高等流体力学习题集.docx
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高等流体力学习题集
高等流体力学-习题集
高等流体力学
、流体的运动用
tb+c
x=必y三伏巧一+。
7
—cb+cb—c
.一2^，Z=ee2
表示，求速度的拉格朗日描述与欧拉描述。
解：
由题可知速度分量为（u=—=0
St
dy/fi+cb—c
\v=—=ee—=z
dr22
dzth+c.b—c
—=e卜e—=v
&t22丿
则速度的拉格朗日描述
（00宁一戶宁严宁*与）
速度的欧拉描述：
戸=（①宣、y）
、速度场由卩=仗乜刃给出，当£=1时求质点p（X3,2）的速度及加速度。
解：
由K=可得速度分量式为:
U=x2t
v=yt2
W—xz则当t=1时，质点pdX2）的速度为：
卩=乩3」2）；加速度
ClY
du.du
=亠+l£.
du.du
+V—+IV—
dtdx
dydz
dv.dv
..&v
ay
=—+u—dtdx
+v—F>v——=dydz
dwidw
.dw.dw
a7=
=u—
+vHw—
£
dtdx
dydz
I
ax=x2+x2t-2xt+yt210+xz■0
ay=2yt+x2t-0+yt2•t2+xz■0az=0+x2t・z+yt2-0+xz-x
（ax=1+24-0+0=3
=Jay-6+0-l-3-F0-8,即加速度为[az=0+2+0+2=4
a=（3,9;4）
三、速度场由V=（ar^tztpy-&0）给出，求速度及加速度的拉格朗表示。
解：
由题可得速
V—（u,巧w）=（ax+*py—（20）fdx
U=——
5二罟二旳-严得情
w——=0
V
乙一
fl严頁
Z=c3
格朗日表达式,其兀”2心为任意常数。
01
fx=c^eat—-
:
2
y-巧尹+-tz+—
&x2
B=询3-1
az=0
得速度的拉格朗日表达式为為叼砂-詁j
V=
得加速度的拉格朗日表达式为
V—（“cz'gat-*工2严£加-）
四、已知质点的位置表示如下：
x-a.y=b+a（_e~2t—l）,z=c+a（e_3t-1）
求：
（1）速度的欧拉表示；
（2）加速度的欧拉表示及拉格朗日表示，并分别求（局”刃=（人0,0）及（為陶=（九0,0）的值；
（3）
（4）
（5）
解：
;））
由题得<卩二警二
w=~=—3ae~3t=—3xe~2tVdt
欧拉表示为V二!
>—2宓盘—3化
（2）加速度分量
fdu,du,du,du_
ay=——u——i?
——w—=0
x9tdxdydz
di?
dv_2t擢_2t
I,ay
=—1-u—+v—+w—=4^e=4ae
dtdxdydz
=—+u——v—+w—=9xe=9ae口dtdx&ydz
则加速度的欧拉表示为n=（0f4xe2\9xe"）；则加速度的拉格朗日表示为a=（0；4ae~2t,9ae_3t）；
当时，
a=（074e-2tf9e-3c）
（3）流线微分方程式为,因为"二0所以，
流线微分方程转化为，消去中间变
2
量积分得，又因为工二Q，当
x二丄」二z二0时，得到「=0，，即过点（1,0,0）
（X=1
的流线为
x=a
由迹线微分方程为
y=b^-a（e-2t-l），将z=c+a（e_3t—1）代入得质点轨迹方程为
je=1
y=e~2t
）散度两八労+計牛=o+o+o=o
度
k=1
旋
\dydz/\dzdx/\dxdyJ
Of+3e~3tj+-2e~llk
涡线微分方程为—=—=—,又因为二0,涡线
WxWyWz
微分方程转化为岛=const,即
涡线方程为
（5）速
y=-|e_fz+c2kx—c3
梯度
-ayalzayaw
du
&z
dv
dw
000
-2e"2f00
3e~3f00
VV=
3z.
・•・应变率张量
=-e^2t
_3
2e
••旋转张量
1/<
0㊁（:
dv\
dx）
1/dudw
2[dzdx
1fdvOn、
2\dxdy）
0
1fdvdw
2\dzdy
A=
1fdwdu\
2\dx~dz）
1/dwdv\
2\dy~Jz）
（1）问运动是否定常，是否是不可压缩流体，是否为无旋流场;
（2）求t=1时在点（1,1,1）的加速度；
（3）求过点（1,1,1）的流线。
解：
六、已知口耳1厂r，求
（1）速度的拉格朗日描述；
（2）质点加速度；
（3）散度及旋度；运动是否有旋；流体是否不可压;
（4）迹线及流线。
解：
rdx
由
dy
=—=Xdtdz
W=—=
dt
一丄行X=52—1,又
二门屮_1得y二
0得z二门。
再由初始条
t=0（芻=（a,b,c）
Cl
-a+ic2-b-a-\fc3-c，i'm=（a+l）ef朗日描述为\v=（a+l）ef—1
Vw=0
[dut
av=—=e
尤at
质点加速度为\ay=J；=et
az=—=0
du.dr3w
dy&z
则速度的拉格
=1+0+0=1
散度dW
旋
r（rt¥=（巴冲+（竺冲+伴占
\dydz/\dzdx/J\Szdy/
lk
因为旋度不为0，故为有旋运动
由
由
件得各
因为散度不为0,故流体为可压缩流体
（4）由
（1）可得迹线方程为
X=（a+-1
y—（cl+!
_）€‘—tb—a—
z=c
流线微分方程—=-=—,又因为w二0,所以
it1?
w
流线微分方程转化为^=-，解之得
x-l-1X
，由初始条
t=6（%xz）=（4瓦€）
c4=b-a+ln（a+1）
所以流线方程（y=X—ln（x-F1）+Z?
—a+ln（a+1）
Iz—c
七、一水箱尺寸如图所示，箱外大气压paCm=1.013X105Pa，计算下
列两种情况下地窗口AB两侧所受的流体合力。
（a）水面上方气体压力
Pa=P如；（b）pA=1.255X105Pa
解:
（a）不妨设AB两侧所受的流体合力为Fa则
Fa=y水=9807X（3+扌X1.5Xsin30°）X（1.5X3）=1.489X105AT
（b）I
pA=1.255X105Pa>patm—1.013xW5Pa,需重新设立水平面，不妨设新的水平面距离原先水
平面为h，由pA=P^tm^Y水人得h=2.468m
则
Fb=卩水仇+h^A=9807X（3+2.468+^xl.Sxsin30°）x（1.5x3）=2.579x10sAf
八、如图的微测压计用来测量两容器E和B中的气体压强差。
试用
反也加4表示Pe-Pb,并说明当横截面积a«A，而且两种溶液密度，兀和C相近时，很小的Pe-Pb就能引起很大的液面高度差d,从而提高测量精度。
解:
根据流体静力学规律知
Pe+Pigh=PB+Pid（hp2gd，
即Pe-pb=+（p2-Pi）"
又由图可知，A6=ad；所以s=^d
A
又有题可知a<a
PE~PB=（P2-Pl）Sd
.・.d=
—Pi
故当两种两种溶液密度相近时，很小的PE-Pe就能引起河很大的液面咼度差do
九、图为装在做水平匀加速运动物体上的U型管式加速度测量器，已
得两管耶中得液面差h=4cm,两管相距L=20cm,求该物体加速度的大小和
解：
选坐标系OxytO点置于U型管左侧的自由液面上，0尤轴向右,Oy轴向上。
质量力fx-~^fy-~3,将其
并积分
综上所得可知该物体加速度的大小为平，方向左。
十、如图一圆柱形容器，其顶盖中心装有一敞口的测压器，容器装满水，
测压管中的水面比顶盖高h,圆柱形容器直径为D，当它绕其竖直轴以角速
度Q旋转时，顶盖受到多大的液体向上的总压力?
解：
积分得p二p（于-肿）+c,则有边界调节得c二，即得压强的公式为。
故在顶盖处的
压强为，则顶盖受到的向上的
力为
F二IpdA
十一、一个充满水的密闭容器，以等角速度山绕一水平轴旋转。
试证明它的等压面为圆柱面，且该圆柱面的轴线平行于转动轴，并比转动轴高一解：
以z轴为水平轴，y轴垂直向上建立空间直角坐标系。
对
dp=p（/+fydy+=p（^a）2xdx+
a）2ydy—gdy）
，又因为等压面dp二1），令dp二u再对上式积分得
，又•・•r=0时，y=0得c=0,于是等压面
/2
方程为—二3
转化为y,即为宀®-宥=〔窃，该式表明等压面为圆柱面，半径为，中心位于”即等压面的中心轴比容器的转动轴高
6t>-
十二、试求图中窗口所受内外流体作用力合力的大小和位置，窗口外为大气。
解：
窗口所受合力为F=pc4=（690000+9807X1.5-9807X3—9807x1.5-101300）X2.5X3=41.95x1O52V
十三、如图所示圆柱型堰，直径2R=3m，长L=6m，试求两侧静止流体对于堰上的合力大小，
水
Fu
方向及作用线。
（1）
解：
堰的左侧水
F氏=V
铅
方向分力的大小
—DL=9807X-X3X6=264789iV22
垂方向分力的大小
FLy=y^D2L=9807xx32x6=207965AT⑵堰的右侧
水
“工=卩子丹丛
铅
103982.5/V
平方
h2
向分力的大小
ccnr33-
9807X-X-X6=66197.25W
42
向分力的大
9807X-X32X6=
8
故堰上总压力水平分力的大小为
Fx=FLx-FRz=198591.75N铅垂分力的大小为
Fy=FLy+FRy=311947.5N
故总压力为
=369797.1416AT
所以合力的方向与％轴成e角。
合力的作用线通过
点：
x=—R>-cos57,52「二-0.806m-RXsin57.52=0.235m
十四、与水平面成45°的斜壁上有一半径为R的圆孔，孔心的深度为H,现用以半球面堵住孔，如图所示，试求半球面所受液体压强合力F的大小和方向（不计大气压强的作用）
解：
半球面的水平投影是椭圆：
在此处键入公式。
十五、曲面形状为3/4个圆柱，半径为r=0.8m，宽度为1m，其中心线沿水平方向，位于水面下h=2.4m深处，求曲面所受液体总压力。
3m深处，求曲面所畳的波休池压力“
解：
根拥对称忤.befred曲师豎木平兮”相祗消，雜卜曲曲旧bed唸水平分力丈小等十mb曲面所受的水半分Zh即】
V2
（1\
-9800J——11
I2J
=245OO（N）—
整个曲〔氐所哽垂直分力：
Pz^^hrB+-^B|
-J-
/a、
=9S00x|2xl■1+-jrxl2xl
I」丿
=52479（N）I
二&=JT+F=^24500^+52479^二刃夕16・3（N）
户总过闘牡轴心且打垂自线的史角为:
5=arcran^=nnmw竺四25.02°
P.52479
十六、已知平面流动的速度分布为u^x2^2x-6yrv=-2xy-2y
试确定流动：
（1）是否满足连续性方程？
（2）是否有旋？
（3）如存在速度势和流函数，求出毋和9。
■_r-r->-■n*■■-■*!
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辭—?
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〔打览诡场丸仙W年鋼渍动灼有撬「淮貳动‘蒂在漪甬牧认而連畫势肿环在,
将上式帜分，得3=士？
十2号一£b十门小
贈％_2j>\2$
Ji-
2空"b2y\f（x）=2jy卜2y
/7j）■OiJ（x）=C
故2亠异予）2^-v-2^（常数可戌柞为零）
十七、如图所示，水从密闭容器中恒定流出，经一变截面管而流入大气
（2）各截面
中，已知H=5m，p0.5at，AlA350cm2，A2100cm2，A425cm2。
若不计
流动损失，试求：
（1）各截面上的流速、流经管路的体积流量;
上的总水头
«门一u管口沁帕从愷闭轡辭自曲漬肋上0-0虑:
判蟹章［f骨出口扯4-趴列出卜七吃蛙們硏科方現.
=i/2X^JXxC7+3）=14m/3
^-2^M0?
=10n]
規样压綾启匣坪.由于甩-.1,
植¥1■■W/
泉曲于尙n凡.
tt埠呛“話UM
由干Aji^f—A*t^
啟週=気刊弓X14=3,£m/i
航经営跄削体枳济处
。
亠九怕=25K1C'XH-0.035znJ.9.
代）£音口为旱屮・诛牲倉朮毛母于IOtUt由于不什裁性损快.因比吁童肺上盘水头蛙等于叽・
uay（y2
vax（y2
线方程；
（2）判断流线是否有旋，若无旋，则求速度势
幫时干二眾浙动输暁綬嵌甘方程为
djAy
Uv
哎2?
-^=C
若［取一插列軒同的数缜.町得和fit线嶽——垠曲網嗾■它们的渐近規为/■斗如习辭懿18斷示.
有共帆觀的指向•可由讹建井和来扁耀：
|期一ajity—jt]
If—ttrty1—』'}
对乎山当IlV|>|j|
当—IVI工丨对」vo
对于J^4|>KIjI吋"二
懈就町禹出療线的方冋。
骨=彩站于_『叮一茂唧®"厂
判别就动呈否有濮，rotT垦辔为笨雖荷.
耳
=u（y;—j-7J—2clt'_aiy1_才°》_
-—2^r:
-2ri/=0
所讽施呦是有徒的・平存任谨南钧“
十九、设一虹吸管a2m,h6m，管直径d15cm。
试求：
（1）管内的流
瓦中tj=A,c>—ft+a,
Pt=Vi=0*
5■=—牡―inJu
即Pi--7（-.-i^）=p別TX卜—咼侖｝—嘔4flkft
統耳点的貞空压長
仪-78,4&kf%
门）艸为不老由点机增大时，兰占点的压盘削垮于木的冋址祥聲时，贞时芳点发生术的汽优⑴內的扳助期甲止"直诞町®‘锂默層下（15T】水的脱化压雷为i鶴门咛堕对圧隈打取苗口2-2加墓他列岀S-22点的怕嗚村片軽上
其屮站二h+叭鑒=0
打一】佛7Pa,烈=101325內（大丸绝对压强）
二十、在相距1.2mm的两平行板之间充有某种黏性液体，当其中一板以
1.2m/s的速度相对于另一板作等速移动时，作用于板上的切应力为3500Pa
试求该液体的黏度。
l[LLUM距ltran的两平和平板之简总有聲种黏性液陰、乌科中一板以l*2n/g的建度相
时千另一扳供帯遽移动时I作用于扳上的切应力A3500Pa.试求浚茨怀的茹度+
4■
解：
由*
二十一、无粘性不可压缩流体作平面无旋流动，若流场的复势是
Waz2（a>0）,在原点处的压强为P0，试求：
上半平面的流动图案
【例1】平面不可压缩流体势流，若流场的复势是W=az1{a>^）f在原点处压强为Pz试求：
<1）上半平面的速度分布皐
（2）绘制上辛平面的流线图：
（3）沿JT轴的压强分布°
—J
<2>由复势
W—az~—d（卞+i.y）"=—y2）+12cixy
i密流函數=2uxy'
流线方程艸二常量，^3=C上半平面的流线图如圏所示.
⑶由于流动咼无疵的，按拉格朗口方程求压强分布
二十二、求半径为a的圆球在无限流场中由于重力而下沉的运动规律。
解:
6.宋半径刿「的冒琢在朮垠浇场卬由于車力f]F沉的迂或I规律4诰圆球运初咀力t力系轨“雷孔称対
迎凤面职*■
腔；设圈題F-；h述厦为也则耳满工的尸程九
iVj-JJg'F,.
叮昂刊井匕申帚辰讨弓汗忡口丰
対*£扌叼-JT-W；?
b
假主园理在初螂寸剤是静止的，在下沉初期F速團艮小”咀力与速度平万成正比；也很小，圆琲将加速下沉0—段时【可右，咀力葩連便増吠而増玄・育孕，
二十三、某小船在无限深水的波浪中每分钟摇摆30次，求波长L,圆频率°,波数k,以及波形传播速度c。
优2某小船在无限深水的渡浪中每分钟摇撰的次’求遊长1“圆频率。
*波数4以及波形传播速度厂.
解船航速为零，单纯由液浪引起的摇揺：
液数:
则周期：
-=1+00b
2兀
L-}
L
■3」3（jn/j）
二十四、在海洋中观测到一分钟内浮标升降20次，设其波动可认为是无限水深小振幅平面波，求波长及其传播速度。
解：
波动周期T=^=3s
圆频率to=kc=—，波速“
故波速c=奢鬻罟"6缽/$
波长入二cT=4.68X3=14.04m
二十五、设二维有限深度波动速度势为
A0gchk（Zd）sin（kxwt）wchkd
求此相应的流函数及复势表达式。
二十六、为了估算船在水面行驶的阻力，用缩尺1/20的模型在拖曳水池
做实验。
设船体长30m，速度5m/s，水的密度1000kg/m3，粘度系数
“=0.Q01kg/（ms）o试问如何安排实验条件才能保证实验与真实情况动力相似？
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