高考数学高分突破二轮复习练习专题6 第1讲 函数图象与性质.docx

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高考数学高分突破二轮复习练习专题6第1讲函数图象与性质

第1讲　函数图象与性质

高考定位　1.以基本初等函数为载体，考查函数的定义域、最值、奇偶性、单调性和周期性；2.利用函数的图象研究函数性质，能用函数的图象与性质解决简单问题；3.函数与方程思想、数形结合思想是高考的重要思想方法.

真题感悟

1.（2018·全国Ⅱ卷）函数f（x）＝的图象大致为（　　）

解+析　f（x）＝为奇函数，排除A；当x>0时，f

（1）＝e－>2，排除C，D，只有B项满足.

答案　B

2.（2018·全国Ⅱ卷）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）.若f

（1）＝2，则f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（　　）

A.－50B.0C.2D.50

解+析　法一　∵f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，且f（1－x）＝f（1＋x），∴f（4＋x）＝f（x），∴f（x）是周期函数，且一个周期为4，又f（0）＝0，知f

（2）＝f（0），f（4）＝f（0）＝0，由f

（1）＝2，知f（－1）＝－2，则f（3）＝f（－1）＝－2，从而f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＝0，故f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）＋…＋f（50）＝12×0＋f（49）＋f（50）＝f

（1）＋f

（2）＝2，故选C.

法二　由题意可设

f（x）＝2sin，作出f（x）的部分图象如图所示.由图可知，f（x）的一个周期为4，所以f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12[f

（1）＋f

（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（49）＋f（50）＝12×0＋f

（1）＋f

（2）＝2.

答案　C

3.（2017·全国Ⅰ卷）已知函数f（x）＝lnx＋ln（2－x），则（　　）

A.f（x）在（0，2）上单调递增

B.f（x）在（0，2）上单调递减

C.y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称

D.y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称

解+析　由题意知，f（x）＝lnx＋ln（2－x）的定义域为（0，2），f（x）＝ln[x（2－x）]＝

ln[－（x－1）2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，所以排除A，B；又f（2－x）＝ln（2－x）＋lnx＝f（x），所以f（x）的图象关于直线x＝1对称，C正确，D错误.

答案　C

4.（2018·江苏卷）函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x）（x∈R），且在区间（－2，2]上，f（x）＝则f[f（15）]的值为________.

解+析　因为函数f（x）满足f（x＋4）＝f（x）（x∈R），所以函数f（x）的最小正周期为4.又因为在区间（－2，2]上，f（x）＝

所以f[f（15）]＝f[f（－1）]＝f＝cos＝.

答案　

考点整合

1.函数的图象

（1）对于函数的图象要会作图、识图和用图，作函数图象有两种基本方法：

一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换和对称变换.

（2）在研究函数性质特别是单调性、值域、零点时，要注意结合其图象研究.

（3）函数图象的对称性

①若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝f（a－x），即f（x）＝f（2a－x），则y＝f（x）的图象关于直线x＝a对称；

②若函数y＝f（x）满足f（a＋x）＝－f（a－x），即f（x）＝－f（2a－x），则y＝f（x）的图象关于点（a，0）对称.

2.函数的性质

（1）单调性：

单调性是函数在其定义域上的局部性质.证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、变形、判断符号和下结论.复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则.

（2）奇偶性：

①若f（x）是偶函数，则f（x）＝f（－x）.

②若f（x）是奇函数，0在其定义域内，则f（0）＝0.

③奇函数在关于原点对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的单调区间内有相反的单调性.

（3）周期性：

①若y＝f（x）对x∈R，f（x＋a）＝f（x－a）或f（x＋2a）＝f（x）（a>0）恒成立，则y＝f（x）是周期为2a的周期函数.

②若y＝f（x）是偶函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f（x）是周期为2|a|的周期函数.

③若y＝f（x）是奇函数，其图象又关于直线x＝a对称，则f（x）是周期为4|a|的周期函数.

④若f（x＋a）＝－f（x），则y＝f（x）是周期为2|a|的周期函数.

易错提醒　错用集合运算符号致误：

函数的多个单调区间若不连续，不能用符号“∪”连接，可用“和”或“，”连接.

热点一　函数及其表示

【例1】

（1）函数y＝的定义域为（　　）

A.（－∞，1]

B.[－1，1]

C.∪

D.∪

（2）（2018·全国Ⅰ卷）设函数f（x）＝则满足f（x＋1）

A.（－∞，－1]B.（0，＋∞）

C.（－1，0）D.（－∞，0）

解+析　

（1）函数有意义，则

即

所以函数的定义域为.

（2）当x≤0时，函数f（x）＝2－x是减函数，则f（x）≥f（0）＝1.作出f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f（x＋1）＜f（2x），则需或所以x<0.

答案　

（1）C　

（2）D

探究提高　1.

（1）给出解+析式的函数的定义域是使解+析式有意义的自变量的集合，只需构建不等式（组）求解即可.

（2）抽象函数：

根据f（g（x））中g（x）的范围与f（x）中x的范围相同求解.

2.对于分段函数的求值问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；形如f（g（x））的函数求值时，应遵循先内后外的原则.

【训练1】

（1）设函数y＝的定义域为A，函数y＝ln（1－x）的定义域为B，则A∩B＝（　　）

A.（1，2）B.（1，2]C.（－2，1）D.[－2，1）

（2）（2018·郑州质检）函数f（x）＝且f（a）＝－2.则f（14－a）＝________.

解+析　

（1）由4－x2≥0得－2≤x≤2，∴A＝[－2，2]，

由1－x＞0得x＜1，∴B＝（－∞，1）.∴A∩B＝[－2，1）.

（2）当x<0时，f（x）＝2x＋1>0，由f（a）＝－2，知－log2（a＋1）＋2＝－2，∴a＝15.故f（14－a）＝f（－1）＝2－1＋1＝1.

答案　

（1）D　

（2）1

热点二　函数的图象及应用

【例2】

（1）（2018·浙江卷）函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（　　）

（2）（2018·合肥调研）已知函数f（x）＝若f（x1）＝f（x2）＝f（x3）（x1，x2，x3互不相等），且x1＋x2＋x3的取值范围为（1，8），则实数m的值为________.

解+析　

（1）设f（x）＝2|x|sin2x，其定义域关于坐标原点对称，又f（－x）＝2|－x|·sin（－2x）＝－f（x），所以y＝f（x）是奇函数，故排除选项A，B；令f（x）＝0，则sin2x＝0，所以x＝（k∈Z），故排除选项C.故选D.

（2）作出f（x）的图象，如图所示，可令x1

答案　

（1）D　

（2）1

探究提高　1.已知函数的解+析式，判断其图象的关键是由函数解+析式明确函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等，以及函数图象上的特殊点，根据这些性质对函数图象进行具体分析判断.

2.

（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.

（2）图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.

【训练2】

（1）（2017·全国Ⅲ卷）函数y＝1＋x＋的部分图象大致为（　　）

（2）（2018·贵阳质检）已知f（x）＝2x－1，g（x）＝1－x2，规定：

当|f（x）|≥g（x）时，h（x）＝|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）＝－g（x），则h（x）（　　）

A.有最小值－1，最大值1

B.有最大值1，无最小值

C.有最小值－1，无最大值

D.有最大值－1，无最小值

解+析　

（1）法一　易知g（x）＝x＋为奇函数，其图象关于原点对称.所以y＝1＋x＋的图象只需把g（x）的图象向上平移一个单位长度，选项D满足.

法二　当x＝1时，f

（1）＝1＋1＋sin1＝2＋sin1>2，排除A，C.又当x→＋∞时，y→＋∞，B项不满足，D满足.

（2）画出y＝|f（x）|＝|2x－1|与y＝g（x）＝1－x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f（x）|≥g（x），故h（x）＝|f（x）|；在A，B之间，|f（x）|

综上可知，y＝h（x）的图象是图中的实线部分，因此h（x）有最小值－1，无最大值.

答案　

（1）D　

（2）C

热点三　函数的性质与应用

考法1　函数的奇偶性、周期性

【例3－1】

（1）（2018·全国Ⅲ卷）已知函数f（x）＝ln（－x）＋1，f（a）＝4，则

f（－a）＝________.

（2）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）.若当x∈[－3，0]时，f（x）＝6－x，则f（919）＝________.

解+析　

（1）设g（x）＝f（x）－1＝ln（－x），则g（x）为奇函数.由f（a）＝4，知g（a）＝f（a）－1＝3.∴g（－a）＝－3，则f（－a）＝1＋g（－a）＝－2.

（2）∵f（x＋4）＝f（x－2），∴f（x＋6）＝f（x），则T＝6是f（x）的周期.∴f（919）＝f（153×6＋1）＝f

（1），

又f（x）在R上是偶函数，

∴f

（1）＝f（－1）＝6－（－1）＝6，即f（919）＝6.

答案　

（1）－2　

（2）6

考法2　函数的单调性与最值

【例3－2】

（1）（2018·湖北名校联考）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增.若实数a满足f（32a－1）≥f（－），则a的最大值是（　　）

A.1B.C.D.

（2）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）＝xf（x）.若a＝g（－log25.1），b＝g（20.8），c＝g（3），则a，b，c的大小关系为（　　）

A.a

C.b

解+析　

（1）f（x）在R上是偶函数，且在（－∞，0）上是增函数，∴f（x）在（0，＋∞）上是减函数，由f（32a－1）≥f（－）＝f（），∴32a－1≤，则2a－1≤，∴a≤.故a的最大值是.

（2）法一　易知g（x）＝xf（x）在R上为偶函数，

∵奇函数f（x）在R上是增函数，且f（0）＝0.

∴g（x）在（0，＋∞）上是增函数.

又3>log25.1>2>20.8，且a＝g（－log25.1）＝g（log25.1），

∴g（3）>g（log25.1）>g（20.8），则c>a>b.

法二　（特殊化）取f（x）＝x，则g（x）＝x2为偶函数且在（0，＋∞）上单调递增，又3>log25.1>20.8，

从而可得c>a>b.

答案　

（1）D　

（2）C

探究提高　1.利用函数的奇偶性和周期性可以转化函数的解+析式、图象和性质，把不在已知区间上的问题，转化到已知区间上求解.

2.函数单调性应用：

可以比较大小、求函数最值、解不等式、证明方程根的唯一性.

【训练3】

（1）（2018·潍坊模拟）若函数f（x）＝为奇函数，则

f（g（－3））＝（　　）

A.－3B.－