等差数列的证明.docx

等差数列的证明.docx

《等差数列的证明.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等差数列的证明.docx（40页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

等差数列的证明

一、选择题（本题共

0道小题）

二、填空题（本题共

0道小题）

三、解答题（本题共

30道小题）

等差数列的证明

1.已知数列｛an｝、

{bn}满足:

a1

1b

r，b*」，f.

1-an2

1

（1）求证：

数列｛

bn-1｝是等差数列;

⑵求数列｛an｝的通项公式;

⑶设Sn=302+a2a3+a3a4+川+ananHt，若4aSneg对于n亡N*恒成立，试求实数a的取值范围.

12*

2.已知数列｛an｝满足q"卫卄二1-，bn=，其中n匸N.

4an2an—1

（I）求证：

数列｛bn｝是等差数列，并求出数列｛an｝的通项公式;

n+1

（n）设Cn=处，数列｛CnCn功的前n项和为「，是否存在正整数m，使得T^对于

CmCm-h

（n）求数列｛an｝的通项公式;

（n+1）2

（m）设bn=」^，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

4.数列｛an｝中,十1^时，an寺，数列｛bn｝满足：

，

（1）求证：

数列佝｝是等差数列;

⑵求数列｛an｝的前n项和Sn.

an—2

2

5.已知数列｛an｝满足a,=-,an+=i^^（n亡N）.

32an-3

（I）求证：

｛^—｝是等差数列;an一1

（n）求数列｛an｝的通项an;

⑴设0=^2爲，记数列⑹的前n项和为S"，求Sn-

6.已知数列｛an｝满足心，且a-4^（-N*，且）.

（I）写出数列｛an｝的通项公式;

1

（n）设bn=，求证数列｛bn｝是等差数列;

anT

（m）记Cn=（n+1）3nan，求数列｛Cn｝的前n项和Sn.

7.已知数列｛an｝满足a1，且an=4a2T（n-N*，且n32）.

2an4中2

1

（I）设bn，求证数列｛0｝是等差数列;

anT

（n）记Cn=（n+1）3nan，求数列｛Cn｝的前n项和Sn;

（m）设dn=anan卡，求证dn<1+—.

n

8.若数列｛an｝的各项均为正数，寸n亡N*,an\1=anan#+t，t为常数，且2a^a^a4.

（2）证明：

数列｛an｝为等差数列;

**111

⑶若a1=t=1，对任意给定的k忘N，是否存在p,r亡N（kcper）使—，—，一成等差akapar

数列？

若存在，用k分别表示一组P和r;若不存在，请说明理由.

11*

9.已知数列｛an｝是首项为a1=-，公比q=-的等比数列.设g+2=3log1an（n忘N），数

447

1

列｛Cn｝满足q

bn'bn+

（1）求证：

数列｛bn｝成等差数列;

⑵求数列｛Cn｝的前n项和Sn.

10.已知数列｛aj满足a1=2,a卄=3an+3n*—2n（n亡N*）.

a_2n

3n

（1）设bn-^^—，证明：

数列幅｝为等差数列，并求数列＜aj的通项公式;

⑵求数列bn｝的前n项和Sn.

11.已知数列｛an｝中，当n32时，总有an=2an4+2n成立，且a^4.

（I）证明：

数列｛》｝是等差数列，并求数列｛%｝的通项公式;

（n）求数列（a?

的前n项和Sn.

12.若数列｛an｝满足a1=a且a.厂（-1）nan=2n-1（其中a为常数），&是数列©｝的前n项和,数列｛bn｝满足bn=a2n.

（1）求印+a3的值;

（2）试判断｛bn｝是否为等差数列，并说明理由;

⑶求Sn（用a表示）.

13.设各项均为正数的数列｛a」的前n项和为Sn，已知a1=1，且（&屮+心a.=（&+1）令屮对一

切n壬N*都成立.

（1）若A=1，求数列｛an｝的通项公式;

（2）求A的值，使数列｛aj是等差数列.

14.已知正项数列｛an｝的首项a1=1，前n项和Sn满足a^JS?

+>2）.

（1）求证：

｛阎为等差数列，并求数列｛aj的通项公式;

⑵记数列｛」—｝的前n项和为Tn，若对任意的Tn，不等式4Tn

anan+

取值范围.

15.已知等差数列｛an｝的前三项依次为m、4、3m，前n项和为Sn，且Sk=110.

（1）求m及k的值;

⑵设数列b｝的通项bn，证明数列｛0｝是等差数列，并求其前n项和Tn.

n

2_2a-3

16.已知数列｛an｝满足：

a,=--，an+=二一（n忘N）.

33an+4

1

（I）证明数列｛^｝是等差数列，并求｛an｝的通项公式;

an+1

卄1

｛bn｝满足：

a1r，an+bn"bn「1-an）（1+an）

（1）求biddb；⑵设5=丄，求证数列｛q｝是等差数列，并求bn的通项公式;

bn-1

⑶设Sn=a1a2+a2a3+a3a4+…+anan+，不等式4aSneg恒成立时，求实数a的取值范围.

31

18.已知数列｛an｝满足d=-，an=2-——（n>2），&是数列｛bn｝的前n项和，且有

2an」

—1+口0.

2n

（1）证明：

数列｛^―｝为等差数列；

（2）求数列｛bn｝的通项公式;an-1

⑶设Cn=—，记数列｛Cn｝的前n项和Tn，求证：

人<1.bn

19.数列｛an｝，｛bn｝满足bn/；2；2；二:

汕皿）-

bn

（1）若｛bn｝是等差数列，求证：

｛an｝为等差数列；

⑵若an=2n，求数列｛J一｝的前n项和Sn.

（n-1）2+1

1

20.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，a^?

S^n2a^n（^1）,^1,2,"""

（1）证明：

数列｛—'Sn｝是等差数列，并求Sn；n

⑵设bn=冬，求证：

1兰D+b2+|lilil+bn<1

n2

21.已知数列｛an｝有a^p（常数P>0），其前n项和为&，满足&=n（an~a1）（n忘N*）

2

（1）求数列｛an｝的首项ai，并判断｛an｝是否为等差数列，若是求其通项公式，不是，说明理由;

⑵令Pn+邑，Tn是数列｛Pn｝的前n项和，求证：

「-2nv3.

Sn卡Sn卡

22.已知数列｛an｝是等差数列，Cn=an2-an半2（n壬N*）

（1）判断数列｛Cn｝是否是等差数列，并说明理由;

⑵如果ai+a3+ili+a25=130^2+a4+HI+a26=143-13k（k为常数）,试写出数列｛Cn｝的通项公式;

⑶在⑵的条件下，若数列｛Cn｝得前n项和为Sn，问是否存在这样的实数k，使Sn当且仅当

n=12时取得最大值。

若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由。

23.已知各项均为正数的数列｛an｝中，ai=1，&是数列｛a.｝的前n项和，对任意n-N，有

2

2Sn=2an+an-1

231

函数f（x）=x+x，数列｛bn｝的首项b1=—，bn+=f（bn）——

24

11119

25.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,印=-且S^Snj+a.』+—，数列｛bn｝满足d=-——且

4--24

3bn-bnjL=n（n>2且n亡N）.

（1）求｛an｝的通项公式;

⑵求证：

数列｛bn-an｝为等比数列；

⑶求｛bn｝前n项和.

26.设数列｛an｝的前n项积为「，且「=2-2an（n^N）.

（1）求证数列｛*｝是等差数列;

⑵设bn=（1-an）（1-an卅），求数列｛bn｝的前n项和Sn.

27.已知数列｛an｝是首项和公比均为-的等比数列，设bn+2=3ogian（n亡N*）数列｛Cn｝满足

44

Cn=anbn

（1）求证数列｛bn｝是等差数列;

n+1

-—Sn+n+1,n

⑵求数列｛Cn｝的前n项和Sn

28.数列｛an｝的前n项和为Sn,若务=3,&,和&勺满足等式&十二

（I）求S2的值;

（n）求证：

数列｛Sn｝是等差数列;

n

（W）设Cn=岛，求证：

C1+C2+…+Cn>|0

29.已知数列｛an｝满足印=1，且an=2an丄+2n（n>2,且n亡N*）

（1）求证：

数列｛少是等差数列;

⑵求数列｛an｝的通项公式;

⑶设数列｛an｝的前项之和S.，求证：

|>2-3

30.在数列｛an｝中，ai=1,并且对于任意n-N*，都有a.^=—a^

2an+1

（1）证明数列｛—｝为等差数列，并求taj的通项公式;

an

⑵设数列的前n项和为Tn，求使得的最小正整数n.

试卷答案

1.答案：

见解析

分析：

（1）由an+bn二1，得bn=1-an,

依题意bn*

1-an

1

（1-an）（1+an）1+an

1一an

11

bn+—1bn一1111-an

1+an

-1

一―1,

anan

a^4,•D=|,宀一，

44d—1

1

•••数列｛-^｝是以-4为首项公差为

bn—1

-1

的等差数列.

（2）由

（1）知-^=^+（n-1）（-1）=-n-3,bn—1

则bn八■^二

11

⑶Sn=a1a2+a2a3W+ana卄一+—+（n+3）（n+4）

11111111

=———十一一—十一=——=

4556n+3n+44n+44（n+4）

-laSn-bn=^-n^=（aj）n2+（3a—6）n—8

n+4n+3（n+3）（n+4）

2

依题意可知（aT）n+（3a-6）n-8v0恒成立,

2

令f（n）=（a-1n+（3a-6）n—8，

=1时f（n）=—3n—8c0恒成立,

>1时，由二次函数性质知f（n）<0不可能成立,

<1时，此二次函数的对称轴为

X—3」（1_丄）“,

2（a-1）2a—1

f（n）在n^N上是单调递减,

•••要使f（n）v0对n亡N*恒成立,

必须且只须f（10

即4a—15<0,

15

--a<—，又a■<1,

4

•••a<1,

综上a<1,4aSi兰bn

对于n亡N恒成立.

2.答案：

见解析

1

分析：

（I）因为an+=1-

4an，bn

2an-1

所以bn十—bn

4an

2an卅—12an—1

=2

2an-12an-1

所以，数列｛bn｝是等差数列,

首项为

所以bn=2+2（n-1）=2n,

2

所以

2an—1

=2n，解得

an

n中1

2n

（n）解得:

Cn

4an

n+1

所以eg-n（n+2）

n+2

所以数列｛cncn^｝的前

n项和为

111

Tn=2[（1一严厂4「3

）+（2

=2（1

2

亠1

n+1n+2），

假设存在正整数m，使得Tn

11

所以2（1+-—

2

2x

（1）-12an-1

4an

2

d=^^=2，公差为2,

2a^—1

-1n+1

n+2

1

<

CmCm+

对于

—）<

2n+1n+2m（m+1）

3

化为3-

2

2n+3

<

（n+1）（n+2）m（m+1）

由于数列

3

{3__—}是单调递增数列

2（n+1）（n+2）

2n+3

3

所以3<

2m（m+1）

/57_3

化为3m2+3m-4<0，解得0cm<——

6

而虽丈口丈105C

66

1*

因此不存在正整数m，使得Tn<对于n€N恒成立.

cmcm+

3.答案：

见解析

分析：

（！

）•••an』-6an4+9=0,

…an4（an-3）-3（an4-3）=0.

二an4（an-3）=3（an_1-3）

由a^—3工0，可知an—3工0,

1

an一3

anJ.

3（an4-3）

=1+^-

3弘丿一3

1

即一'—

an一3

11

an4—33

•••数列｛

-^｝是首项为

an-3

1，公差为1的等差数列.

33

1

（n）由（I）得

01一3

=1卄）=3

二数列｛an｝的通项公式an

3（n+1）

an

5）■bn=（n+1）2

3（n+1）

（卄1）2-口（&叫烏

二Tn=bi+6+b3+il|+bn

1111111

（厂厂3石刊轨-齐）]

4.答案：

见解析分析:

（1）由心"討3，得：

沪心七严亠沪

x>n1zx>n1,x>n1_n2n2_n2/,..,_

•-3-（an+1）=3"a+3-=3-an_1+2+3"=3-（an」+1）+2,

11

即bn=bn_1+2二bn-bn」=2（n>2），又0=3（印+1）=2,

二数列｛bn｝是首项为2，公差为2的等差数列.

⑵由

（1）知，bn=2+（n-1）X2=2n,

记「二纟+笃宁

1332

十2（n-1）十2n

3n^3n

两式相减得：

|Tn=2（1+3+”.+±）-2n

1

2[1-（3）n]

2n+3

3n"3n

斜3-3n

12n+3

■■TnU—^^

因此，Sn=Tn—n=|—^4—n•

5.

答案：

见解析

分析：

（I）由已知得a卄-1=K-2_1，即aM_1

2an-3

（2an-3）2（an-1）+1

anH4-1a*-1

an-1

1

=^-2，即

an-1

a卄一1

1

—=-2-anj

•{a;

—｝是以-2为公差的等差数列.

-1

=-3,

1

a,-2-1

an-1

3

•-an

1

T一站，即an

2n

—2n+1

（川）

二bn

（2n+1）（2n+3）

•-Sn

-^+-^+-2-+||（+

3咒55咒77咒9（2n+1）（2n+3）

111111111

“3丐）駡一7）“7—9）竹円一扁■冇r一

6.答案：

见解析

分析:

5

-ar=—,a2=

122a

y=2，a3

4a2-17

82+24

a4

4a3—18

83+25

n+4

••an

n+1

an一1

3（an」-1）

an_i+2

an一13（anJL

+1.

-1）anA一13

•••5+3

1

，以1为公差的等差数列.

3

QQAC+4

0=3.即bn二+3（n-1）=〒

（川）

由（n）bn=

anT

n+1

，则an仝

3nn+1

•••Cn

=（n+1）3n-a

=（n+4）

3n

…Sn

=53+632+（n+4）3n=4（3+32+（||+3n）+（3+2，3+3洛卄|（+n”3n）.

令Tn=3+232+333+川+n3n,

则3Tn=3+23+川+（n-1）3“+n3n#

故Tn-3Tn=3+32+3’+川+3n-n外

即Tn=-1（3+32+33+川+3n）

22

7.

答案：

见解析

an一1

3（an』

-1）

an4一1

•-bn=b

n中1

=2+1（n-1）=

333

为公差的等差数列.

（n）由（I）b

anT

n+4

专，则an=n+1

•••Cn=（n+1）6n

•an=（n+4）3n,

•••Sn=53+63^11+（n+4）3n=4（3+32+（”+3n）+（3+2，32+3、33+朴（+n^3n）

令Tn=3+23+33+川+n3n,则3Tn=32+233+111+（n-1）创+n3n+

故Tn-3Tn=3+32+33+川+3n

即Tn=--（3+32+33+川+3n）

2

1n3n卅

•••Sn=4（3+32+）H+3n）--（3+32+H|+3"）+^^

（ffi）Tdn=an'an^=^

n+1

n+5

n+2

n2+9n+20

=2

n2+3n+2

•dz+n6罟2

dn

n2+3n

十6.

n

8.答案：

见解析

*2

=anaH2+t

分析：

（1）由条件，设Fn^N,anH-

①-②，得

2

a3

2丄丄ai+a3

-a2=8284-aia3,a3（a^ai^a2（a^a4），二

=2.

a2

a3

⑵a2+

=anan七+t,an42=an+t,

两式相减得

an++an七an+an七

an+

an七

•••数列｛an

上旦住｝为常数数列,

an十

an中anH2_a-+a3二2

an十

a2

（3）由

（2）知，数列｛an｝为等差数列，设公差为d,

■t■22

则由条件an#—anQi^=a1，得an*—（an甲—dXan#+d）=3

2

/.d=印=1，又数列｛an｝的各项为正数,

d>0，二d=1,二an=n.

111

当k=1时，若存在P,r使丄，丄，丄成等差数列，则

akapar

-昌亠◎兰0

rP

1

与—>0矛盾.因此，当k=1时，不存在.

r

112

当k>2时，贝y——，所以r

krp

kp

2k-p

令p=2k-1得r=kp=k（2k-1）,

满足k

综上所述，当k=1时，不存在p,

当k>2时，存在一组P=2k—1,r=k（2k-1）满足题意.

9.答案：

见解析

分析：

（1））由已知可得an=a,q2=（—）n,bn+2=3log1（丄）n=3n,

444

二bn=3n-2•/bn十—bn=3，二｛bn｝为等差数列，其中b=1,d

bn'bn十

J」

（3n—2）（3n+1）3'3n—23n+1）‘'

3n+1

10.答案：

解析分析：

（1）

_an十—2n+

bn十bn—

3n+

an-2n_3an+3n+-2n-2n+

3n

3n+

3n

•••{bn}为等差数列.又b,=0，二bn=n-1.an=（n-1）3n+2n.

⑵设Tn=031+132+川+（n-1）3n，则

Tn=032+133+111+（n-1）3n^

—2Tn=32+川+3n-（n-1）3—9（1-3）_（n_1）3n^.T9-才十+（n-1）农十（2n-3）农卅+9

2

「Snm（2+22+0n）」2n—3PnFn*

11.答案：

见解析

aa

分析：

（！

）•••当n>2时，an=2an」+2n，即」晋=1,

22

又y=2,•••数列｛予｝是以2为首项，1为公差的等差数列.

a

扌=2+（n-1）>M=n+1，故务=（n+1）2n.

（n）van=（n+1）2n，二Sn=2天21+3^22+…+nX2n」+（n+1）x2n,

2&=2咒22+3咒23+"•+nX2n+（n+1）咒2n十

两式相减得:

1-2尹

-Sn=4+（2?

+23+…+2n）-（n+l）%2n+=4+4（1—2）

•-Sn=n2n斗

12.答案：

见解析

la2-a=1

分析：

（1）由题意，得｛26印+a3=2

（*3+a?

=3

⑵•••an厂（-1）nan=2n-1,.」a2n^+a2n"：

—11

La2n42-a2n+=4门十1

•a2n+a2n书=8n，即bn+bn+=8n,•••+bn=8n—8,

•bn+-bn」=8，于是当且仅当b1,b2,b3为等差数列，数列｛bn｝为等差数列,

a2n十+a2n=4□-1.

i._，•a2n出+a2nJ=2,Ta^a,•as=2-

la2n~a2nJL=4门_3

-bi=a+1,b2=7—a,bs=9+a，由b,,b?

d为等差数列，得a=1,

•••当a=1时，数列｛bn｝为等差数列；当aHl时，数列｛bn｝不为等差数列.

⑶•/an++（—1）nan=2n-1,.a.七+（—1严a.卅=2n+1,

•••（―1）nan十+（—1）2nan=（—1）n（2n-1），即（―1）nan十+令=（—1）n（2n-1）,•••an七+an=2n+1+（—1）n（2n—1）,•an书+an41=2n+3+（—1严（2n+1）

•-an+an中+an七+an£=4n+4-2（T）n,•••+a4n/+a4n/+a4n=16n-6,

•-S4n

I2

弓10+16n-6）n=8n+2n

a2n++a2n」=2,；a1=a,•a4n_3=a,a4n」=2—a,

由a2n

—a2n」=4n—3，二a4n_2—a4n_3=8n—7,•a4n_2=8n—7+a,

又a2n

+a2n电=8n，二dn/+a4n二16n-8,a4^=8n一1—a,

2

…S4n丄=8n

22

-6n+1+a,S4n^=8n-6n-1+2a,S4nj=8n-14n+6+a,

12-n2

12

-n

2

12-n

2

12-nL2

1

—n+a（n=4k-3）

1

+-n-2+2a（n=4k-2）

2,（MN*）

--n+a（n=4k-1）

1

+丁（门=4k）

13.答案：

见解析

分析：

⑴若入=1，则（Sn++1）an=（Sn+1）an十,內=S=1.

又a*0,•詩詈

•S2+1

飞+1

”S3+1”