洛伦兹变换的详细推导.docx

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洛伦兹变换的详细推导

第三节洛伦兹变换式

教学内容：

1.洛伦兹变换式的推导；

2.狭义相对论的时空观：

同时性的相对性、长度的收缩和时间的延缓；

重点难点：

狭义相对论时空观的主要结论。

基本要求：

1.了解洛伦兹坐标变换和速度变换的推导；

2.了解狭义相对论中同时性的相对性以及长度收缩和时间延缓概念；

3.理解牛顿力学中的时空观和狭义相对论中的时空观以及两者的差异。

三、洛伦兹坐标变换的推导

或

据狭义相对论的两个基本假设来推导洛仑兹变换式。

1.时空坐标间的变换关系

作为一条公设，我们认为时间和空间都是均匀的，因此时空坐标间的变换必须是线性的。

对于任意事件P在S系和S'系中的时空坐标（x，y，z，t）、（x'，y'，z'，t'），因S'相对于S以平行于x轴的速度v作匀速运动，显然有y'=y,z'=z。

在S系中观察S系的原点，x=0；在S'系中观察该点，x'=-vt'，即x'+vt'=0。

因此x=x'+vt'。

在任意的一个空间点上，可以设：

x=k（x'+vt'），k是—比例常数。

同样地可得到：

x'=k'（x-vt）=k'（x+（-v）t）

根据相对性原理，惯性系S系和S'系等价，上面两个等式的形式就应该相同（除正、负号），所以k=k'。

2.由光速不变原理可求出常数k

    设光信号在S系和S'系的原点重合的瞬时从重合点沿x轴前进，那么在任一瞬时t（或t'），光信号到达点在S系和S'系中的坐标分别是：

x=ct,x'=ct'，则：

由此得到。

这样，就得到，。

由上面二式，消去x'得到；若消去x得到，综合以上结果，

就得到洛仑兹变换，或洛仑兹反变换

可见洛仑兹变换是两条基本原理的直接结果。

3.讨论

（1）可以证明，在洛仑兹变换下，麦克斯韦方程组是不变的，而牛顿力学定律则要改变。

故麦克斯韦方程组能够用来描述高速运动的电磁现象，而牛顿力学不适用描述高速现象，故它有一定的适用范围。

（2）当|v/c|<<1时，洛仑兹变换就成为伽利略变换，亦即后者是前者在低速下的极限情形。

故牛顿力学仅是相对论力学的特殊情形—低速极限。

四、相对论速度变换公式

洛仑兹变换是事件的时空坐标在不同惯性系之间的关系，根据洛仑兹变换可以得到狭义相对论的速度变换公式。

设物体在S、S'系中的的速度分别为，，根据洛仑兹变换式可得：

因此：

，即：

因y'=y,z'=z，有dy'=dy,dz'=dz则，即。

同理：

因此得相对论的速度变换公式：

、、

其逆变换为：

、、。

讨论

（1）当速度u、v远小于光速c时，即在非相对论极限下，相对论的速度变换公式即转化为伽利略速度变换式。

（2）利用速度变换公式，可证明光速在任何惯性系中都是c。

证明：

设S'系中观察者测得沿x'方向传播的一光信号的光速为c，在S系中的观察者测得该光信号的速度为：

，即光信号在S系和S'系中都相同。

第四节狭义相对论的时空观

一、一、          同时的相对性

1.概念

狭义相对论的时空观认为：

同时是相对的。

即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。

例如：

在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。

如图设系为一列长高速列车，速度向右，在车厢正中放置一灯P。

当灯发出闪光时：

系的观察者认为，闪光相对他以相同速率传播，因此同时到达A、B两端；

S系（地面上）的观察者认为，A与光相向运动（v、c反向），B与光同向运动，所以光先到达A再到达B，不同时到达。

结论：

同时性与参考系有关—这就是同时的相对性。

假设两个事件P1和P2，在S系和系中测得其时空坐标为：

由洛伦兹变换得：

在S系和系中测得的时间间隔为和（t2-t1），它们之间的关系为：

可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。

2.讨论

（1）在S系中同时发生：

t2=t1，但在不同地点发生，，则有：

这就是同时的相对性。

（2）在S系中同时发生：

t2=t1，而且在相同地点发生，，则有：

即在S系中同时同地点发生的两个事件，在S’系中也同时同地点发生。

（3）事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后

假设在S系中，t时刻在x处的质点经过时间后到达处，则由：

得到

因为v≯c，u≯c，所以Δ与Δt同号。

即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。

（4）上述情况是相对的。

同理在S’系中不同地点同时发生的两个事件，在S系看来同样也是不同时的。

（5）当时，，回到牛顿力学。

二、长度收缩（洛伦兹收缩）

假设一刚性棒AB静止于S’系中，在S系中同时测量得。

由洛伦兹坐标变换式：

得：

即

1.固有长度

观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l0表示。

即

2.洛伦兹收缩（长度缩短）

观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。

讨论：

（1）长度缩短效应具有相对性。

若在S系中有一静止物体，那么在系中观察者将同时测量得该物体的长度沿运动方向缩短，同理有

即看人家运动着的尺子变短了。

（2）当v<

三、时间膨胀（时间延缓）

由洛伦兹变换得，事件P1、P2在S系中的时间间隔为，事件P1、P2在S’系中的时间间隔为。

如果在S’系中两事件同地点发生，即，则有：

1.固有时间（原时）的概念

在某一惯性系中同一地点先后发生的两事件之间的时间间隔，叫固有时间（原时）。

用表示，且：

。

2.时间膨胀

在S系看来：

，称为时间膨胀。

3.讨论

（1）时间膨胀效应具有相对性。

若在S系中同一地点先后发生两事件的时间间隔为Δt（称为原时），则同理有

就好象时钟变慢了，即看人家运动着的钟变慢了。

（2）当v＜＜c时，有

（3）实验已证实

μ子，π介子等基本粒子的衰变，当它们相对实验室静止和高速运动时，其寿命完全不同。

例1:

在惯性系S中，有两个事件同时发生，在轴上相距处，从另一惯性系S’中观察到这两个事件相距。

问由S’系测得此两事件的时间间隔为多少？

解：

由题意知，在S系中，，即，。

而在S’系看来，时间间隔为，空间间隔为。

由洛伦兹坐标变换式得：

由

（1）式得

代入

（2）式得

例2:

半人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距地球为m。

设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座α星之间。

若宇宙飞船的速度为0.999c，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？

如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？

解：

以地球上的时钟计算：

（a为annual之首字母）；

若以飞船上的时钟计算：

（原时），因为

所以得

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