修2912分层随机抽样.docx
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秋人教必修2912分层随机抽样
9.1.2 分层随机抽样
课标要求
素养要求
1.通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围.
2.了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.
3.结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值.
在分层随机抽样的实施过程中，掌握分层随机抽样的抽样步骤，发展学生数据分析素养.
教材知识探究
某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小.
问题 1.上述问题中总体有什么特征？
2.采用抽签法合适吗？
若不合适，应该用什么方法抽取样本？
提示 1.该总体中，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异.
2.不合适，若用抽签法，抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性.应该用分层随机抽样抽取样本.
1.分层随机抽样的相关概念
分层随机抽样总体是由差异明显的各层组成的
（1）分层随机抽样的定义：
一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
（2）比例分配：
在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
2.样本平均数的计算公式
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层和第2层样本的平均数分别为
和
，则样本的平均数
＝
＋
__＝
＋
__.
教材拓展补遗
[微判断]
1.在统计实践中选择哪种抽样方法关键是看总体的个体数的大小.（×）
2.分层随机抽样中，个体数量较少的层抽取的样本量较少，这是不公平的.（×）
3.从全班50名同学中抽取5人调查作业完成情况适合用分层随机抽样.（×）
提示 1.在统计实践中选择哪种抽样方法除看总体和样本量大小外，还要依据总体的构成情况.
2.根据抽样的意义，对每个个体都是公平的.
3.适合用简单随机抽样.
[微训练]
1.某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是（ ）
A.简单随机抽样B.抽签法
C.随机数法D.分层随机抽样
解析 从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是分层随机抽样.
答案 D
2.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层随机抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生.
解析 根据题意，应从一年级本科生中抽取的人数为
×300＝60.
答案 60
[微思考]
1.分层随机抽样的总体具有什么特性？
提示 分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体.
2.简单随机抽样和分层随机抽样有什么区别和联系？
提示
（1）区别：
简单随机抽样是从总体中逐个抽取样本；分层随机抽样则首先将总体分成几层，在各层中按比例分别抽取样本.
（2）联系：
①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；
②每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样.
题型一 对分层随机抽样概念的理解
【例1】
（1）某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适（ ）
A.抽签法B.随机数
C.简单随机抽样D.分层随机抽样
（2）分层随机抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层随机抽样为保证每个个体被等可能抽取，必须进行（ ）
A.每层等可能抽样
B.每层可以不等可能抽样
C.所有层按同一抽样比等可能抽样
D.所有层抽取的个体数量相同
解析
（1）总体由差异明显的三部分构成，应选用分层随机抽样.
（2）为了保证每个个体等可能的被抽取，分层随机抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.
答案
（1）D
（2）C
规律方法 1.使用分层随机抽样的前提
分层随机抽样的总体按一个或多个变量划分成若干个子总体，并且每一个个体属于且仅属于一个子总体，而层内个体间差异较小.
2.使用分层随机抽样应遵循的原则
（1）将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；
（2）分层随机抽样为保证每个个体等可能抽取，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本量与每层个体数量的比等于抽样比.
【训练1】 下列问题中，最适合用分层随机抽样抽取样本的是（ ）
A.从10名同学中抽取3人参加座谈会
B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125户，中等收入的家庭280户，低收入的家庭95户，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本
C.从1000名工人中，抽取100人调查上班途中所用时间
D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量
解析 A中总体所含个体无差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体所含个体无差异但个数较多，不适合用分层随机抽样；B中总体所含个体差异明显，适合用分层随机抽样.
答案 B
题型二 分层随机抽样的应用 抓住抽样比，即
是解题的关键
【例2】 某学校有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人.教育部门为了了解在职人员对学校机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程.
解 抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本量与总体的个体数的比为
＝
.
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取16×
＝2（人）；
从教师中抽取112×
＝14（人）；从后勤人员中抽取32×
＝4（人）.
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师14人，后勤人员4人.
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本.
规律方法 分层随机抽样的步骤
【训练2】 一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？
并写出具体过程.
解 因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层随机抽样的方法.
具体过程如下：
第一步，将3万人分为5层，一个乡镇为一层.
第二步，按照抽样比求得各乡镇应抽取的人数分别为60，40，100，40，60.
第三步，采用简单随机抽样的方法，按照各层抽取的人数抽取各乡镇的样本.
第四步，将300人合到一起，即得到一个样本.
题型三 分层随机抽样中的计算问题
【探究1】 在分层随机抽样中，N为总样本量，n为样本量，如何确定各层的个体数？
提示 每层抽取的个体的个数为ni＝Ni×
，其中Ni为第i（i＝1，2，…，k）层的个体数，
为抽样比.
【探究2】 在分层随机抽样中，总体的个体数、样本量、各层的个体数、各层抽取的样本数这四者之间有何关系？
提示 设总体的个体数为N，样本量为n，第i（i＝1，2，…，k）层的个体数为Ni，各层抽取的样本量为ni，则
＝
，这四者中，已知其中三个可以求出另外一个.
【探究3】
（1）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为（ ）
A.101B.808C.1212D.2012
（2）将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体.
（3）分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为________.
解析
（1）因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12，
所以抽取驾驶员的抽样比为
＝
，
所以驾驶员的总人数为（12＋21＋25＋43）÷
＝808.
（2）∵A，B，C三层个体数之比为5∶3∶2，又由总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层随机抽样应从C中抽取100×
＝20（个）个体.
（3）
＝
×3＋
×8＝6.
答案
（1）B
（2）20 （3）6
规律方法
（1）进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系
①
＝
；
②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
（2）样本的平均数和各层的样本平均数的关系为：
＝
＋
＝
＋
.
【训练3】 甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生（ ）
A.30人，30人，30人B.30人，45人，15人
C.20人，30人，40人D.30人，50人，10人
解析 先求抽样比
＝
＝
，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3600×
＝30（人），乙校抽取5400×
＝45（人），丙校抽取1800×
＝15（人），故选B.
答案 B
一、素养落地
1.通过学习分层随机抽样的概念及实施步骤，重点培养学生数据分析的核心素养.
2.对于分层随机抽样中的比值问题，常利用以下关系式求解：
（1）
＝
；
（2）总体中各层容量之比＝对应层抽取的样本数之比.
3.选择抽样方法的规律：
（1）当总体的个体数和样本量都较小时，可采用抽签法.
（2）当总体的个体数较大，样本量较小时，可采用随机数法.
（3）当总体按一个或多个变量可划分为若干个层时，采用分层随机抽样.
二、素养训练
1.某学校为了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生的课业负担情况，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是（ ）
A.抽签法B.简单随机抽样
C.分层随机抽样D.随机数法
解析 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层随机抽样.
答案 C
2.某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）
A.30B.25C.20D.15
解析 样本中松树苗为4000×
＝4000×
＝20（棵）.
答案 C
3.某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为120的样本.已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取________名学生.
解析 C专业的学生有1200－380－420＝400（名），由分层随机抽样原理，应抽取120×
＝40（名）.
答案 40
4.一批产品中有一级品100个，二级品60个，三级品40个，从这批产品中抽取一个容量为20的样本.请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程.
解 第一步，确定抽样比，因为100＋60＋40＝200，所以抽样比为
＝
，
第二步，确定各层抽取的样本量，一级品：
100×
＝10，二级品：
60×
＝6，三级品：
40×
＝4.
第三步，采用简单随机抽样的方法，从各层分别抽取样本.
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本.
基础达标
一、选择题
1.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本.
方法1：
采用简单随机抽样的方法，将零件编号00，01，02，…，99，用抽签法抽取20个.
方法2：
采用分层随机抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个.
对于上述问题，下列说法正确的是（ ）
①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是
；
②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；
③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征；
④在上述抽样方法中，方法1抽到的样本比方法2抽到的样本更能反映总体的特征.
A.①②B.①③C.①④D.②③
解析 根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是
，故①正确，②错误.由于总体中有差异较明显的三个层（一级品、二级品和三级品），故方法2抽到的样本更有代表性，③正确，④错误.故①③正确.
答案 B
2.某校为了解高一学生的学习规划情况，在高一年级6个班级中任选两个班级，并在所选的班级中按男女比例抽取样本，则应采用的抽样方法是（ ）
A.简单随机抽样
B.分层随机抽样
C.先用分层随机抽样，再用随机数法
D.先用抽签法，再用分层随机抽样
解析 采用抽签法从6个班级中抽取两个班级，然后采用分层随机抽样的方法在所选的班级中按男女比例抽取样本，故D项正确.
答案 D
3.某商场有四类食品，食品类别和种数见下表.现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）
类别
粮食类
植物油类
动物性食品类
果蔬类
种数
40
10
30
20
A.7B.6C.5D.4
解析 由已知可得抽样比为：
＝
，
∴抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为（10＋20）×
＝6.
答案 B
4.当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户.若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中低收入家庭的住房问题，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为（ ）
A.40B.30C.20D.36
解析 由题意可知90×
＝40.
答案 A
5.在1000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，如果用分层随机抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球（ ）
A.33个B.20个C.5个D.10个
解析 设应抽红球x个，由
＝
，则x＝5.
答案 C
二、填空题
6.一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人.按男、女比例用分层随机抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是________.
解析 抽取女运动员的人数为
×（98－56）＝12.
答案 12
7.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生.
解析 高二年级学生人数占总数的
，样本量为50，则50×
＝15.
答案 15
8.某分层随机抽样中，有关数据如下：
样本量
平均数
第1层
45
4
第2层
35
8
此样本的平均数为________.
解析
＝
×4＋
×8＝5.75.
答案 5.75
三、解答题
9.一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人.为了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？
解 用分层随机抽样来抽取样本，步骤如下：
（1）分层.按年龄将500名职工分成三层：
不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工.
（2）确定每层抽取个体的个数.抽样比为
＝
，则在不到35岁的职工中抽取125×
＝25（人）；
在35岁至49岁的职工中抽取280×
＝56（人）；
在50岁及50岁以上的职工中抽取95×
＝19（人）.
（3）在各层分别用随机数法抽取样本.
（4）汇总每层所抽取的个体，组成样本.
10.某高级中学共有学生3000名，各年级男、女生人数如下表：
高一年级
高二年级
高三年级
女生
487
x
y
男生
513
560
z
已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级女生的几率是0.18.
（1）问高二年级有多少名女生？
（2）现对各年级用分层随机抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？
解
（1）由
＝0.18得x＝540，所以高二年级有540名女生.
（2）高三年级人数为：
y＋z＝3000－（487＋513＋540＋560）＝900.
∴
×900＝90，故应从高三年级抽取90名学生.
能力提升
11.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（ ）
A.100B.150C.200D.250
解析 法一 由题意可得
＝
，解得n＝100.
法二 由题意，抽样比为
＝
，总体的个体数为3500＋1500＝5000，故n＝5000×
＝100.
答案 A
12.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工只能参加其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%；登山组的职工占参加活动总人数的
，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本.试求：
（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.
解
（1）设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，
则有
＝47.5%，
＝10%.解得b＝50%，c＝10%.
故a＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占的比例为40%，50%，10%.
（2）游泳组中，抽取的青年人人数为200×
×40%＝60；
抽取的中年人人数为200×
×50%＝75；
抽取的老年人人数为200×
×10%＝15.
创新猜想
13.（多选题）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆.为检验该公司的产品质量，公司质监部门要抽取46辆进行检验，则（ ）
A.应采用分层随机抽样抽取
B.应采用抽签法抽取
C.三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆
D.这三种型号的轿车，每一辆被抽到的概率都是相等的
解析 由于总体按型号分为三个子总体，所以应采用分层随机抽样抽取，A正确；
设三种型号的轿车依次抽取x辆，y辆，z辆，
则有
解得
所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆，故C正确；由分层随机抽样的意义可知D也正确.
答案 ACD
14.（多填题）高一和高二两个年级的同学参加了数学竞赛，高一年级有450人，高二年级有350人，通过分层随机抽样的方法抽取了160个样本，得到两年级的竞赛成绩的平均分分别为80分和90分，则
（1）高一、高二抽取的样本量分别为________；
（2）高一和高二数学竞赛的平均分约为________.
解析
（1）由题意可得高一年级抽取的样本量为
×450＝90，高二年级抽取的样本量为
×350＝70.
（2）高一和高二数学竞赛的平均分约为
＝
×80＋
×90＝84.375（分）.
答案
（1）90，70
（2）84.375
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