排列组合问题的几种基本方法复习归纳.docx
《排列组合问题的几种基本方法复习归纳.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《排列组合问题的几种基本方法复习归纳.docx（7页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
排列组合问题的几种基本方法复习归纳
排列组合问题的几种基本方法（复习归纳）
排列组合问题
1. 分组（堆）问题
分组（堆）问题的六个模型：
①无序不等分；②无序等分；③无序局部等分；（④有序不等分；⑤有序等分；⑥有序局部等分.）
处理问题的原则：
①若干个不同的元素“等分”为ｍ个堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
②若干个不同的元素局部“等分”有ｍ个均等堆,要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m!
③非均分堆问题，只要按比例取出分完再用乘法原理作积.
④要明确堆的顺序时，必须先分堆后再把堆数当作元素个数作全排列.
1. 分组（堆）问题
例1.有四项不同的工程，要发包给三个工程队，要求每个工程队至少要得到一项工程.共有多少种不同的发包方式？
解：
要完成发包这件事，可以分为两个步骤：
⑴先将四项工程分为三“堆”，有
种分法；
⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队，
有3!
＝6种给法.
∴共有6×6＝36种不同的发包方式.
2.插空法：
解决一些不相邻问题时，可以先排“一般”元素然后插入“特殊”元素，使问题得以解决.
♀ ♀ ♀ ♀ ♀
♀ ♀
↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例2.7人排成一排.甲、乙两人不相邻，有多少种不同的排法？
解：
分两步进行：
第1步，把除甲乙外的一般人排列：
第2步，将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中（插孔）：
种站法，
解法1：
将5个人依次站成一排，有
然后再消去甲乙之间的顺序数
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
解法2：
先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好，有
种站法，留下的两个位置自然给甲乙有1种站法
∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为
4.消序法（留空法）
解:
如图所示
变式：
如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A到B只能上行或右行共有多少条不同的路线?
将一条路经抽象为如下的一个排法（5-1）+（8-1）=11格:
→
1
↑
①
→
2
↑
②
↑
③
→
3
→
4
→
5
↑
④
→
6
→
7
其中必有四个↑和七个→组成!
所以,四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,
所以从A到B共有
条不同的路径.
5.剪截法（隔板法）：
n个相同小球放入m（m≤n）个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
例5.某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.
解：
问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将16个小球串成一串，截为4段有
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有455种.
5.剪截法：
n个相同小球放入m（m≤n）个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段.
变式：
某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手名额分配到高三年级的1-4个教学班,每班的名额不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种.
解：
问题等价于先给2班1个，3班2个，4班3个，再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题.
将10个小球串成一串，截为4段有
种截断法，对应放到4个盒子里.
因此，不同的分配方案共有84种.
6.错位法：
编号为1至n的n个小球放入编号为1到n的n个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.
特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44.
例6.编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.
解：
选取编号相同的两组球和盒子的方法有
种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法.
故所求方法有15×9＝135种.
7.剔除法
从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.
例7.从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_________条.
解：
所有这样的直线共有条，
其中不过原点的直线有条，
∴所得的经过坐标原点的直线有210-180＝30条.
巩固练习
B
B
巩固练习
A
4.5个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（ ）
A.6 B.12 C.72 D.144
C
升级会员 