=—l・82cr；k=2,/2=0.4b：
;k=3,4…必=0
Qo=1,Q]=-0.64,/?
2=0・14“3=°4=0
3Xf—0・5X#_]—cit—1・3勺_[+0.4d_2
则“上加i—r沁，因此
人=1+O.S=1.64,兀=-0.8,J=O（J>2）
_AQ
所以，A）=1,Pl=—-=-0.487&pj=0（；>0）
1.64
3.模型的格林函数形式
18
①"TTk曾5S
.•q=0.530）
-1.3B+0.4B2^z因此,
0O
②Xf=》Gj%_j
J=o
.・.G°=1,G,=-1.3,G2=0.4,Gj=-0j（7>2）
8
③X,=（1_0.8B）勺=工Gjj,...G°=1,Gj=-e.（./>0）；=o
3.3给出AR⑴模型的格林函数q•对j的散点图：
⑴®=0.5⑵®=-0.8⑶®=1（伽=-1答：
AR
（1）模型的格林函数形式为（彳=%/,把上述已知条件带入，得到的图形如下:
⑴操作结果如下：
.6-
.5・
.4-
x・3・
.2-
.1-
048121620242832
⑵操作结果如下:
0・8・
0・4・
0一0・
A
04・
七8・
2~|||||||
048121620242832
⑶操作结果如2
1.06・
104・
102-
OOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
z仁00・
0Q8・
096-
0.94-）（（（（）
048121620242832
⑷操作结果如下：
1.2-
08・
0.4-
Moo・
-0.4-
-0.8-
-1.2-
048121620242832
3.4设Xo=20,且随机干扰序列如下
t
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
at
0
-0.3
0.6
0.9
0.2
0.1
-0.6
1.7
-0.9
1.3
-0.6
-0.4
0.9
0.0
试利用模型的差分方程形式和格林函数形式对上面3.1屮模型求出X,,X12o
答：
⑴对于3.1
（1）Xz-0.5%^=at,模型属于AR
（1）形式
10000
X,=写丫0丿5_d,X1=^0.5y^_;=0.6+0.5x（-0.3）+0.25x0=0.45
1—Ofi5；=oj=o
8
X?
=工0.57a2_j=0.9+0.5x0.6+0.25x（-0.3）+0」25x0=1」25
；=o
同理可得，
Xs
=£o.5Q
；=o
3T=0.7625
3
:
Y0.5St=
0.48125
00
8
X5
=^0.5Ja
5-j=
-0.359375
XL
迄0.5丿如二
：
1.520312f
./=o
./=0
00
00
X7
=y0.5，a
7-y=
-0.1398439
2
=，0・5仏―=
1.23007&
j=0
00
00
=工0.5仏
9-；=
0.0150394
Xg
=工0.5丿叽
=-0.392480（
戶0
00
00
=£o.5»
=
=0.70376
X\2
=工0.5%一/
=0.351879*
；=0
丿•=（）
（2）对于3.1
（2）Xt=at-1.3%+0.4。
一2模型属于MA
（2）形式。
X|=a}
-1.3d]_]
+0.4d|_2=
=0.99
X2：
=a2-1.3d2_i
4-0Aa2_2=
0
=ci^
—1・3色_]
+0.4。
2_°
=-（）.73
X。
=a4-\.3«4_!
+（）.4為_2=
0.2
X5=
_1.3口5_]
+0.5a5_2
=-0.65
X&
=%-1・3%
+0.4仏2=
2.52
X?
=如
一1・3^7_1
+0.4^7_2
=—3.35
=as—1・3忽_]
+0.4（78_2=
3.15
X9=a9_1.3仏]
+0.4（?
9_2
=-2.65
Wo
=°io一l・3d[o_i+0.4同0_2
=0.9
（3）对于3.1（3）X,—0.5X_]—1.3q_]+0.4%_2，模型属于ARMA（1,2）形式,
Xr=0.5X_]+q—1.3q_]4-0.4tzz_2,其中Xo=20
X）=0.5X]_]+G|—1.3d]_]+0.4d]_2=0.5x20+0.6+0.39+0=10.99
X2~0.52-i+⑦—1.3。
2_1+0.4q°_2=5.495
X3=0.5X3—]4-ciy—1.3cZj_j+0.4y3_°=2.0175
X4=0.5X4—+04—1.3%+0.4tz4_2=1.20875
X5=0.5X5—]+a5一1.3。
5_】+0.4@_2=-0.04562f
X6=0.5X6_）+a6—1.3t76_,+0.4他_2=2.497187f
X7=0.5X_\+弓—l・3s+0・％2=-2.1014062：
X8=0.5X8_14-tZg+0.4他_2=2.09929687.
Xg=0.5X9—]+冷—+0.4^79o=—1.6003515（
X10=O.5X]o_]+qo-1.3q（）_]+0.4q（）_2=0.998242：
X||=0.5X|]_]+4|—1.3d|]_]+0.4d||_2=1.679121
X12=0.5X12_1+少2一1・3®2-i+0・4®2-2=-0.4904394；
3.5判定上述3.1中模型及以下模型的稳定性：
（1）X/-l・3X/_]+0.4X一2=勺_0・9%_i
（2）X$—0.7Xf_]+0.lXf_°=q—1.7q_i+0.6色_-）
（3）Xr-1.6Xf_l+0.6X一2=+0.2at_2
⑷X,-l.lX/q
（5）（1-B）2X,=at
答：
对于3.1
（1）X,—0.5X_]=勺，有Gj=（p{=O.57,0.5<1,所以当j—g时,
0.5丿—0即q—0,综上，模型为渐进平稳。
对于3.1
（2）X/=%—1.3q_]+0.4q_2,有g）=i：
G[=—q；G2=—02:
G/=0,所
以当juGj—O,所以模型为稳定的。
对3.1（3）X[—0.5X_]=q—1.3%_1+0.4q_2,冇G、=（p、—%；G°=G\（p、—仇；G产Gj_\（p\。
0.5vl,.Jt8,0.5丿tO,.・.G/t0,所以模型为渐进平稳。
⑴对于模型Xr—1.3X—]+0.4X—2=4—0.9q_]；©+02=1.3—0.4=0.9<1,%——1.7vl,%vl,所以模型为稳定的。
⑵对于模型X/—0.7X/_]+0.1X—2=e—1・7勺_i+°・6q_2；©+02=°・6v1，
（p2~（p}=-0.8所以模型为稳定的。
⑶対于&一1.6X—]+0.6X—2=q一q_]+0.2tzz_2；©+%=1，輕一％=一1v1，02<1，所以模型为临界稳定的。
⑷对于Xf—l.lX_=y；有Gj=（p{=\屮,1」>1,所以当丿•too时，I.Mtoo即
GjH综上，模型不稳定。
（5）对于（1—B）2Xt=at；可化为X,—2X-+X一2=4，0+%i，
輕一0|=-3<1,輕=1，所以模型为不稳定的。
3.6⑴求上述的3.1中模型的前5个逆函数;
（2）写出上述的3.1中模型的逆转形式。
答：
⑴①对于3.1
（1）Xt—0.5X/_]=at,逆函数为I、=（p、=0-5,/2=01厶=0,/4=0,
Z5=^Z4+^/3=-0.82173o
15=0}14+0213=-0.32768o
（D®Xf=0.5Xm+at
2X严££（0.5罚一0.8问）勺
j=oU・d
8
3X,二工-O.LXt+勺
；=o
3.7判定3.1及3.5中模型的可逆性。
答：
对于3.1
（1）X,—0.5X—=勺，模型可逆。
对于3.1
（2）X（=4—1.3q_]+0.4q_2,当Jtoo时，有-TO,所以模型可逆。
对于3.1（3）X〔—0・5X_]=cij—1.36/_]+0.4t/f_2,当j-》oo时，有[j―>0,所以模型可逆。
对于3.5⑴X,—1.3X—+0.4X一2=的一°・9终屮0.9<1,当/T8时，有厶tO,所以模型可逆。
对于3.5
（2）X（—0.7X（_]+0.1X—2二Q/—1・7q_]+0・6d”；,当j-»oo时，有Ij―>0,所以
模型可逆。
对于3.5（3）X（—1.6X/_]+0・6X/_2=q—a—+0・2q_2；,当j-》8时,有I—>0,所••
以模型可逆。
对于3.5（4）X,—1」=a{；模型可逆。
对于3.5⑸（l-B）2Xt=at.模型可逆。
3.8某过程的逆函数厶=0.5,77=0.3（0.7）7_2,7>2,试求相应的ARMA模型及参数。
解：
x（=£
J=o
即X严I\X"乞IjX’_jZ
>1
00
=0.5X—+工0・3x（0.7）丿一2x（_}+a（
8
=0.5X_+O.3x^（O.7）>2B7Xz+勺
j=i
oo
=0.5X_]+0.3x^（0.7）7B7X/_2+^
j=i
=0.5X,.+0.3xX.?
+a,
/_11-0.7B/_2/
可以得出（1_O・7BX1_0・5B）X『=0・3X_2+（l-0.7BX
Xf—1.2Xz_j+0.35X—2=0・3X_2+4—0.7az_j
X/—1.2X-+0.05X/_2=at—0.7g
3.9一个ARMA模型的格林函数由下式给出，试求出相应的ARMA模型及参数。
（1）Gy=0.4（0.9），_，,；>1；
（2）Gj=A（0.4）7cos（0.6+0.8j）。
答：
（1）G°=1,G.=0.4x（0.9）k,j>1
X,=XGA-7=E0-4x0-9，_1=0.4xJ0.9^^
y=oj-\7=0
00
=0.4x^0.97B,6Zm+6Zz
j=o
0.4（2,.
=+4
1-0.9B'
（1—0.93）X『=0.4g+（1—0.9眈
因此X厂0.9乞_]=纠_0.5再_]
3.10试求ARMA（1,1）模型自协方差函数的表达式。
答：
ARMA（1,1）模型为X厂
将上式两端乘以X-并取期望，得
7-1
=%E（XiXf_r）+）—0xE^atat_k_x）—J+0^E（^at_xat_k_^
yo=E（XtX）=®m+E（a,Xt）-OlE（al_lXl）
=0/1-0占（仏曲一\+勺一Qq一J）
=0/+云-0x（pxE（at_xX^）-0xE（at_xaz）+^2E（at_xat_x）
兀=E（X,X一）=©%一。
\云,y2=E（X『X一2）=0兀
畑（炬2）
3.11设有如下AR
（2）过程：
X（=X_—0.5X一2+4，勺〜MD（0,0.5）
⑴写出该过程的Yule-Walker方程，并由此解出p、和p2；
⑵求X,的方差。
解：
（1）由X『=X〜］-（）・5X—2+%可知（p2=-0.5,=0.5,所以该过程的
（2）求％=E（兀內）=va心J
Yule・Walker方程为
3.12用口，02的允许范围来规定AR
（2）过程的平稳条件，并画出以Q,门为坐标的平
稳域图。
解：
AR
（2）模型为Xt=（p{X—]+（p2X—2+®Yule-Walker方程式为
02\P°+02201=P\
02101+02200=Pl
由于AR模型的偏相关系数0妙就是AR（p）中的的回归系数％
所以有021=0,022=02，即
叭5P\=p\
0^+02=02
P\P\
D、（p\='=■
Pi1
D
1P\
P\1
1P\
D.
P\Pi
^=—=-
・D
1P\
P\1
（1-02）门
i-p.2
（1~P2）P12
®±®<1
|©|<1
Ia|P「P\<
?
PlP\_02<1_口
[N<>
IaH1
2p12-lK%
\I
c
J
9
t
I
I
I
I
I
\
I
I\
1
、
、I
■i
f
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///tr
i
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1、
I
J\
1
、
1
%
%
%
/
/1Pl
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/
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f
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•1
Pl
圉3・1平稳域El
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