数列求和7种方法方法全例子多.docx
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数列求和7种方法方法全例子多
1、
2、
3、
5、
、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
n(a1an)
等差数列求和公式:
等比数列求和公式:
Sn
1n(n
Sn
n
k3
k1
[例1]
Sn
Sn
1)
12
[2n(n1)]
已知log3x
log23
na1
n(n1)d
解:
由log3x
na1a1(1
(q1)
—,求
ai
Sn
X2
(q
n
k2
1
1)
1
-n(n1)(2n
6
的前n项和.
1)
log23log3x
log32
由等比数列求和公式得
Sn
xx2
X3
(利用常用公式)
[例2]设1+2+3+…+n,n€N*,求f(n)
解:
由等差数列求和公式得
Sn
Sn
…f(n)(n32)Sn1
1
64
n34——
n
x(1xn)
1x
2d
丄)
缠=1_丄
1-2n
2
Sn
(n32)Sn1
的最大值.
2n(n
1),
Sn
1
-(n1)(n
2
2)
(利用常用公式)
n
~2
n34n64
1
(、n8)2
n
丄
50
,即n=8时,f(n)max
1
50
题2.若12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn,贝Ha=,b=,c=
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列
项和,其中{an}、
{bn}分别是等差数列和等比数列
[例3]求和:
Sn
23
13x5x27x3
(2n1)xn1
解:
由题可知,
{(2n1)xn1}的通项是等差数列
{2n—1}的通项与等比数列
设xSn
1x3x25x37x4
(2n
1)xn
①一②得
(1x)Sn12x2x2
2x3
2x4
2xn1(2n
n
1)x
{an•bn}的前n
}的通项之积
(设制错位)
(错位相减)
再利用等比数列的求和公式得:
(1
1xn1
12x(2n
1x
1)xn
Sn
(2n1)xn1(2n1)xn(1x)
(1x)2
解:
由题可知,
设Sn
2Sn
21231
曰
{2n
4
22
4
①一②得(1
练习题1已知
答案:
2n
2^
前n项的和.
1
}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{厶}的通项之积2n
1)Sn
2
_6_
23
6
尹
2
2
Sn
2
歹
1
2n1
n2
2n
孑
2n
盯………
22
T3T4
22
2n
2*1
22n
nn1
22
,求数列{an}的前
(设制错位)
(错位相减)
n项和S.
答案:
、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原
数列相加,就可以得到n
个(a1
an).
[例5]求证:
Cn03Cn1
5Cn2
(2n
1)Cnn
(n1)2n
证明:
设SnCn0
3C1n
5Cn2
(2n
i)cn
……..①
把①式右边倒转过来得
Sn(2n1)Cnn(2n1)Cnn1
3Cn1Cn0
(反序)
又由CnmCnnm可得
Sn
(2n
1)Cn0
(2n
1
1)Cn1
3Cnn1
Cn
Cn
..……..②
①+②得
2Sn
(2n
2)(Cn0
C1
Cn
n1
Cn
Cnn)2(n
1)2n
Sn
(n
1)2n
[例6]求sin21sin
22
sin2
3
sin288
sin289
的值
解:
设Ssin2
1
sin22
sin2
3
sin288
sin289•…
①
将①式右边反序得
Ssin2
89
sin2
88
sin23
sin22
2
sin1•…
……..②
反序相加)
反序)
QQ
又因为sinxcos(90x),sin2xcos2x1
①+②得
222222
2S(sin1cos1)(sin2cos2)(sin89cos89)=89
S=44.5
反序相加)
题1已知函数
1)证明:
的值.
=右边
(2)求
解:
(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边
(2)利用第
(1)小题已经证明的结论可知,
两式相加得:
所以
练习、求值:
四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、
等比或
常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可.
11
[例7]求数列的前n项和:
11,4,-y7,
aa
11
解:
设Sn(11)(—4)(p7)
aa
将其每一项拆开再重新组合得
1
Sn(1-
a
当a=1时,
Sn
Jr)(1
a
(3n1)n
当a1时,
[例8]求数列{n(n+1)(2n+1)}
1
n
a_
11
a
的前n项和.
解:
设akk(k1)(2k1)
n
Snk(k1)(2k
k1
将其每一项拆开再重新组合得
1
n1
a
(丄
a
(3n1)n
(3n1)n
2k3
1)
3n2)
3n2)
(分组)
(分组求和)
3k2
n
(2k3
1
nn
2k33k2
k1k1
=2(1323
n3)3(1222
1aa
1
3k2
k)
(3n1)n
2
(分组)
n2)(12
n)
22
n(n1)n(n1)(2n1)n(n1)
222
(分组求和)
2
n(n1)(n2)
2
五、
裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)
分解,然后
重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的
.通项分解
(裂项)如:
(1)
an
f(n1)
f(n)
(2)
sin1
cosncos(n1)
tan(n1)tann
(3)
an
1
n(n1)
(4)
an
(2n)2
(2n1)(2n
1)
2n1)
(5)
an
n(n1)(n2)
i[n(n1)
(n
an
n21
n(n1)2n
2(n1)n
n(n1)
(7)
(8)
[例9]
an
an
1
n1n
n2(n1)2
则Sn
1
(n1)2n
(AnB)(AnC)CB(AnB
1
An
C)
1
求数列
.22”3.n
的前
n项和.
解:
设an
(裂项)
则Sn
(裂项求和)
=(.2..1)
(.3
n)
[例10]在数列{an}中,an
—,又bn
求数列{bn}的前n项的和.
anan1
解:
an
n1n1
(裂项)
22
数列{bn}的前n项和
Sn8[(1
=8(1
8n
(裂项求和)
[例11]
解:
1
1
1
cos1
cosOCOS1
cos1cos2
cos88cos89
sin1
1
1
1
cosOcos1
cos1cos2
cos88cos89
sin1
tan(n1)tann
sncos(n1)
1
1
1
cos0cos1
cos1cos2
cos88cos89
1
{(tan1
tan0)(tan2
tan1)(tan3
tan2)
sin1
1
丄c、1
cos1
(tan89
tan0)=—
cot1—2
sin1
sin1
sin1
n1
设S
二S
求证
[tan89
原等式成立
(裂项)
(裂项求和)
tan88]}
练习题1.
答案:
练习题2。
答案:
六、分段求和法(合并法求和)
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这
些项放在一起先求和,然后再求Sn.
[例12]求cosl°+cos2°+cos3°+•…+cos178°+cos179°的值.
解:
设S=cosl°+cos2°+cos3°+•••+cos178°+cos179°
•••cosncos(180n)(找特殊性质项)
•••S=(cos1°+cos179)+(cos2°+cos178)+(cos3°+cos177)+•••
+(cos89°+cos91°)+cos90°(合并求和)
=0
[例13]数列{an}:
a11,a23,a32,an2an1an,求S2002.
解:
设S2002=a1a2a3a2002
由a11,a23,a32,an2an1an可得
a41,a53,a62,
a71,a83,
a92,
a10
1,a113,a12
2,
a6k11,a6k2
3,a6k
32,
a6k41,a6k5
3,
a6k6
2
a6k1a6k2
a6k3
a6k4
a6k5a6k60
(找特殊性质项)
$002=a〔a2a3
a2002
(合并求和)
=(a1
a2a3
a6)
(a7a8a12)
(a6k1
a6k2a6k6)
(a1993
a1994
a1998)a1999
a2000
a2001
a2002
=a1999
a2000
a2001
a2002
=a6k1
a6k2
a6k3
a6k4
=5
在各项均为正数的等比数列中,
若
a5a69,求log3a1
log3
a2
log3a10的值.
解:
设Snlog3a1
log3a2
log3a10
由等比数列的性质
mnp
q
amanapaq
(找特殊性质项)
[例14]
和对数的运算性质logaMlogaNlogaMN得
练习、求和:
=(log3aiaio)(log3a2a?
)(log3a5a6)
=log39log39呱9
=10
•n,则S7+S33+S50等于()
答案:
2
练习题2.若S=1-2+3-4+…+(-1)
答案:
解:
对前n项和要分奇偶分别解决,即:
S=
A
练习题31002-992+982-972+…+F-12的值是
A.5000B.5050C.10100D.20200
解:
并项求和,每两项合并,原式=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5050.答案:
B
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来
求数列的前n项和,是一个重要的方法.
[例15]求1111111111之和.
n个1
解:
由于1111
1
-999
9l(10k
1)
(找通项及特征)
k个1
9k个1
9
•••111111
1111
n个1
11
=-(1011)
9
12
(1021)
9
13
(1031)
9
1(10n1)
9
(分组求和)
112
=-(1010
103
1
10n)-(11
1
1)
9
9
n个1
_110(10n1)n
91019
=—(10n1109n)
81
[例16]已知数列{an}:
an
(n寅求Jn1)(an时)的值.
解:
•••(n1)(anan1)
8(n
1)[(n1)(n
(n1)(anan1)
1
3)
(n2)(n4)]
(找通项及特征)
[(n2)(n
1
(—
n
(宀
4)
(n
(设制分组)
1
8(—
n
(宀
n4)
(裂项)
)(分组、
裂项求和)
4(3
13
3
a
n,(n1,2,),求证:
数列
2
2.设二次方程anx2-an+1X+1=0(n€N)有两根a和B,且满足6a-2a3+63=3.
(1)试用an表示an1;
2
⑵求证;数列他-亍}是等比数列’
7
⑶当的=-吋,求数列{%}的通项公式.
6
3•数列an中,a18,a42且满足an22an1annN
⑴求数列an的通项公式;
章的学习。
说明:
本资料适用于高三总复习,也适用于高一“数列”