x+1一x31
解析•••00.•x（3—3x）=3x（1—x）<3—2=4.当x=1—X,即卩x=2时取等号.答案B
10.已知x>0,a为大于2x的常数，求函数y=x（a—2x）的最大值；
112x+a—2x
解：
Tx>0,a>2x,「・y=x（a—2x）=^x2x（a—2x）<齐2
2
oaa
2=，当且仅当x=:
时取等号，故函数
84
2的最大值为g.
题型三：
利用基本不等式求最值
2
t—4t+1
2.已知t>0,则函数y=——t的最小值为.
.2丄
t一4t+11
解析tt>0,「.y=t一=t+~—4>2—4=—2，且在t=1时取等号.答案一2
2x
例：
当x>0时，贝yf（x）=^^的最大值为
x+1
2x221
解析：
•••x>0,.・.f（x）=2=1,当且仅当x=x,即x=1时取等号.
x+一
x
/2只/
1x3x-+1
例1:
（1）求函数f（x）=+x（x>3）的最小值；
（2）求函数f（x）=（x>3）的最小值;
x—3x—3
思维突破：
（1）“添项”，可通过减3再加3,利用基本不等式后可出现定值.
（2）“拆项”，加形式.
把函数式变为y=
1
（1）x>3,•x—3>0.••f（x）=+（x—3）+3》2
x—3
—x—3+3=5.当且仅当
x—3
1
飞=%—3,即x=4时
取等号,
•••f（x）的最小值是5.
2
（2）令x—3=t，贝Ux=t+3,且t>0.•f（x）=―一3t+3+1=t+1+3>2
1
当且仅当t=-，即t=1时取等号，此时x=4,.・.当x=4时，f（x）有最小值为5.
技巧总结：
当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如
y=Cx+++f（a*0,cm0）的函数,
ax+b
般可通过配凑或变量替换等价变形化为y=t+p（p为常数）型函数，要注意t的取值范围;
例：
设x>—1，求函数y=x+土+6的最小值;
解：
•••x>—1,
•••x+1>0.•-y=x+中+6=X+1+x^+45》2
x+1
+5=9,当且仅当
即x=1时，取等号••••当x=1时，函数y的最小值是9.
1.若x>0,y>0,且x+y=18,则xy的最大值是
一x+y2
解析由于x>0,y>0,则x+y>2xy,所以xy<—=81,当且仅当x=y=9时，xy取到最大值81.答案81
+xy
5.已知x,y€R，且满足3+4=1，贝Uxy的最大值为.
xy/xvxy
解析•/x>0,y>0且1=3+4>212，^xy<3•当且仅当3=寸时取等号.答案3
6.（2013•大连期中）已知x,y为正实数，且满足4x+3y=12，则xy的最大值为.
3
4x=3y,x=：
解析：
•/12=4x+3y>24xX3y,•xyw3•当且仅当即2时xy取得最大值3.答案：
3
4x+3y=12,
y=2
2.已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为.
解析：
•••m>0,n>0,•n+n>2,mn=18.当且仅当m=n=9时，等号成立.答案：
18
25
5.已知x>0,y>0,lgx+Igy=1,贝Uz=x+y的最小值为.
xy
25Ho25
解析：
由已知条件lgx+lgy=1,可得xy=10.贝Ux+y>2xy=2,故x+ymin=2，当且仅当2y=5x时取等号.又
xy=10,即x=2,y=5时等号成立.答案：
2
ab
（2012•天津高考）已知log2a+log2b>1,贝U3+9的最小值为.
a+2b
解析：
由log2a+log2b>1得log2（ab）>1,即卩ab>2,「.3a+9b=3a+32b>2x3"?
（当且仅当3a=32b,即卩a=2b时取等号）.Ta+2b>22ab>4（当且仅当a=2b时取等号），•3a+9b>2x32=18.即当a=2b时，3a+9»有最小值18.
11
3.设x,y€R,a>1,b>1，若ax=by=3,a+b=23，则一+-的最大值为（）
xy
A.2C.1
2=1,当且仅当a=b=3寸“=”成立，贝U1+1的最大值为1.答案C
Yxy
2112
6.（2011•湖南）设x,y€R,且xy丰0,贝Ux+二•二+4y的最小值为.
yx
2112122/l；2221
解析x+子x+4y=5+xv+4xy>5+2x2/・4xy=9,当且仅当xy=时“=”成立.答案9
yxxy,xy
例：
若正数x,y满足x+3y=5xy，求xy的最小值.
解：
•••x>0,y>0，则5xy=x+3y>2xy,「.xy>箱，当且仅当x=3y时取等号.二xy的最小值为器
•••（xy-3⑵•（xy+⑵>0.
又Txy>0,=xy>3'2,即xy>18.
•xy的最小值为18.
例：
已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8，贝Ux+2y的最小值是
A.3B.4
解析依题意，得（x+1）（2y+1）=9,
•••（X+1）+（2y+1）>2'x+12y+1=6,
即x+2y>4.
x+1=2y+1,x=2,
当且仅当即时等号成立.
x+2y+2xy=8,y=1
•-x+2y的最小值是4.
3.若x,y€（0,+^）,x+2y+xy=30.
（1）求xy的取值范围；
（2）求x+y的取值范围.
解：
由x+2y+xy=30,（2+x）y=30-x,
30—x
则2+xm0,y=>0,0vxv30.
2+x
2
—x+30x
（1）xy=x+2
2
—x—2x+32x+64—64
—x+2
=—x+2++34W18,当且仅当x=6时取等号,
x+2
因此xy的取值范围是（0,18].
30—x32
（2）x+y=x+=x+—1
2+xx+2
=x+2+x+2—3>8'2—3,当且仅当
x—4半2,时，等号成立，又x+y=x+2+x+-—3v30,因此xy—4：
2—1x十2
+y的取值范围是[8_.;2—3,30）.
x+3z
解析：
由已知条件可得y=—,
222
yx+9z+6xz
所以一=
xz4xz
答案：
2
2
1.已知关于x的不等式2x+——>7在x€（a,+^）上恒成立，则实数a的最小值为.
x—a
22I2-
解析：
因为x>a,所以2x+=2（x—a）++2a>22x—a•+2a=2a+4,即2a+4>7所
x—ax—a丫x—a
33
以a>即a的最小值为寺
3
答案：
2
5.圆x+y2+2x—4y+1=0关于直线2ax—by+2=0（a,b€R）对称，则ab的取值范围是
（）
答案A
a+b21
解析由题可知直线2ax—by+2=0过圆心（—1,2），故可得a+b=1,又因abc厂=-（a=b时取等号）.
1故ab的取值范围是—g,；•
4
规范解答
令t=abw学2=£即t€
21、
又f（t）=t+1在0,4上是单调递减的，［10分］
1331
•••当t=4时，f（t）min=—，此时，a=b=了
1，+25
•••当a=b=㊁时，y有最小值—.［12分］
温馨提醒
（1）这类题目考生总感到比较容易下手.但是解这类题目却又常常出错.
（2）利用基本不等式求最值，
一定要注意应用条件：
即一正、二定、三相等•否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错.（3）本题出
错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件
方法与技巧
1•基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数（式）的
大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点.
2•恒等变形：
为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形.比如：
11
（1）当x>2时，x+=（x—2）++2>2+2=4.
X—2X—2
81
（2）013x+8—3x216
w=.
323
失误与防范
1•使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不等式求
最值，这三个条件缺一不可.
2•在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的
条件.
3•连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.题型四：
利用基本不等式整体换元
例2：
若正数a,b满足ab=a+b+3,求ab及a+b的取值范围.
思维突破：
本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，并体现了换元法、构造法等重要思想.自主解答：
方法一：
由ab=a+b+3》2订ab+3,
即ab—2\：
ab—3》0.即（、ab—3）（\；ab+1）a0.
*:
aba0,「・•；ab+1a1.
故i；ab—3a0,「・aba9.
a+b
2
当且仅当a=b=3时取等号.
又•••abw学，•••ab=a+b+3<
当且仅当a=b=3时取等号.
即（a+b）2—4（a+b）—12a0,
（a+b—6）（a+b+2）a0.
a+b+2>0，有a+b—6a0,即卩a+ba6.
•a+b的取值范围是［6,+s）.
A2a—1•a—1+5=9，
当且仅当a=b=3时取等号.
•ab的取值范围是［9,+s）.
a+3
由ab=a+b+3,得b=-
a—1
a+344
a+b=a+a—7=a+1+a—7=（a—1）+a—1+2
A2寸（a—1）•a—1+2=6,
当且仅当a=b=3时取等号.
•a+b的取值范围是［6,+s）.
技巧总结：
整体思想是分析这类题目的突破口，即a+b与ab分别是统一的整体，把a+b转换成ab或把ab转换
成a+b.
例3：
已知正数a,b满足a+2b=1,则-+b的最小值是
ab
试解:
11a+2ba+2b
a+b=a+b
=3+生+a》3+2、庠•a=3+ab\ab
易错点评：
多次利用基本不等式解题，没有考虑等号能否同时成立。
a=2b时”；而第二次等号成立的
在解题过程中先后两次用到了重要不等式，第一次等号成立的条件是“当且仅当条件是“当且仅当1=b时”；这显然不可能同时成立，因此等号取不到.
3.已知x>0,y>0,且2x+y=1,则*+彳的最小值是
答案8
1212
解析因为-+-=（2x+y）-+y
y4x
=4+x+寸4+2
y4x-11
x•y=8,等号当且仅当y=2,x=4时成立.
例：
已知
11
x>0,y>°,且2x+y=J则-+y的最小值为
•••x>0,y>0,且2x+y=1,
14+
解析
1
•一-1—=—
xyxy2x
=3++—>3+
x
22.
当且仅当
例：
已知
91
x>0,y>0,且-=1,求x+y的最小值.
xy
思维突破：
“整体代换”，将
1用9+1代替，则x+y=（x+y）
xy
9+y，再化简，用基本不等式求解.
xy
91
解析：
•••x+厂1,
当且仅当毁x
=虫且9+1=1,即卩x=12,y=4时取等号.
xyxy
•••当x=12,y=4时，x+y有最小值为16.
总结：
已知条件与“1”有关,
常利用“1”进行整体代换，转化为能使积为定值的形式.
例：
已知x,y为正实数，且
116
x+7=1，求x+y的最小值.
116解析：
T-+厂1,
116
•x+y=（x+y）•x+y
16x
当且仅当
时，等号成立.
y=20时，x+y有最小值25.
4.（2012
•浙江）若正数x,y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）
C.5
D.6
答案
解析
1
■/x>0,y>0，由x+3y=5xy得5
13
一+一=1.
yx
•3+4y=5（3x+4y）
13x12y
57+4+9+x
1313x12y1313x12y
=w++》w+wX2•
55yx55yx
=5（当且仅当x=2y时取等号），「.3x+4y的最小值为5.
19
11.（2013•泉州模拟）正数x,y满足-+-=1.
xy
（1）求xy的最小值；
（2）求x+2y的最小值.
19［1__919
解：
⑴由1=-+-》2•得xy>36,当且仅当-=-，即卩y=9x=18时取等号，故xy的最小值为36.
xyWxyxy
192y9xf2v_l2y9x2
（2）由题意可得x+2y=（x+2y）^+-=19+了+~y》19+2\/子•石=19+屮，当且仅当巳=丁，即9x
=2y2时取等号，故x+2y的最小值为19+6.2
3.函数y=loga（x+3）—1（a>0,且a*1）的图像恒过定点A,若点A在直线m灶ny+1=0上，其中m,n均大于
12
0，则I—的最小值为（）
mn、，
A.2B.4C.8D.16
答案C
解析点A—2，—1），所以2m+n=1.
1212n4m11
所以一+-=（2n+n）一+-=4+-+—>8，当且仅当n=2m即m=：
，n=^时等号
mn，mnmn4'2
成立.
14
［典例］（2011•重庆高考）已知a>0，b>0，a+b=2，贝Uy=—+匚的最小值是.
ab
a+b
［尝试解题］•••a+b=2，「・一丁=1.
+2
a
4一b
+
1-
-
4~
+
1一
2ab
■+一
b〒2a
52ab
》2+2,b2a
=9当且仅当2a=M，即b=2a时，等号成立
2b2a
149
故y=a+b的最小值为2'
——［易错提醒］
解答本题易两次利用基本不等式，如:
2
•/a>0,b>0,
a+b=2，二abw（a+b）=1.
又y=\f（1,a）+\f（4,b）>2
又abw1，二y>4=4.
但它们成立的条件不同，一个是a=b,另一个是b=4a.这显然是不能同时成立的，故不正确
.要利用基本不
使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视
等式求最值，这三个条件缺一不可
“正”“定”“等”的条件
a,b满足a+b=1,求证:
题型五：
利用基本不等式证明简单不等式例3:
已知正数
（1）
1
abw4；
a2+b2>舟；
11
a+b>4；（4）
111
a+b+8；
f（x）=x+X”函数的单调性.
X
思维突破：
本题在考查均值定理等号何时成立的同时，也考查到形如“
自主解答：
（1）•••ab<2
⑵•••
a2+b2a+b1
2>2=2,
（3）方法
11
a+b=（a+b）
方法二:
a+b>2ab，2：
=4.
b
a
a+b=（a+b）a+b=1+a+b+1>2+2
a
-=4b4.
11
一+二>2ab
11
（4）1+1+匚
、ab
111
=晶+a+b+1>9
方法一■/a>0,b>0,a+b=1,
1a+bb
•••1+一=1+=2+
aaa
1a
同理，1+-=2+
bb
11
•1+1+=
一b
a
b—
=5+2-+r
a一
1
1+-
a
方法
1
1+b
1
1+一
a
1
>9（当且仅当a=b=2时等号成立）•
由⑸知,
111
a+b+旷8，
1111
1+=1+—+匚+*9
babab
111a+b
11一
（5）一+■—=一+匚r
abababab11
=2-+
2a+b，
■/a+b=1,a>0,b>0,
11a+ba+bab
.a+匚=^+-^=2+匚+->2+2=4,ababba
1111
.-+I—a8（当且仅当a=b=a时等号成立）.abab2
例1已知x>0,y>0,z>0.
…yzxzxy
求证：
-+■++->8.
xxyyzz
思维启迪：
由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证.
、十卄yz2\iyzxz2{xz
证明■/x>0,y>0,z>0,.2+—》>0,-+-》>0,
xxxyyy
yzxzxy
_++'+-
xxyyzz
8；yz•xz•xyn
卩=8.
xyz
当且仅当x=y=z时等号成立.
探究提高利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，
证明思路是从已证不等式和问题的已
知条件出发，借助不等式的性
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