第二章 有理数单元3.docx

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第二章有理数单元3

第1课时2.5　有理数的乘法与除法（有理的乘法法则）

目的与要求　熟练地进行有理数的乘法运算。

知识与技能　探索有理数乘法法则，并能应用法则进行乘法运算，理解正数与负数，负数与负数相乘的符号确定。

情感、态度与价值观　通过探索有理数乘法法则的过程，培养观察、归纳、猜想、验证的能力。

教学过程

一、情境创设引入

　　　某水文观察站，在观察中常常会遇到水位上升或下降问题，根据生活经验，回答下列问题：

（1）如果水位每天上升4cm，那么3天后水位比今天高还是低？

高（或低）多少？

（2）如果水位每天上升4cm，那么3天前水位比今天高还是低？

高（或低）多少？

　　（3）如果水位每天下降4cm，那么3天后水位比今天高还是低？

高（或低）多少？

　　（4）如果水位每天上升4cm，那么3天前水位比今天高还是低？

高（或低）多少？

二、探索知识

　　若我们把水位上升记为正，水位下降记为负。

后天记为正数，前天记为负数。

则有

（1）（＋4）×（＋3）＝＋12

（2）（＋4）×（－3）＝－12

（3）（－4）×（＋3）＝－12

（4）（－4）×（－3）＝12

　　总结归纳：

正数×正数＝正数　　正数×负数＝负数　　负数×正数＝负数　负数×负数＝正数

　　有理数乘法（multiplication）法则

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与0相乘都得0。

　　例1、计算

（1）9×6　　

（2）（－9）×6　　　（3）3×（－4）　　（4）（－3）×（－4）

　　例2、已知a=-1,b=0,c=-3,d=5求下列各式的值。

（1）a-bd+ac

（2）a+d（a-c）（3）（a-b）（c-d）（4）|a-c|×|b-d|

解答：

（1）2　　

（2）9　　（3）8　　（4）10

　　例3、已知|a|=5,|b|=2且ab<0，求3a+2b的值

解答：

若a=5,b=-2，则值为11；若a=-5,b=2，则值为－11

　　例4、一次体育课上，某班45名学生面向老师站成一列横队，老师每次让其中任意6名学生向后转（不论原来方向如何），能否经过若干次后全体学生都背向老师站立？

如果能够的话，请你设计一种方案；如果不能够，请说明理由：

解答：

若每个学生胸前有一块号码布，上写“＋1”；背后有一块号码布，上写“－1”，那么一开始全体学生面向老师，胸前45个“＋1”的乘积是“＋1”；如果最后全部背向老师，则45个“－1”的乘积是“－1”。

　　因为每次6名学生向后转，即6个学生对着老师的数字都乘以“－1”，这样每一次向后转，就相当于乘以6个“－1”即“＋1”，所以，要使最后结果变成“－1”是不可能的。

　　试一试，有7只酒杯，3只口朝上，4只口朝下，每次可翻转杯子4只，问数次翻转能否出现7只杯子的口都朝下？

解答：

设口朝上记为“＋1”，口朝下记为“－1”，则3只朝上，4只朝下，其结果为“＋1”，因为每次翻转4只杯子，即乘以4个“－1”结果为“＋1”，而7只杯子口朝下的结果是“－1”，所以，是不可能的。

（7个杯子的口朝上是有可能的）

三、随堂练习

1、计算：

2、下列说法正确的是（　　）

A、同号两数相乘，取原来的符号　　B、两个数相乘，积大于任何一个乘数

C、一个数与0相乘仍得这个数　　　　D、一个数与－1相乘，积为该数的相反数

3、如果a,b,c满足a+b+c=0,abc＞0，问a,b,c中有几个正数？

为什么？

4、将一根绳子两端A、B分别涂上红色和白色，再在中间随意画3个圆点，涂上红色或白色，这样就得到两端涂有颜色的四条线段AC、CD、DE、EB，试说明：

这四条线段中，两端颜色不同的线段的条数一定为奇数。

解答：

1、

2、D

3、一个正数，∵三个数都为负数是不可能的（abc＞0），三个数都是正数也是不可能的（a+b+c＝0），若有两个是正数，一个负数是不可能的（abc＞0）

4、涂红为“＋1”，涂白为“－1”，所以，若线段两端涂色相同其积为“＋1”，涂色不同其积为“

－1”。

因为C、D、E不论涂什么颜色，它构成线段时，每个点都会使用两次，其积必为“＋1”，而A、B两点颜色不同，其积为“－1”，所以，四条线段其端点的乘积为“－1”，若有偶数条两端不同颜色的线段，则其积为“＋1”，与上述矛盾，所以两端颜色不同的线段的条数必为奇数条。

四、课堂小结

　　这节课你学会了什么？

五、课堂作业

　　课本P50页习题2.5，1、2

六、课后反馈

第2课时有理数乘法的运算律

目的与要求　掌握多个有理数相乘的运算法则。

以及乘法的交换律、结合律与乘法的分配律。

知识与技能　熟练进行多个有理数相乘的运算。

并能灵活运用有理数的运算律。

情感、态度与价值观　培养积极思考和勇于探索的精神，感知数学知识具有普遍联系性。

相互转化性

教学过程

一、情境创设引入

　　同桌的两名同学，任意写两个有理数（至少包含一个负数）分别填入下面的□和○内，做一做，你们两人的计算答案是否一致。

　　□×○＝＿＿＿＿＿＿　　○×□＝＿＿＿＿＿

　　试三次，请总结你们所得到的规律。

　　再任取三个有理数（其中至少含有一个负数）分别填入下面□○△中，比较一下你们两个人所计算出的结果，是否有什么新的发现呢？

　　（□×○）×△＝＿＿＿＿＿＿　　　□×（○×△）＝＿＿＿＿＿

　　最后，再取三个有理数（其中至少有一个负数），分别填入下面的□○△中，比较你们两个人所计算出来的结果是否又有新的发现？

　　□×（○＋△）＝＿＿＿＿＿　　　□×○＋□×△＝＿＿＿＿＿＿＿

　　概括，

有理数乘法运算律

（1）交换律a×b=b×a

（2）结合律　（a×b）×c=a×（b×c）（3）分配律（distributivelaw）a×（b+c）=a×b+a×c

　　例1用简便方法计算

　例2、计算

　　像上面的两个数，它们的乘积为1，这样的两个数叫做互为倒数（reciprocal）.

你能直接写出下列各式的结果吗？

　　总结，1、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负。

当负因数有偶数个时，积为正。

　　2、几个数相乘，有一个因数为零，积为零。

　　例3、计算

　　例4、下图是一个程序计算图，若开始输入的数字为－10，则输出的结果是多少？

用算式写出程序计算的过程

解答：

－101

三、随堂练习

1、计算：

2、若三个有理数的积为0，则（　　　）

A、三个数都为0　　B、两个数为0　　C、一个数为0　D、至少一个数为0

3、用计算器分别计算下列各式：

①12345679×9＝＿＿＿＿＿②12345679×18＝＿＿＿＿＿＿

③12345679×27＝＿＿＿＿＿＿＿③12345679×36＝＿＿＿＿＿

你发现了什么规律？

按此规律，请直接写出下列计算结果：

（1）12345679×45＝＿＿＿＿＿＿＿　　

（2）12345679×（－81）＝＿＿＿＿＿

4、先阅读下面材料，然后解答问题：

　　材料：

按一定次序排列的一列数，我们把它称为数列。

有些数列从第二项起每一项与前一项的差为同一常数，这样的数列叫做等差数列，这个常数叫做公差，如数列1,3，5,7，…第2项与第1项的差为2，第3项与第2项的差为2，……，因此这是一个公差为2的等差数列。

　　设等差数列a1,a2,a3,…,an,…的公差为d，则第n项an与第1项a1的关系为：

an=a1+（n-1）d。

前n项的和Sn与第1项a1的关系为：

　　问题：

现有一个等差数列，第1项为－1，公差为－3，请根据上述公式求出这个数列的第100项及前10项的和，并写出这个数列的前5项。

四、课堂小结　这节课你学会了什么？

五、课堂作业　课本P50页习题2.5，3，

六、课后反馈

第3课时有理数的除法

知识与技能　掌握有理数除法的法则，能进行有理数的除法运算。

过程与方法　探索有理数除法的法则，了解乘法与除法的关系在有理数范围内的适用性。

情感、态度与价值观　通过有理数的混合运算，使学生懂得合作精神，培养学生的合作意识。

教学过程

一、情境创设引入

　　14÷7＝＿＿＿＿（如何用小学的：

除以一个数等于乘以为个数的倒数）

　　试一试：

（－14）÷（－7）＝＿＿＿＿

　　（－14）÷7＝＿＿＿＿　　14÷（－7）＝＿＿＿＿＿＿

二、探索知识

　　总结归纳：

两个有理数相除：

（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

（2）除以一个不为0的有理数，等于乘以这个数的倒数。

（3）0除以一个不为0的有理数，得0。

　　例1计算：

（1）36÷（－9）　

（2）（－48）÷（－6）　（3）（－32）÷4×（－8）　（4）17×（－6）÷（－5）

解答：

（1）－4　

（2）8　（3）64　（4）

　　例2、计算

　　例3、计算

：

　　例4、已知有理数a,b,c满足

解答：

若a,b,c同正，显然等式不成立，若只有一个负数，同样也不成立。

若一正，两负，等式成立，则　　　，若三个全负，则等式不成立。

综上所述，值为1

　　例5、计算

　　例6、某地二月份每天的最低气温如下表。

（1）分别计算这个月上旬、中旬、下旬的平均最低气温a,b,c

（2）能否用　　　　表示这个月的平均最低气温，如果你认为能，请按这一表示计算出月平均最低气温；如果你认为不能，请说出月平均最低气温应怎样计算。

解答：

（1）a=-2.5,b=-0.05,c=2.5

（2）不能，正确做法为：

三、随堂练习

1、计算：

2、填空

（1）一个数的倒数的相反数是　　，这个数是＿＿＿＿＿＿

（2）若一个数的绝对值与它的倒数之和为0，则这个数是＿＿＿＿＿＿

（3）若a,b,互为相反数，c,d互为倒数，m为最大的负整数，则（a+b+cd）÷m＝＿＿＿

3、选择

（1）下列说法正确的是（　　）

A、任何有理数都有倒数　　B、两个数的商为0，只有被除数为

日期

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

温度℃

-5.5

-6.5

-4

-1

-2

-5

-3

-1

0.5

2.5

日期

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

温度℃

1

-4

-1

2.5

1.5

2

0.5

-1

0

-2

日期

21

22

23

24

25

26

27

28

温度℃

-3

-1

2

4.5

4

4.5

6

3

0

C、一个数的倒数小于它本身　　D、同号两数相除，取被除数的符号

（2）若　　，则下列说法正确的是（　　　）

A.a>0,b>0B.a+b>0C.a-b>0D.ab>0

（3）若a,b为非零有理数，则　　　　的值为（　　）

A、2　　B、－2　　C、0　　　　D、2，－2或0

4、对于有理数a，当a的取值不同时，则　　　的大小关系可能就不同。

请你分类讨论：

你认为当a是什么样的数时，　　　；当a是什么样的数时，　　　；当a是什么的数时，　　　。

解答：

2、

3、

（1）B　　

（2）D　　（3）D

4、

（1）当a>1或-1

（2）当0

四、课堂小结

　　这节课你学会了什么？

五、课堂作业

　　课本P50页，习题2.5，4,5，6,7，8

六、课后反馈

第4课时　有理数的乘方

目的与要求　理解有理数乘方的意义，掌握有理数乘方的运算。

知识与技能　培养学生观察、分析、比较、归纳、概括的能力。

运用有理数乘方运算解决实际问题。

情感、态度与价值观　培养勤思、认真和勇于探索的精神，感知数学知识具有普遍联系性。

教学过程

一、情境创设引入

　　动画：

手工拉面是我国的传统面食，制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成一根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折，每次对折称为一扣，如此反复操作，连续拉六、七次后便成了许多细细的面条，假如一共拉扣6次，你能算出共有多少根面条吗？

　　解答：

2×2×2×2×2×2＝64根

　　折纸：

将一张对折再对折，直到无法对折为止，数数看，这时的纸总共有多少层？

　　（依照上面的例子）

二、探索知识

　　我们把2×2×2×2×2×2记作26，读作“2的6次方”

　　7×7×7×7×7记作75，读作“7的5次方”

　　一般地，a×a×a×a×…×a＝an,读作“a的n次方”，a叫做底数，n叫做指数。

　　求相同因数的积的运算叫做乘方（power）.乘方运算的结果叫做幂（power）

　　特别是，一个数的二次方，也叫做这个数的平方；一个数的三次方，也叫做这个数的立方。

　　例1、计算

（1）26　　

（2）73　　（3）（－3）4　　（4）（－4）3　（5）－34　（6）－43

解答：

（1）64　　

（2）343　　（3）81　　（4）－64　（5）－81　（6）－6

n个

4

　　例2、计算：

　　正数的任何次幂都是正数；

　　负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

　　例3、把下列各式写成幂的形式

（1）－（－2）·（－2）4·（－2）·（＋2）

（2）（－a）2aaaaa5·a·b2·b

解答：

（1）－27　　

（2）a12b3

　　例4、有“世界屋脊”之称的珠穆朗玛峰，海拔8848.13米是世界第一高峰，而一张纸只有

厘米厚，但如果你能把一张报纸连续对折30次后，它的厚度将远远超过珠穆朗玛峰。

这是真的吗？

如何给出一个令人相信的解释呢？

解答：

把一张厚度为　　厘米的报纸连续对折30次后，其厚度应为　　　　　厘米，用计算器计算出结果约为107374.1824米。

远远超过珠穆朗玛峰的高度的12倍，事实上将一张报纸对折30次是不可能做到的

　　例5、计算

　　例6、探索规律：

31＝3，个位数字是3；32＝9，个位数字是9；33＝27，个位数字是7；34＝81，个位数字是1；35＝243，个位数字是3；……，你能说出37的个位数字是多少吗？

32005的个位数字呢？

解答：

∵个位数字是四个一循环，∴37的个位数字是7,32005的个位数字是3

三、随堂练习

1、填空：

（1）（－1）2004＝＿＿＿＿

（2）（－1）2005＝＿＿＿＿（3）（－1）2n=＿＿＿（4）（－1）2n+1=__

2、选择

（1）下列说法正确的是（　　）

A、负数的偶次幂是正数　　B、正数的奇次幂是负数

C、任何小于1的数都大于它的平方　D、一个数的平方等于它的倒数，这个数为1或－1。

（2）设a＝（－1.8）3，b＝（－1.8）4，c＝（－1.8）5，则a,b,c的大小关系为（　　）

A、a

（3）下列结论正确的是（　　）

A、若a>b，则a2>b2　　　B、若a2>b2，则a>b　C、若a>b，则a3>b3　　D、若a3>b3，则a2>b2

3、计算：

4、求32002×52003×72004的个位数字是几？

解答：

5的任何次方个位是5，且与奇数相乘得末位为5，与偶数相乘得末位为0，而3、7的任何次方都是奇数，则结果的个位数字必为5。

　4、观察下列等式

：

依据以上各式成立的规律，在括号中填入适当的数，使等式　　　　　　　　　　　　　成立。

5、先阅读下面材料，然后解答问题：

材料：

前面我们介绍了等差数列，现在我们再看另一些特殊的数列。

如1，2，4,8，…，此数列有如下特征：

从第二项起每一项与前一项的商为同一常数，这里　　　　　　　　　，我们把这样的数列叫做等比数列，这个常数叫做公比。

　　设等比数列a1,a2,a3…an的公比为q，则第n项an与第1项a1的关系为：

an=a1qn-1,前n项的和Sn与第1项a1的关系为Sn=

　　问题：

有一个等比数列，第1项为16，公比为　　，请根据上述公式求出这个数的第7项信前5项的和，并写出这个数列的前5项。

解答：

2、

（1）A

（2）B（3）C　3、

（1）－37　

（2）9　（3）－20　（4）－2　4、-12，-12

5、

四、课堂小结

　　这节课你学会了什么？

五、课堂作业

　　课本P58页，习题2.6，1,2，3,4

六、课后反馈

笔5课时　科学记数法

知识与技能　掌握科学记数法的表示方法，知道科学记数法的必要性。

过程与方法　通过实际问题了解科学记数法的必要性和重要性，通过比较法得出科学记数法的表示方　　　　　　法。

情感、态度与价值观　激发学生对奇妙的数学世界的好奇心，会用科学记数法表示大数。

教学过程

一、情境创设的引入

　　105＝100000　106＝1000000　1010＝＿＿＿＿＿＿　1012＝＿＿＿＿

观察10n的特点，你发现了什么规律：

10n的特点是1后面有n个0，共有n+1位。

　　“先见闪电，后闻雷声”，这个现象的解释是：

光的传播速度大约为300000000m/s，而声音在常温下的传播速度大约为340m/s。

可见光的速度大大快于声音的速度。

二、探索知识

　　日常生活中我们还会遇到一些特别大的数，如

　　有人体中大约有25000000000000个红细胞。

　　全世界人口大约是6100000000人

　　地球的陆地面积约为149000000千米2

　　地球的海洋面积约为361000000千米2

　　算一算5000000×5000000

　　可以发现一些足够大的数在读、写、算都不方便，根据10n的特点，我们可以这样来表示这些较大的数。

　　300000000＝3×100000000＝3×108

　　25000000000000＝2.5×10000000000000＝2.5×1013

　　一般地，一个大于10的数可以写成a×10n的形式，其中1≤a<10,n是正整数，这种记数方法称为科学记数法。

（scientificnotation）

　例1、1972年3月发射的“先驱者10号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器，至2003年2月人们最后一次收到它发回的信号时，它以飞离地球12200000000km，用科学记数法表示。

解答：

1.22×1010km

　　例2、用科学记数法表示下列各数：

（1）400320　　

（2）1000000　　（3）－726.4　　　（4）0.31×104

解答：

（1）4.0032×105　　

（2）1×106　　（3）－7.264×102　　（4）3.1×103

　　例3、下列各数的原数是多少？

（1）1.25×104　

（2）－3.03×102　（3）3×105　（4）－4.2378×103

解答：

（1）12500　

（2）－303　（3）300000　（4）－4237.8

　　例4、一天有8.64×104秒，一年有365天，一年有多少秒？

（用科学记数法表示）

　　解答：

3.1536×107秒

三、随堂练习

1、用科学记数法表示

（1）696000　

（2）－1230　（3）10000　（4）0.078×105

解答：

（1）6.96×105　

（2）－1.23×103　（3）1×104　（4）7.8×103

2、太阳的直径约为1390000千米，用科学记数法表示为（　　）

A、1.39×104千米　B、1.39×108千米　C、1.39×106米　D、1.39×109米

解答：

D

3、2003年6月1日零时，三峡大坝正式下闸蓄水，到上午9时，只留3个导流底孔，保留至少3410米3/秒的下泄流量，维持下游航运及发电的基本运行。

自6月1日上午9时起，预计24小时流过的水量至少为＿＿＿＿＿＿米3（用科学记数法表示）

解答：

2.95×108米3

四、课堂小结

　　这节课你学会了什么？

五、课堂作业

　　课本P58页习题2.6，5,6，7

六、课后反馈

第6课时　2.7有理数的混合运算

目的与要求　能按照有理数的运算顺序，正确熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方运算

知识与技能　注意培养观察能力与运算能力

情感、态度与价值观　培养计算前审题，确定运算的顺序，最后验算的好习惯。

教学过程

一、情境创设引入

　　问题一、计算：

8－23÷（－4）×（－7＋5）

　　正确的运算顺序是什么呢？

二、探索知识

　　有理数混合运算顺序：

　　先乘方，再乘除，最后加减；如果有括号，先进行括号内的运算。

　　问题一的解答：

＝4

　　例1、计算：

　　例2、计算：

　例3、计算：

1＋2＋22＋23＋24＋…＋22005的值

解答：

设S＝1＋2＋22＋23＋…＋22005，则2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22006

将两式相减得：

S＝22006－1

　　例4、小明来到红毛族探险，看到下面几个红毛族的算式：

8×8×8＝8,9×9×9＝5,9×3＝3，（93＋8）×7＝837。

老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“＋、－、×、÷，（）、＝”与我们算式中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们的写法相同，但代表的数却不同。

　　请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：

89×57＝＿＿＿＿＿

解答:

8×8×8＝8，可知8只能是±1或0，由873可知只能是1；而9×3＝3，（9不是1）则3只能是0；而9×9×9＝5，则9是2；5是8。

93＋8＝20＋1＝21,21×7＝107，则7为5。

89×57＝12×85＝1020＝8393。

三、随堂练习

1、计算：

解答：

四、课堂小结

　　这节课你学会了什么？

五、课堂作业　

六、课后反馈