高考数学一轮复习专题31数列求和教学案文.docx

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高考数学一轮复习专题31数列求和教学案文

专题31数列求和

1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；

2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法。

1．求数列的前n项和的方法

（1）公式法

①等差数列的前n项和公式

Sn＝

＝na1＋

d．

②等比数列的前n项和公式

（ⅰ）当q＝1时，Sn＝na1；

（ⅱ）当q≠1时，Sn＝

＝

.

（2）分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．

（3）裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．

（4）倒序相加法

把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．

（5）错位相减法

主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．

（6）并项求和法

一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝

（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解．

例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝（100＋99）＋（98＋97）＋…＋（2＋1）＝5050.

2．常见的裂项公式

（1）

＝

－

.

（2）

＝

.

（3）

＝

－

.

高频考点一　分组转化法求和

例1、（2016·天津卷）已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N＋），且

－

＝

，S6＝63.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N＋，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{（－1）nb

}的前2n项和.

（2）由题意，得bn＝

（log2an＋log2an＋1）＝

（log22n－1＋log22n）＝n－

，

即{bn}是首项为

，公差为1的等差数列.

设数列{（－1）nb

}的前n项和为Tn，则

T2n＝（－b

＋b

）＋（－b

＋b

）＋…＋（－b

＋b

）

＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n＝

＝2n2.

【方法规律】

（1）若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和.

（2）若数列{cn}的通项公式为cn＝

其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{an}的前n项和.

【变式探究】

（1）数列1

，3

，5

，7

，…，（2n－1）＋

，…的前n项和Sn的值等于（　　）

A.n2＋1－

B.2n2－n＋1－

C.n2＋1－

D.n2－n＋1－

（2）数列{an}的通项公式an＝ncos

，其前n项和为Sn，则S2016等于（　　）

A.1008B.2016C.504D.0

解析　

（1）该数列的通项公式为an＝（2n－1）＋

，

则Sn＝[1＋3＋5＋…＋（2n－1）]＋

＝n2＋1－

.

（2）a1＝cos

＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….

所以数列{an}的所有奇数项为0，前2016项的所有偶数项（共1008项）依次为－2，4，－6，8，…，－2014，2016.

故S2016＝0＋（－2＋4）＋（－6＋8）＋…＋（－2014＋2016）＝1008.

答案　

（1）A　

（2）A

高频考点二　错位相减法求和

例2、（2016·山东卷）已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）令cn＝

.求数列{cn}的前n项和Tn.

又Tn＝c1＋c2＋…＋cn.

得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋（n＋1）×2n＋1].

2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋（n＋1）×2n＋2].

两式作差，得

－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－（n＋1）×2n＋2]

＝3×

＝－3n·2n＋2.

所以Tn＝3n·2n＋2.

【方法规律】

（1）一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解；

（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.

【变式探究】已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2－5x＋6＝0的根.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求数列

的前n项和.

则Sn＝

＋

＋…＋

＋

，

Sn＝

＋

＋…＋

＋

.

两式相减得

Sn＝

＋

－

＝

＋

－

.

所以Sn＝2－

.

高频考点三　裂项相消法求和

例3、Sn为数列{an}的前n项和.已知an>0，a

＋2an＝4Sn＋3.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝

，求数列{bn}的前n项和.

解　

（1）由a

＋2an＝4Sn＋3，

可知a

＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.

可得a

－a

＋2（an＋1－an）＝4an＋1，

即2（an＋1＋an）＝a

－a

＝（an＋1＋an）（an＋1－an）.

由于an>0，可得an＋1－an＝2.

又a

＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1（舍去）或a1＝3.

所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为

an＝2n＋1.

（2）由an＝2n＋1可知

bn＝

＝

＝

.

设数列{bn}的前n项和为Tn，则

Tn＝b1＋b2＋…＋bn

＝

＝

.

【方法规律】

（1）利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.

（2）将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.

【变式探究】设Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S3＝a7，a8－2a3＝3.

（1）求an；

（2）设bn＝

，求数列{bn}的前n项和为Tn.

∴bn＝

＝

.

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn－1＋bn

＝

＝

＝

－

.

【举一反三】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S

＝an

.

（1）求Sn的表达式；

（2）设bn＝

，求{bn}的前n项和Tn.

∴

＝1＋2（n－1）＝2n－1，∴Sn＝

.

（2）∵bn＝

＝

＝

，

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝

[（1－

）＋（

－

）＋…＋（

－

）]＝

＝

.

1.【2016高考山东理数】（本小题满分12分）

已知数列

的前n项和Sn=3n2+8n，

是等差数列，且

（Ⅰ）求数列

的通项公式；

（Ⅱ）令

求数列

的前n项和Tn.

【答案】（Ⅰ）

；（Ⅱ）

.

【解析】

（Ⅰ）由题意知当

时，

，

当

时，

，

所以

.

设数列

的公差为

，

由

，即

，可解得

，

所以

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

，

又

，

得

，

，

两式作差，得

所以

【2015江苏高考，11】数列

满足

，且

（

），则数列

的前10项和为

【答案】

【2015高考天津，理18】（本小题满分13分）已知数列

满足

，且

成等差数列.

（I）求

的值和

的通项公式；

（II）设

，求数列

的前

项和.

【答案】（I）

;（II）

.

当

时，

，

当

时，

，

所以

的通项公式为

【2015高考四川，理16】设数列

的前

项和

，且

成等差数列.

（1）求数列

的通项公式；

（2）记数列

的前n项和

，求得

成立的n的最小值.

【答案】

（1）

；

（2）10.

（2）由

（1）得

.

所以

.

由

，得

，即

.

因为

，

所以

.

于是，使

成立的n的最小值为10.

【2015高考新课标1，理17】

为数列{

}的前

项和.已知

＞0，

=

.

（Ⅰ）求{

}的通项公式；

（Ⅱ）设

求数列{

}的前

项和.

【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）当

时，

，因为

，所以

=3，

当

时，

=

=

，即

，因为

，所以

=2，

所以数列{

}是首项为3，公差为2的等差数列，

所以

=

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

=

，

所以数列{

}前n项和为

=

=

.

1．（2014·江西卷）已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）满足

anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.

（1）令cn＝

，求数列{cn}的通项公式；

（2）若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.

2．（2014·全国卷）等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝

，求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】

（1）由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．

又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，

于是10＋3d≥0，10＋4d≤0，

解得－

≤d≤－

，

因此d＝－3.

故数列{an}的通项公式为an＝13－3n.

（2）bn＝

＝

.于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝

＋

＋…＋

＝

＝

.

3．（2014·山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝（－1）n－1

，求数列{bn}的前n项和Tn.

【解析】

（1）因为S1＝a1，S2＝2a1＋

×2＝2a1＋2，

S4＝4a1＋

×2＝4a1＋12，

由题意得（2a1＋2）2＝a1（4a1＋12），解得a1＝1，

所以an＝2n－1.

当n为奇数时，

Tn＝

－

＋…－

＋

＝1＋

＝

.

所以Tn＝

4．（2013·江西卷）正项数列{an}的前n项和Sn满足：

S

－（n2＋n－1）Sn－（n2＋n）＝0.

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）令bn＝

，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：

对于任意的n∈N*，都有Tn<

.

【解析】

（1）由S

－（n2＋n－1）Sn－（n2＋n）＝0，得

[Sn－（n2＋n）]（Sn＋1）＝0.

由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.[

于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－（n－1）2－（n－1）＝2n.

5．（2013·湖南卷）设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝（－1）nan－

，n∈N*，则

（1）a3＝________；

（2）S1＋S2＋…＋S100＝________．

【解析】

（1）－

（2）

　[解析]

（1）因Sn＝（－1）nan－

，则S3＝－a3－

，S4＝a4－

，解得a3＝－

.

（2）当n为偶数时，Sn＝an－

，当n为奇数时，Sn＝－an－

，可得当n为奇数时an＝－

，

又S1＋S2＋…＋S100＝

＋

＋…＋

＋

＝－a1＋a2＋…－a99＋a100－

＝S100－2（a1＋a3＋…＋a99）－

＝S101－a101－2

－

＝－

－

＋2×

－

＝－

＝

.

6．（2013·山东卷