七年级数学上册 4 几何图形初步小专题十一角的计算选做练习 新版新人教版.docx

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七年级数学上册4几何图形初步小专题十一角的计算选做练习新版新人教版

小专题（十一）　角的计算

（本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做）

类型1　直接计算

1．如图，已知∠AOC＝∠BOD＝75°，∠BOC＝30°，求∠AOD.

2．如图，点A，O，E在同一直线上，∠AOB＝40°，∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，求∠COB的度数．

3．已知∠AOB＝40°，OD是∠BOC的平分线．

（1）如图1，当∠AOB与∠BOC互补时，求∠COD的度数；

（2）如图2，当∠AOB与∠BOC互余时，求∠COD的度数．

4．如图，点O是直线AB上一点，∠EOF＝90°，OP平分∠AOE，OQ平分∠BOF，∠AOE＝130°，求∠POQ的度数．

类型2　方程思想

5．如图，已知∠AOE是平角，∠DOE＝20°，OB平分∠AOC，且∠COD∶∠BOC＝2∶3，求∠BOC的度数．

6．如图，已知∠AOB＝

∠BOC，∠COD＝∠AOD＝

3∠AOB，求∠AOB和∠COD的度数．

7.如图，点O为直线AB上一点，将直角三角板OCD的直角顶点放在点O处．已知∠AOC的度数比∠BOD的度数的3倍多10度．

（1）求∠BOD的度数；

（2）若OE、OF分别平分∠BOD、∠BOC，求∠EOF的度数．（写出必要的推理过程）

8．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD.

（1）若∠BOD＝68°，∠DOF＝90°，求∠EOF的度数；

（2）若OF平分∠COE，∠BOF＝30°，求∠BOD的度数．

类型3　分类思想

9．下面是小明做的一道题目以及他的解题过程：

题目：

在同一平面上，若∠BOA＝75°，∠BOC＝22°，求∠AOC的度数．

解：

根据题意可画图，∠AOC＝∠BOA－∠BOC＝75°－22°＝53°.

如果你是老师，能判小明满分吗？

若能，请说明理由，若不能，请将错误指出来，并给出你认为正确的解法．

10．已知：

如图，OC是∠AOB的平分线．

（1）当∠AOB＝60°时，求∠AOC的度数；

（2）在

（1）的条件下，∠EOC＝90°，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数；

（3）当∠AOB＝α时，∠EOC＝90°，直接写出∠AOE的度数．（用含α的代数式表示）

11.如图，∠DOE＝50°，OD平分∠AOC，∠AOC＝60°，OE平分∠BOC.

（1）用直尺、量角器画出射线OA，OB，OC的准确位置；

（2）求∠BOC的度数，要求写出计算过程；

（3）当∠DOE＝α，∠AOC＝2β时（其中0°<β<α，0°<α＋β<90°），用含α，β的代数式表示∠BOC的度数．（直接写出结果即可）

类型4　角度的旋转

12．已知，O是直线AB上的一点，∠COD是直角，OE平分∠BOC.

（1）如图1.

①若∠AOC＝60°，求∠DOE的度数；

　②若∠AOC＝α，直接写出∠DOE的度数（用含α的式子表示）；

（2）将图1中的∠DOC绕点O顺时针旋转至图2的位置，试探究∠DOE和∠AOC的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．

13.点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处．

（1）如图1，将三角板MON的一边ON与射线OB重合时，求∠MOC的度数；

（2）如图2，将三角板MON绕点O逆时针旋转一定角度，此时OC是∠MOB的平分线，求∠BON和∠CON的度数；

（3）将三角板MON绕点O逆时针旋转至图3时，∠NOC＝

∠AOM，求∠NOB的度数．

14．如图，在∠AOB的内部作射线OC，使∠AOC与∠AOB互补．将射线OA，OC同时绕点O分别以每秒12°，每秒8°的速度按逆时针方向旋转，旋转后的射线OA，OC分别记为OM，ON，设旋转时间为t秒．已知t＜30，∠AOB＝114°.

（1）求∠AOC的度数；

（2）在旋转的过程中，当射线OM，ON重合时，求t的值；

（3）在旋转的过程中，当∠COM与∠BON互余时，求t的值．

15．

（1）如图1，若∠AOC＝∠BOC＝90°，OE、OF分别平分∠AOC与∠BOC.求∠EOF的度数；

（2）如图2，若∠AOC＝∠BOD＝80°，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC.求∠EOF的度数；

（3）若∠AOC＝∠BOD＝α，将∠BOD绕点O旋转，使得射线OC与射线OD的夹角为β，OE、OF分别平分∠AOD与∠BOC.若α＋β≤180°，α＞β，则∠EOC＝________．（用含α与β的代数式表示）

参考答案

1．因为∠AOC＝75°，∠BOC＝30°，

所以∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝75°－30°＝45°.

又因为∠BOD＝75°，所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOD＝45°＋75°＝120°.　

2.因为∠EOD＝28°46′，OD平分∠COE，

所以∠COE＝2∠EOD＝2×28°46′＝57°32′.

因为∠AOB＝40°，所以∠COB＝180°－∠AOB－∠COE＝180°－40°－57°32′＝82°28′.　

3.

（1）因为∠AOB与∠BOC互补，所以∠AOB＋∠BOC＝180°.所以∠BOC＝180°－40°＝140°.

因为OD是∠BOC的平分线，所以∠COD＝

∠BOC＝70°.

（2）因为∠AOB与∠BOC互余，所以∠AOB＋∠BOC＝90°.所以∠BOC＝90°－40°＝50°.

因为OD是∠BOC的平分线，所以∠COD＝

∠BOC＝25°.　

4.因为点O是直线AB上一点，∠AOE＝130°，所以∠BOE＝180°－∠AOE＝180°－130°＝50°.

因为∠EOF＝90°，所以∠BOF＝∠EOF－∠BOE＝40°.

又因为OP平分∠AOE，OQ平分∠BOF，所以∠POE＝

∠AOE＝65°，∠BOQ＝

∠BOF＝20°.

所以∠POQ＝∠POE＋∠EOB＋∠BOQ＝135°.　

5.设∠COD＝2x°，则∠BOC＝3x°，因为OB平分∠AOC，所以∠AOB＝3x°.

所以2x＋3x＋3x＋20＝180.解得x＝20.所以∠BOC＝3×20°＝60°.　

6.设∠AOB＝x°，则∠COD＝∠AOD＝3∠AOB＝3x°.因为∠AOB＝

∠BOC，所以∠BOC＝2x°.

因为∠BOC＋∠COD＋∠AOD＋∠AOB＝360°，所以2x＋3x＋3x＋x＝360.解得x＝40.

所以∠AOB＝40°，∠COD＝120°.　

7.

（1）设∠BOD＝x°，因为∠AOC的度数比∠BOD的度数的3倍多10度，且∠COD＝90°，所以x＋（3x＋10）＋90＝180.解得x＝20，所以∠BOD＝20°.

（2）因为OE、OF分别平分∠BOD、∠BOC，所以∠BOE＝

∠BOD，∠BOF＝

∠BOC＝

（∠BOD＋∠COD）．

所以∠EOF＝∠BOF－∠BOE＝

（∠BOC－∠BOD）＝

∠COD＝45°.　

8.

（1）因为∠BOD＝68°，OE平分∠BOD，所以∠DOE＝

∠BOD＝34°.

因为∠DOF＝90°，所以∠EOF＝∠DOF－∠DOE＝56°.

（2）设∠BOD＝x°，

因为OE平分∠BOD，所以∠DOE＝∠EOB＝

∠BOD＝

x°.

所以∠EOC＝180°－∠DOE＝180°－

.

因为∠EOF＝∠EOB＋∠BOF，所以∠EOF＝

＋30°.

因为OF平分∠COE，所以∠EOC＝2∠EOF.所以180°－

＝2（

＋30°）．

解得x＝80.所以∠BOD＝80°.　

9.小明不会得满分，他忽略了一种情况，正确解法：

①如图1，∠AOC＝∠BOA－∠BOC＝75°－22°＝53°；

②如图2，∠AOC＝∠BOA＋∠BOC＝75°＋22°＝97°.

所以∠AOC＝97°.综上所述：

∠AOC的度数为53°或97°.　

10.

（1）因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC＝

∠AOB.因为∠AOB＝60°，所以∠AOC＝30°.

（2）如图1，∠AOE＝∠EOC＋∠AOC＝90°＋30°＝120°；

如图2，∠AOE＝∠EOC－∠AOC＝90°－30°＝60°.

（3）90°＋

或90°－

.　

11.

（1）①当射线OA在∠DOE外部时，射线OA，OB，OC的位置如图1所示；

②当射线OA在∠DOE内部时，射线OA，OB，OC的位置如图2所示．

（2）①当射线OA在∠DOE外部时，此时射线OC在∠DOE内部，射线OA，OD，OC，OE，OB依次排列，如图1.

因为OD平分∠AOC，∠AOC＝60°，所以∠DOC＝

∠AOC＝30°.

因为∠DOE＝∠DOC＋∠COE，∠DOE＝50°，

所以∠COE＝∠DOE－∠DOC＝50°－30°＝20°.

因为OE平分∠BOC，所以∠BOC＝2∠COE＝2×20°＝40°；

②当射线OA在∠DOE内部时，此时射线OC在∠DOE外部，射线OC，OD，OA，OE，OB依次排列，如图2.

因为OD平分∠AOC，∠AOC＝60°，所以∠COD＝

∠AOC＝30°.

因为∠DOE＝50°，所以∠COE＝∠COD＋∠DOE＝30°＋50°＝80°.

因为OE平分∠BOC，所以∠BOC＝2∠COE＝2×80°＝160°.

（3）当射线OA在∠DOE外部时，∠BOC＝2α－2β；

当射线OA在∠DOE内部时，∠BOC＝2α＋2β.　

12.

（1）①因为∠AOC＝60°，所以∠BOC＝180°－∠AOC＝180°－60°＝120°.

因为OE平分∠BOC，所以∠COE＝

∠BOC＝

×120°＝60°.

又因为∠COD＝90°，所以∠DOE＝∠COD－∠COE＝90°－60°＝30°.

②∠DOE＝90°－

（180°－α）＝90°－90°＋

α＝

α.

（2）∠DOE＝

∠AOC，理由如下：

因为∠BOC＝180°－∠AOC，OE平分∠BOC，

所以∠COE＝

∠BOC＝

（180°－∠AOC）＝90°－

∠AOC.

所以∠DOE＝90°－∠COE＝90°－（90°－

∠AOC）＝

∠AOC.　

13.

（1）因为∠MON＝90°，∠BOC＝65°，所以∠MOC＝∠MON－∠BOC＝90°－65°＝25°.

（2）因为∠BOC＝65°，OC是∠MOB的平分线，所以∠MOB＝2∠BOC＝130°.

所以∠BON＝∠MOB－∠MON＝130°－90°＝40°.所以∠CON＝∠BOC－∠BON＝65°－40°＝25°.

（3）设∠AOM＝4x，则∠NOC＝

∠AOM＝x.

因为∠AOM＋∠MON＋∠NOC＋∠COB＝180°，所以4x＋90°＋x＋65°＝180°.

解得x＝5°.所以∠NOC＝5°.所以∠NOB＝∠NOC＋∠BOC＝70°.　

14.

（1）因为∠AOC与∠AOB互补，所以∠AOC＋∠AOB＝180°.

因为∠AOB＝114°，所以∠AOC＝180°－114°＝66°.

（2）由题意得12t＝8t＋66.解得t＝16.5.所以当t＝16.5时，射线OM，ON重合．

（3）当t＜5.5时，射线OM在∠AOC内部射线ON在∠BOC内部，由题意得66－12t＋48－8t＝90，解得t＝1.2；当t＞6时，射线ON在∠BOC外部，射线OM在∠AOC外部，由题意得12t－66＋8t－48＝90，解得t＝10.2.

综上所述，当∠COM与∠BON互余时，t的值为1.2或10.2.　

15.

（1）因为OE平分∠AOC，所以∠EOC＝

∠AOC＝

×90°＝45°.

因为OF平分∠BOC，所以∠COF＝

∠BOC＝

×90°＝45°.

所以∠EOF＝∠EOC＋∠COF＝45°＋45°＝90°.

（2）因为OE平分∠AOD，所以∠EOD＝

∠AOD＝

×（80°＋∠COD）＝40°＋

∠COD.

因为OF平分∠BOC，所以∠COF＝

∠BOC＝

×（80°＋∠COD）＝40°＋

∠COD.

因为∠COE＝∠EOD－∠COD＝40°＋

∠COD－∠COD＝40°－

∠COD.

所以∠EOF＝∠COE＋∠COF＝40°－

∠COD＋40°＋

∠COD＝80°.

（3）

α±

β