2332 高等数学数学基础.docx
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2332高等数学数学基础
高等数学基础复习指导
注意:
1本次考试题型分为单选（20=4分*5填空（20=4分*5计算题（44=11分*4应用题（16=16分*1
2复习指导分为3个部分,第一部分配有详细解答,掌握解题方法,第二部分历年试题汇编,熟悉考试题型;第三部分中央电大今年的模拟真题,应该重点掌握。
3复印的蓝皮书大家要掌握第5页的样卷和29页的综合练习。
第一部分（详细解答
一.填空题
1
.函数ln（1
yx=
-
（40410121ln1011
xxxxxxxx+≥⎧≥-⎧⎪⎪
->⇒⇒>≠>⎨⎨⎪⎪-≠-≠⎩⎩
解:
且
2.函数y=
2
101
12224
xxxxx+>>-⎧⎧⇒⇒-<<⎨⎨-<<->⎩⎩解:
3.函数3
yx=
-
202
303xxxx+≥≥-⎧⎧⇒⎨⎨
-≠≠⎩⎩
解:
4.设2
（22fxx+=-,则（xf2
解:
设2xt+=,则2xt=-且原式2
（22fxx+=-
即（2
（22ftt=--=2
42tt-+
亦即（fx=2
42xx-+
4.若函数4
（1,
0（,
xxxfxkx⎧⎪
-≠=⎨⎪=⎩在0x=处连续,则k4-
（（（
（（（
（41
44
4
limlim1lim,lim1（0x
x
xxxf
xxxe
fkke
-⨯--→→→→-=-=-==∴==x0
函数fx在x=0连0续x则ff
5.曲线x
ye
-=在0x=处的切线方程为1yx-=-
曲线（yfx=在点（00,xy处的切线方程为（0
0x
yyyxx'-=-
解:
（
1x
xxye-=='
=-=-,0
0001xye===时,
1（0
1yxyx-=--⇒-=-,
6.函数ln（31
xyx+=
+的连续区间为（（3,1,1,---+∞。
初等函数在其定义区间连续。
ln（31
xyx+=
+⇒3010xx+>⎧⎨+≠⎩
⇒3x>-且1x≠-⇒
（（3,1,1,---+∞
7.曲线lnyx=在点（1,0处的切线方程为1yx=-。
（（
1
1
1
1ln1,
0111
xxxyxx
yxyx==='
'
==
=∴-=-⇒=-解:
8.设函数（ln2yfx=可导,则=dy1'（ln2fxdxx
解:
'dyydx==[]（ln2'fxdx=（'（ln2ln2'fxxdx=（1'（ln2
2'2fxxdxx
=（1'（ln2
2'2fxxdxx
=
1'（ln2fxdxx
9.（判断单调性、凹凸性曲线3
2
1233
yxxx=
-+在区间（2,3内是单调递减且凹。
解:
（（2
4331,230yxxxxxy''=-+=--<<<⇒当时,曲线下降
20yxy''''=⇒
>⇒-4曲线是凹的
10.设2
（1fxx=+,则='（（xff2
解:
（
2
'（1'2fxxx=+=,（（
2
2
（（22141ffxf
xxx'==+=+,
11.
13
1
（1cosxxdx--=⎰
解:
3
x是奇函数;1cosx和是偶函数,由于偶+偶=偶,则1cosx-是偶函数,因为奇⨯偶=奇,所以3
x
（1cosx-是奇函数,[]1,1-是对称区间
奇函数在对称区间上的积分为零12
.
11
（xxdx--=⎰23
。
解:
11
（xxdx--=
⎰
12
1
（xdx--=
⎰
112
1
1
xdx---
⎰
⎰
⨯偶=奇
故1
1
0-=⎰;
而2
x是偶函数,故
11
12
2
3
1
2223
3
xdxxdxx
-==
=
⎰
⎰
13.设（（Fxfx'=,则（ln3
fxx
=⎰
（ln3FxC+。
解:
（（11ln3ln3ln3xdxxdxdxxx
'
'=∴
==
（（1
（ln3ln3ln3ln3fxdxfxdxFxCx
=
=+⎰⎰
14.已知（（Fxfx'=,则
2
（1xfxdx-=⎰
（2
112
F
x
C-+。
解:
（（（（（2
2
2
2
2
1
1
1（1121112
2
2
xfxdxf
xxdxf
xdxFxC-=
-=
--=
-+⎰
⎰⎰
15.设（Fx为（fx的原函数,那么（sincosfxxdx=⎰
（sinFxC+
分析:
（Fx为（fx的原函数⇒（（fuduFuC=+⎰,cossinxdxdx=
解:
（（（sincossinsinsinfxxdxfxdxFxC=
=+⎰
⎰
16.设（fx的一个原函数是sinx,则（fx'=
解:
（fx的一个原函数为（Fx⇒（fx='（Fx⇒（fx'=（sin''x=（cos'x=sinx-17.0（cos2x
Fxttdt=
⎰
那么（Fx'=解:
（（
（xa
ftdt
fx'
=⎰
（
0
（cos2cos2x
Fxttdt
xx
'
'⇒=-=-⎰
18.
（
02
t
x
d
te
dtdx
-=⎰_______2x
xe
--__________。
解:
（
02t
x
d
te
dtdx
-=⎰（
20
xt
d
te
dtdx
--
=⎰2x
xe
--
19.设sin0
（xt
Fxe
dt-=
⎰
则（
2
Fπ
'=1
-
解:
（（sinsinsin12
2xt
x
Fxe
dt
e
Feeπ
π----'
⎛⎫''=
=⇒
==⎪⎝⎭
⎰
20.02cosxd
tdtdx
⎰2
解:
02
cosx
dtdtdx
⎰
=-
20
cosxd
tdtdx
⎰
=2
cosx-
二.选择题
1.下列函数中（B的图像关于坐标原点对称。
A.xlnB.cosxxC.sinxxD.x
a规律:
（11.奇偶函数定义:
（（（（（（,;fxfxfxfxfxfx-=--=是奇函数,是偶函数;
（2
.常见的偶函数:
2
24
3,,...,,cos,,xxxxx常数
常见的奇函数:
（
1
3
5
311,,,...,,sin,ln,ln
ln
11xxxxxxxxx
x
+-+
-+
常见的非奇非偶函数:
,,,lnxxx
x
aeae
x--;
（3.奇偶函数运算性质:
奇±奇=奇;奇±偶=非;偶±偶=偶;奇×奇=偶;奇×偶=奇;偶×偶=偶;（4.奇函数图像关于原点对称;偶函数图像关于y轴对称。
解:
A.非奇非偶;B.奇×偶=奇（原点;C.奇×奇=偶（y轴;D.非奇非偶2.下列函数中（B不是奇函数。
A.x
x
ee
--;B.sin（1
x+;C.xxcossin;D.（
lnx+
解:
A.奇函数（定义;B.非奇非偶（定义;C.奇函数（奇×偶;D.奇函数（定义
3.下列函数中,其图像关于y轴对称的是（A。
A.2
sin（1x-B.cosx
exC.x
x+-11ln
D.cos（1x-
解:
A.偶函数（y轴;B.非奇非偶（定义;C.奇函数（常见;D.非奇非偶（定义4.下列极限正确的是（B。
A.0
1lim
0x
xex
→-=B.3
3
11lim
31
3
xxx→∞
-=
+
C.sinlim
1xxx
→∞
=D.0
1lim（1x
xex
→+
=
解:
A错。
∵0x→,1x
e-~x∴0
1lim
x
xex
→-=0
lim
1xxx
→=;
B正确。
分子分母最高次幂前的系数之比;C错。
∵x→∞,
10x
→即
1x
是无穷小,sin1x≤即sinx是有界变量,∴sinlim
0xxx
→∞
=;
D错。
第二个重要极限应为1lim（1x
xex
→∞
+
=或1
lim（1xxxe→+=,其类型为1∞。
5.当1x→-时,（D为无穷小量。
A.
2
11
xx+-B.1sin
1x+C.cos（1x+D.ln（2x+
解:
A.2
1
1lim
1
xxx→-+-0
01
1
lim
2xx
→-=102
-
≠;
B.1x→-,10x+→,
11
x→∞+,1
1limsin
1
xx→-+不存在;
C.1x→-,cos（1cos01x+→=;D.1x→-,ln（2ln10x+→=。
6.下列等式中,成立的是（B。
A.222x
x
e
dxde
--=-B.3313x
x
e
dxde
--=-
C
d=D.
1
ln33dxdxx
=
解:
A.错,正确的应为222x
x
e
dxde
---=B。
正确,333x
x
e
dxde---=即3313
x
x
e
dxde
--=-
C
d=D.错,正确的应为13ln33dxdxx
=
7.设（xf在点0xx=可微,且0（0fx'=,则下列结论成立的是（C。
A.0xx=是（xf的极小值点B.0xx=是（xf的极大值点;C.0xx=是（xf的驻点;D.0xx=是（xf的最大值点;
解:
驻点定义:
设（fx在点0xx=可微,且0（0fx'=,则0xx=是（fx的驻点。
驻点为可能的极值点。
8..函数（lnfxx=,则3
（（3
lim
3
xfxfx→-=-（D。
A.3;B.ln3;C.
1x
;D.
13
解一:
3
（（3
lim
3
xfxfx→-=-（（
（3
3
3
1'3'l1n3
'
xxxffxxx
======
=
解二:
3
（（3
lim
3
xfxfx→-=-3
lnln3lim
3
xxx→--0
031
1
13
limxx→=9.设（sinfxx=,则0
（lim
xfxx
→=（B
。
A.0;B.1;C.2;D.不存在
（0
sin:
lim
lim
1xxfxxxx
→→==解一
（（（
sin0:
lim
lim
sincos10
xxxxfxxxxx
x==→→-'
====-解二
10.曲线3
2
391yxxx=--+在区间（1,3内是（A。
A.下降且凹B.上升且凹C.下降且凸D.上升且凸解:
（（（2
2
369323331,
13,06613,0yxxxxxxxyyxxy'=--=--=-+'<<<''=''<<>在任取一点x带入可知,曲线下降-,
在中任取一点x带入可知,曲线是凹的
11.曲线x
yex=-在（0,+∞内是（B。
A.下降且凹;B.上升且凹;C.下降且凸;D.上升且凸解:
（''1
0'0''0''0x
x
x
yexexyye
xy=-=->>=>>曲线当时上升,,当时,,曲线是凹的
12
.曲线y=（1,2M处的法线方程为（B。
A.2（1yx-=-;B.2（1yx-=--;C.22（1yx-=--D.11（22
yx-=
-
规律:
曲线（yf
x=在x=0x处的法线方程为（（
（0001yfxxxfx-=-
-'
解:
（
yf
x==（
（
''fx==
（
1
'11f==
=
故法线方程为B.2（1yx-=--;13.下列结论中正确的是（C。
A.函数的驻点一定是极值点B.函数的极值点一定是驻点C.函数一阶导数为0的点一定是驻点D.函数的极值点处导数必为0
解:
驻点定义:
设（fx在点0xx=可微,且0（0fx'=,则0xx=是（fx的驻点。
驻点为可能的极值点。
14
.设函数（cos
fx==（xdf（A
。
A
;B
.
;C
.-
;D
解:
（
（coscos
'si'n
dfxddxdx===-
-=
15.当函数（fx不恒为0,,ab为常数时,下列等式不成立的是（B。
A.（（（xfdxxf='⎰B.
（（xfdxxfdxd
b
a
=⎰
C.cxfdxxf+='⎰（（D.（（（afbfxfdba
-=⎰解:
A.成立,（
（（fxdxfx'=⎰
为不定积分的性质;
B.不成立,（ba
fxdx=⎰
常数,而常数的导数为零;
C.成立,
（（fxdxfxc'=+⎰
为不定积分的性质;
D.成立,
（（（ba
dfxfbfa=-⎰
为牛顿-莱布尼兹公式。
16.设函数（xf的原函数为（Fx,则2
1
1
（fdxx
x
=⎰（A。
A.1
（
FCx-+;B.（FxC+;C.1
（FCx
+;D.1
（fCx+解:
函数（fx的原函数为（Fx⇒（（fuduFuC=+⎰,21
1dxd
x
x
-=
2
1
1（fdxx
x=⎰2111（11fdxfdxxxxFCx⎛⎫⎛⎫--=-=⎪⎪⎝⎛⎫
-+⎪⎝⎭⎝⎭
⎭⎰⎰17.下列无穷积分为收敛的是（B。
A.
sinxdx+∞⎰
B.
02x
edx-∞
⎰
C.012
x
e
dx--∞
⎰
D
.1
+∞⎰
规律:
⑴
1,1（0
1,a
dxx
α
ααα+∞≤>>⎰
发散收敛
⑵
00,,
0,px
pe
dxp--∞
≤>⎰
收敛发散
⑶
sina
xdx+∞⎰、cosa
xdx+∞⎰
发散
⑷0
0,,N
0,npx
pxe
dxnp+∞-≤∈>⎰
发散收敛
解:
A.
sinxdx+∞⎰
;B.20p=-<,收敛;C.10p=>,发散;D.112
α=
≤,发散
18.下列无穷积分为收敛的是（C。
A.
2
1
xdx+∞⎰
B
.1
+∞⎰
C.
2
1
xdx+∞-⎰
D.
2
1
x
edx+∞⎰
解:
A.发散;B.发散;C.收敛;D.发散;三.计算题
1、求极限1241lim41x
xxx-→∞
-⎛⎫⎪+⎝⎭
2、求极限24lim43x
xxx→∞
⎛⎫
⎪+⎝⎭
解:
∵
414122141
41
41
xxxxx-+--=
=+
+++解:
∵
44333143
4343
xxxxx+--=
=+
+++
（212lim
41
xxx→∞--+=132lim
43
xxx→∞
-⋅+3=-2
∴原题=e∴原题=32
e-
3、求极限0
1lim
ln（1
x
xexxx→--+解:
∵0x→,（ln1x+~x,1x
e-~x
∴原题=0
1lim
x
xexxx
→--⋅（
（
2
1lim
x
xe
xx→'
--'
=0
1lim
2x
xex
→-0
lim
2
x
xe
→=
12
4
、求极限0
lim
x→解:
∵0x→,sin3x~3x
1~2x-
∴原题=0
3lim
2xxx
→-=32
-
5、求极限2
ln（13lim
sin2xxxx
→-解:
∵0x→,2ln（13x-~2
3x-,sin2x~2x
∴原题=2
3lim
2xx
xx
→-⋅=32
-
6、求极限sin20
1
lim
tan4x
xe
x
→-
解:
∵0x→,sin21x
e
-~sin2x~2x,tan4x~4x∴原题=0
2lim
4xxx
→=
12
7、设函数3
ln（2yxx=-,求dy解:
（
（3
3
''ln（2ln2'yx
xxx=-+-⎡⎤⎣⎦（2313ln（22'2xxxxx
=-+⋅--3
2
3ln（22x
xxx
=--
-
dy3
23ln（22xxxdxx⎡⎤-⎢⎥-⎣
⎦=-
8
、设函数（
cosx
yxe
=-,求dy。
解:
3
cos22x
yxe
x=-
（3
cos2
''2'x
yxe
x⎛⎫=-⎪⎝
⎭
（1
coscos2'3xx
e
xex=+-（1coscos2cos'3xxexexx=+-1
coscos2sin3x
x
e
xxe
x=--
dy1
coscos2sin3x
x
exxexdx⎛⎫--⎪⎝
⎭
=9、设函数2
1
2
cos（ln2xyxee-=++,求dy。
解:
（
2
1
2
cosln2xyxe
e
-'
'=++
（（
（2
1
2
cosln2xxe
e-'
''=++
（（2
1
2
sinln2ln210xxxe
x
-'
'=-+-+
（（2
1
1sinln2222x
xxexx
-'=-+⋅
2
1
sinln2xxxe
x
-=-
+
21sinln22xxxyxdedx-⎛⎫
+⎪⎝⎭
=-
10、设函数32x
e
yx
=
-,求dy。
（（（（（（（（3333322
22321222xxxxxexexexxeeyxxx''''------⎛⎫
'===⎪---⎝⎭
解:
（（
332
322x
x
e
xex-+=
-
（（
332
322x
x
e
xdeydxx-+-=
11、设函数sin3cos1
xyx=+,求dy。
解:
（（（（
2
sin31cossin31cossin31cos1cosxxxxx
yx
x'''+-+⎛⎫
'==
⎪+⎝⎭+（（（
（2
cos331cossin3sin1cosxxxxxx'+--=
+
（（
2
3cos31cossin3sin1cosxxxx
x++=
+
（（
23cos31cossin3sin1cosdxxxx
dxxy+++=
12、计算不定积分
2
sin
2
xxdx⎰
2
:
x解2x20
+si2x2co2x-4-si2
x
8co2
x
2
si2
xxdx⎰
=22cos8sin16cos222xxxxxC-+++
13、计算不定积分
3x
xe
dx-⎰解:
x10
+—
3x
e
-313
x
e
--
319x
e
-
3x
xe
dx-⎰
=313
x
xe
--
319
x
e
C--
+
四、应用题
1、要做一个有底无盖的圆柱体容器,已知容器的容积为4立方米,试问如何选取底半径和高的尺寸,才能
使所用材料最省。
解:
设圆柱体底半径为r,高为h,
则体积2
4Vrhπ==2
4
hr
π⇒=
材料最省即表面积最小
表面积S=
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