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第一章补充数论
引言
自然数虽然逐渐失去了它和宗教迷信及神秘主义的联系，但是数学家对它的兴趣丝毫也没有减退，欧几里得（约公元前300年）大概是对数论作了最初贡献的人（他的出名是由于在他的《原本》中有一部分内容构成了中学教程几何学的基础，虽然他的几何学的大部分内容只不过是前人工作的一个总结）.亚历山大城的一个早期丢番都（Diophantus）（约公元275年），留下了他关于数论的著作，费尔玛（P.Fermat）（1601—1665），土伦的一个法官，她那时代最伟大的数学家之一，是近代数论的开创者.欧拉（Euler）（1707—1783），最多产的数学家，在他的研究中有相当多的是数论方面的工作。
在数学杂志上很出名的勒让德（Legendre），狄里赫莱（Dirichlet），黎曼（Riemann）也可以列入这个名单中。
高斯（Gauss）（1777—1855），是近代第一流的数学家，在数学的许多不同的分支都有他的贡献；据说他用下面的话表示他对数论的看法：
“数学是科学的皇后，而数论是数学的皇后。
”
&1素数
1．基本事实
数论中的多数命题（如同数学是一整体那样）不是涉及单个对象（例如数5或数32），而是涉及某些有共同性质的一类对象，例如，全体偶数集，
，···，
或全体能用3整除的整数集，
，···，
或所有整数的平方集，
，···，
等等。
在数论中，最基本的、最重要的一类数是素数。
大多数整数能分解成较小的因子：
，等等。
人们都知道，不能这样分解的数就是素数。
更确切的说，一个大于1的正整数，它除了1和它本身外没有因子，就称它是素数。
（如果有某个整数使得，则称整数是整数的因子或除数。
）3,17，···这些数是素数，而，比如说，12就不是，因为。
素数的重要性在于这一事实：
每一个整数都能表示为素数的乘积。
如果一个数本身不是素数，那么可以不断地对它进行因子分解，一致到所有的因子都是素数为止。
例如，360=3·120=3·30·4=3·3·10·2·2=3·3·5·2·2=··5.一个整数（除了0和1）如果不是素数，就称为是合数。
对于素数，最初所产生的一个问题是：
究竟只有有限个不同的素数，还是素数包含无穷多个元素，如同全体正整数那样（虽然素数知识正整数的一部分）。
回答是：
有无穷多个素数。
关于素数有无穷多个的证明（它是由欧几里得给出的）至今仍然是数学推理的一个典范。
这是用“反证法”来进行的。
我们从一个尝试性的假设出发，即认为这定理是不对的。
也就是说假定只有有限多个素数，也可能很多——十亿或者更多——用一般的、非确定性的方式来表示，记为有个。
采用下标的写法，我们可以用，，···，来表示这些素数。
其它任何一个数都是复合数而且素数，，···，中至少有一个能整除它。
我们现在构造一个数，让它比，，···，中任何一个都大，从而与它们中的任何一个都不同，又让它不能被，，···，中的任一个整除，因而产生矛盾。
这数是
。
即我们所假设的所有素数的乘积再加上1。
比这些中的任一个都大，因而必须是合数。
但用，等去除总是余1，因而这些不是的因子。
这是由我们当初的假设（仅有有限个素数）而导致的矛盾。
因而这假设只能被看成是荒谬的，从而它的反面必然是正确的、定理证完。
虽然这个证明用的是反证法，但稍加修改一下，至少在理论上可给出一个，能够成无穷多个素数的方法。
我们从任一素数开始，例如=2，假设我们已经构造出了个素数，，···，,这时，我们看数，或者它本身是一个素数，或者它有一个素数因子，而且这个素数因子不同于已造出的那些素数。
由于这个因子总能通过直接试验来确定，因而我们保证在任何情形下都至少能找出一个新的素数。
照这个方法进行下去，我们看到可构造的素数序列决不会终止。
习题：
从，开始，进行这种构造，找出5个以上的素数。
当一个数已被表示成素数的乘积后，我们可以用任意的次序来排列这些素数因子。
稍有一点经验就可知道，除了次序可任意排列外，一个数的素数因子分解是唯一的。
每一个比1大的整数只能有一种方式分解成素数的乘积。
这命题初看起来似乎是如此明显，以至于人们一半都倾向于承认它。
但它绝不是不证自明的，而且这证明（虽然完全是初等的）要求某些细致的推理。
有欧几里得给出的这个“算术基本定理”的古典证明，它比较简短，但与欧几里得的相比可能有更多的推理。
这是反证法的一个典型的例子。
我们将假设存在一个整数，它有两种不同的素数分解，然后从这假设出发导出一个矛盾。
于是表明“存在一个有两种根本不同的素数因子分解的整数”的假设是不对的。
因此每一个整数的素数分解是唯一的。
如果存在一个能分解为两种根本不同的素数乘积的正整数，则这样的正整数中必有一个是最小的（见第18页）
，
（1）
这里的，等都是素数。
通过重新安排及的次序（如果需要的话），我们可以认为
，。
现在不能等于。
因为如果相等，我们能从等式
（1）的每一边消去第一个因子得到一个小于有两个根本不同的素数因子分解的整数，这与的选择（为有这种可能的最小正整数）相矛盾。
因此，或者<，或者<.假设<（如果<，我们只需简单的调换下面讨论的字母即可），我们构造一整数
。
（2）
把
（2）中的m用等式
（1）中的两个表达式代入，我们可以把写成
，（3）
和
，（4）
由于，从（4）知是一个正整数，而从
（2）只是小于的。
因此的素数分解，除了因子次序外，必须是唯一的。
但从（3）知道素数是的因子（这从的素数分解的唯一性得出，见下一段的论证）。
因此由于所有都比大，这后一情形是不可能的。
因此必须是的因子，这样就有某个整数使
或
这表明是的一个因子，与是素数这一事实矛盾。
这矛盾表明我们最初的假设是站不住脚的，因而完全证明了这个算术基本定理。
这基本定理的一个重要推论是：
如果一个素数是乘积的因子，则必须或是的因子，或是的因子。
因为如果既不是的因子，也不是的因子，那么把和素数分解后在相乘，得到整数的一种素数分解，其中不包含。
另一方面，由于是的因子，故存在一整数使
因此，乘以的素数分解，将是包含的素数分解，这与的素数分解是唯一的这个事实矛盾。
例：
如果人们证实了13是2652的一个因子。
以及2652=6·442，就可以得出13是442的因子这一结论。
但另一方面，6是240的一个因子而且240=15·16，但6既不是15，也不是16的因子。
这表明是素数这个假设是不可缺少的。
习题：
为了找出任一数的所有因子，我们只需把分解为乘积
，
其中是不同的素数，每一个有某次幂。
的所有因子是这样的数
，
其中β是满足下列不等式的任意整数：
，，···，，
试证明这个命题。
作为一个推论，在证明的不同因子（包括因子和1）的个数有乘积
给出。
例如
有5·3个因子，他们是44.
2.素数的分布
对于任意给定的自然数，之前的素数表可以这样得到：
按大小顺序把所有比小的自然数列出，然后划掉所有是2的倍数的那些数，在剩下的里面在划掉哪些3的倍数，一直这样做下去，直到所有的复合数都被划掉。
这过程（就是人所熟知的“爱拉托塞姆（Eratosthems）筛法”）将留下以前的素数。
对上述方法加以改进后，所有小于以前的素数表已逐渐的被计算出来了。
这些表给我们提供了关于素数的分布和性质的大量经验数据。
在这些表的基础上，我们能做出许多很可能是正确的猜想（好像数论是一门实验科学那样），但它们的证明通常十分困难。
a.素数公式的产生
人们一直想找出一个只产生素数的简单算数公式，即使它只能给出部分素数也可以。
费尔玛作了一个有名的猜想（但不是肯定的断言）：
所有形如
的数是素数。
实际上对=，我们有
，
，
，
，
全是素数。
但在1732年欧拉发现可以因子分解，因此不是素数。
后来又发现不少这种“费尔玛数”是合数；对每一种情形都要求比较高深的数论上的方法，因为直接实验有难以超越的困难。
甚至至今还没有能证明时是否存在一个是素数。
另一个能产生许多素数的有名的简单公式是
对n=1,2，···，40，是一个素数，但对于n=41，我们有=41*41，这不再是一个素数。
表达式
，
当从1一直到79时都得出素数，但当是就不是素数了。
总的来说，求出一个仅产生素数的简单表达式的努力一直徒劳无功。
试图求出一个得出所有素数的代数表达式更是希望渺茫。
b.等差级数中的素数
虽然证明全体自然数序列，···中有无穷多个素数是简单的，但当我们把它推广到像，···或，···这样的序列，或更一般的，任意一个等差级数，+，+，···，+，···时（这里和没有公因子），问题就很困难了。
所有的观察都指出这一事实：
在每一个这样的级数中都有无穷多个素数，恰如在最简单的情形1,2,3，···中那样。
证明这个一般性的定理要付出极大的努力。
十九世纪第一流的数学家之一狄里赫莱（1805—1859），利用当时所知道的最先进的数学分析工具才取的完全的成功。
他那篇关于这个问题的原著，即使到现在仍然是数学中最突出的成就之一。
即使到了一百年后的今天，对于那些在微积分和函数论的技巧上没有足够训练的学生来说，这个定理没简化到能使它们理解的程度。
虽然，我们不能证明狄里赫莱的一般定理，但是可以很容易的把欧几里得关于有无穷多素数的证明推广到某些特殊的等差级数，例如和。
为了证明前一种情形，我们注意任何大于2的素数嗾使奇数（否则它将被2整除），因而素数必是或等于或等于的形式。
其次，两个形式的数的乘积仍是的形式，这因为
现在假设只有有限个形式的素数，，···，考虑数
或者本身是一素数，或者它能分解为一些素数的乘积，这时这些素数中没有一个是，，···，因为用他们除余-1.其次，N的所有素数因子不能都是形式的，因为不是这种形式的，因而我们已经看到，形式的数的乘积仍是这种形式。
因此，至少有一素数因子必须是的形式，而这是不能的，因为我们假设所有的形如的素数只是这些，而他们没有一个是的因子。
因此如果假设形式的素数个数是有限的，将引出矛盾，所以这样的素数必须是无限个。
习题：
对级数证明相应的定理。
C．素数定理
在研究素数分布所服从的规律时，数学家不再徒劳的试图去求一个产生所有素数的简单公式，或求前个自然数中所有素数个数的简单公式，而是去寻求在自然数中平均的信息。
对自然数，让我们用表示整数1,2,3，···，中素数个数。
如果我们在前面一些自然数中的素数下边划上线：
12345678910111213141516171819···，则我们能算出的前几个值：
，，,,
,,,,等等。
如果我们现在取为某个无限递增的序列，比如说
则其相应的的值是
，，，，···，
它也无限增加（虽然比较慢）。
由于我们知道有无穷多个素数，所以的值或早或晚将超过任何一个有限数。
令比值表示前个自然数中的素数的“密度”。
由素数表可以用实验的办法算出相当大是的值
0.168
0.078498
0.
············
表中最后一个数可以看成是由前个自然数中随机的取一个自然数而它恰好是素数的概率，这是因为有种可能选择，其中有个是素数。
在自然数中单个的素数分布是极不规则的。
但如果我们把注意力集中于有比值给出的素数平均分布时，不规律性就消失了。
这个比值所服从的简单规律，是整个数学中最著名的发现之一。
为了叙述素数定理，我们必须定义自然数的“自然对数”。
为此，我们在平面上取两个垂直的坐标轴，考虑平面上到二轴的距离，的乘积等于1的点的轨迹。
利用坐标和，可知这条轨迹是由方程定义的等边双曲线。
我们现在定义为图5中由双曲线、轴及两条竖直线.所围成的面积（在第八章将更为细致的讨论对数）。
通过对数表的试验和观察，高斯看到比值近似等于，而且越大这个近似就越好。
近似的好坏程度使用比值来衡量的。
对
，它的值在下表给出：
0.1680.1451.159
0.0784980.0723821.084
0.0.1.053
············
y
1
图5定义为双曲线下阴影部分面积
根据这个试验，高斯猜想：
比值“逐渐等于”。
就是说，如果我们把的值取成一个越来越大的序列，比如像前面那样的取等于
10，，，，···，
则和的比
，
当逐次用的值代入计算后，将越来越接近于1.而且只要取得足够大，这比值与1的差，我们要他多小就能有多小。
这结论在符号上用来表示：
表示当增加时趋于1.
这不能用普通的=来代替，这从下一点就能看清楚：
总是一个整数，而就不是。
素数分布的平均状态能用对数函数来描述，这是一个很引人注目的发现。
因为，两个似乎完全无关的数学概念在事实上竟有如此紧密的联系，这是很令人奇怪的。
虽然叙述高斯的猜想并不太难，但是要给出一个严格的数学证明，高斯所处的时代的数学远远不够的，这个定理只涉及最基本的概念，但其证明必须用到近代数学中最有力的方法。
数学分析发展了差不多一百多年后，才使巴黎的阿达玛（Hadamard，1896）和卢汶的瓦莱·布桑（delaVallePoussin，1896）给出素数定理一个完整的证明。
曼高尔德（V.Mangoldt）和朗道（Landau）作了简化和重要的改进。
早在阿达玛之前，黎曼（1826—1866）已做出了有决定意义的先驱性工作，他在一篇著名的文章中已经指出了解决这个问题的主要思路。
最近美国数学家维纳（N.Wiener）对证明作了一个改进，使得在证明推理的一个重要步骤上无需使用复数。
但即使对一个高年级的大学生来说，素数定理的证明也不是一件容易的事情。
在第482页之后，我们将再回到这个问题上来。
d.两个尚未解决的素数问题
虽然素数平均分布的问题已被满意的解决了，但还有其他许多被试验证实的猜想，迄今还不能证明他们是正确的。
其中有一个是有名的哥德巴赫猜想。
哥德巴赫（Goldbach，1690—1764）（除了1742年他在一封给欧拉的信中提出这个问题外，他在数学史上没什么地位）由试验观察到，任何一个偶数（除了2，它本身是一素数）都能表示为两个素数的和。
例如，4=2+2,6=3+3,8=5+3,10=5+5,12=5+7,14=7+7,16=13+3,18=11+7,20=13+7，···，48=29+19，···，100=97+3，等等。
哥德巴赫问欧拉：
能不能证明这对于所有偶数都是对的，或者至少找出一个反例来否定它。
欧拉没能给出答案，而且从那时以来没有一个人给出过会打。
对于每一个偶数能表示为两个素数的和这一命题，试验的结果是完全令人信服的，任何一个人都可以用大量的例子来验证它。
困难的原因是：
素数使用乘法来定义的，而这一问题涉及的是加法。
一般来说，在自然数的乘法性质和加法性质之间建立联系是困难的。
直到不久前，哥德巴赫猜想的证明似乎还是完全无法进行的。
但今天看来不再是不能解决得了。
1931年，当时一个不知名的年轻的苏联数学家斯尼尔曼（Schnirelmann，1905—1938）取得了一个完全没料想到的成就，它使所有的专家都感到吃惊。
他证明了每一个正整数能表示成不超过300000个素数之和。
虽然与哥德巴赫猜想当初的目标来比，这个结果是很可笑的，但它毕竟是迈向这个目标的第一步。
这是一个直接、构造性的证明，虽然对任意的正整数的素数分解，它并没有提供任何实际的方法。
再近一些，苏联数学家维诺格拉托夫（Vinogradoff），用了哈代（Hasrdy）、力特伍德（Littlewood）和他俩的合作者印度人拉马妞加（Ramanujan）的方法，成功的把个数有300000减为4.这比较接近于哥德巴赫问题的解决，但在斯尼尔曼的结论和维诺格拉托夫的结论之间还存在一个重大的差别，这可能比300000和4之间的差别更大。
维诺格拉托夫的定理只对“充分大”的自然数成立；更确切的说，它证明了，存在一个正整数，对任意的正整数，都能表示为不超过4个素数之和。
维诺格拉托夫的证明能告诉我们怎样确定这个，它与斯尼尔曼的定理相反，本质上是一个间接的、非构造性的证明。
维诺格拉托夫实际上证明了：
假设有无穷多个整数不能分解为最多4个素数之和，就会产生一个荒谬的结果。
在这里，我们找到了一个很好的例子，表明两种证明方法（直接的方法和反证法）之间的深刻差别（一般讨论见86页）。
另一个甚至比哥德巴赫问题更引人注目的问题，却还没有一点解决的途径。
人们早就注意到，素数经常以和的形式成对出现，例如3和5,11和13,29和31等等。
人们相信“存在无穷多个这样的素数对”的命题是对的，但至今在解决这个问题的方向上，还根本谈不上有什么办法。
&2同余
1.一般概念
只要碰到用一个固定的整数去除整数的问题，“同余”的概念和记法（高斯所创）将使推理简单而清楚。
为了引进这个概念，然我们检查一下当整数被5除时剩下的余数。
我们有
0=0·5+07=1·5+2-1=-1·5+4
1=0·5+18=1·5+3-2=-1·5+3
2=0·5+29=1·5+4-3=-1·5+2
3=0·5+310=2·5+0-4=-1·5+1
4=0·5+411=2·5+1-5=-1·5+0
5=1·5+012=2·5+2-6=-2·5+4
6=1·5+1等等等等
我们看到任一整数被5除时，剩下的余数是0,1,2，3,4这五个中的一个。
如果两个整数和被5除有相同的余数，我们称它们是“模5同余”的。
例如，···，-3，-8，-13，-18，···都是模5同余的，因为它们的余数是2.一般的说，如果整数和用除有相同的余数，即如果有一整数是成立（这里是一固定整数），我们就说和是模同余的。
例如27和15是模4同余的，因为
27=6·4+3，15=3·4+3.
由于同余的概念很有用，因此人们希望对它给出一个简单的记法。
我们用
，
来表示和是模同余的这件事。
如果对模数不存在的疑问，公式中的“”可以略去（如果不是和模同余的，我们记）。
在日常生活中，同余的概念是经常出现的。
例如，一个钟的指针，它表示的小时数是模12同余的；一个汽车的里程表，它给出的行程总数是模100000同余的。
在对同余进行细致讨论前，读者应该认识到下面的命题都是等价的：
（1）和是模同余的。
（2）存在某个整数，是。
（3）整除。
高斯的同余记法所以有用是因为：
对于一个固定的模来说，在形式上同余式包含有许多普通等式的性质。
关系式在形式上最重要的性质如下：
1）恒有、
2）如果，则。
3）如果，，则。
再有，如果,则
4）.
5）.
当关系式用同余关系代替时，这些性质仍成立。
因而
恒有。
如果，则。
如果，，则。
这些事实的简单验证留给读者去证。
其次，如果，，则
.
.
.
因此对于相同的模，同余式可以加、减、乘。
为了证明后三个命题，我们只需注意，如果
，，
则
，
，
，
从这即得出所需要的结论。
同余的概念有一个很能说明问题的几何解释。
通常，如果我们希望在几何上表示整数，我们就选择一个单位长线段并在这线段的两端以其倍数向外延展。
用这种办法，对于每一个整数，我们能在直线上找出一点，如图6.
-3-2-10123
图6整数的几何表示
但当我们处理模的整数时，仅就其被除后的性质而论，因为同余的数有相同的余数，所以我们把任意两个同余的数认为是相同的。
为了在几何上说明这一点，我们利用一个圆并把它分成等分。
任一整数被除时，剩下的余数是0,1,2,···，这个数中的一个。
这个数间隔相等的安置在这圆的圆周上。
每一个整数都与这些数中的一个是模同余的，因此在几何上用这些点中的一个来表示。
如果两个数用同一个点表示，它们就是同余的。
图7画出了的情形。
图7模6的整数的几何表示
钟的表盘就是日常生活中的一个例子。
我们用一个例子来看同余式乘积性质的用处。
当10的各阶幂级一定给素数整除时，我们可以确定这个余数。
例如，因为10=-1+11，所以。
连续的用这个同余式乘它自己，我们的到
，
，
，等等。
从这我们能表明，任何一个（在十进制系统中的表示的）整数
，
被11除后的余数，与它的数码交替变号求和
被11除后的余数是一样的。
因为我们有
，
而11，，，···所有这些数每一个和0都是模11同余的，因此也是这样。
所以被11除与被11除有相同的余数。
特别的介绍，一个数能被11整除（即余数是0）当且仅当它的数码交替变号之和能被11整除。
例如，由于3-1+6-2+8-1+9=22，数能被11整数。
找一个被3或9整除的更简单，因为，因此对任意的都成立。
故知一个数被3或9整除当且仅当它的数码之和
也同样相应的被3或9整除。
对于模7同余，我们有
，，，，，。
再接下去的余数是上面的重复，因此被7整除当且仅当表达式
被7整除。
习题：
找一个被13整除的类似规则。
对于一个固定的模，例如，当同余式进行加、乘时，对任何一个数我们总可以从
这集合中找出与它同余的数来替代它，因而使我们涉及的数不会太大。
因此为了计算以5为模的整数的和与积。
我们仅需要如下的加法表及乘法表
0123401234
001234000000
112345101234
223401202413
334012303142
440123404321
从这第二个表可以看出，只有当或是时，乘积才与同余。
由此得出一般规律。
6）仅当或时，有。
它是整数的普遍规律：
仅当或时，这一命题推广。
注意，只有当模是一素数是，规律7）才成立。
因为同余式
意味着整除，而且我们看到，一个素数只有当它整除或时，即仅当
或，
它才整除乘积。
如果不是素数，这规律不一定成立。
因为这时我们能记，这里和小于，于是
，
但。
例如，，但。
习题：
说明下面的消去率对素数的模的同余式成立：
如果，且，则。
习题：
1）和之间那一个数的乘积模同余？
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