学年四川省高二下学期月考数学试题Word版含答案.docx
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学年四川省高二下学期月考数学试题Word版含答案
2017-2018学年四川省高二下学期6月月考
数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，那么（）
A．B．C．D．
2.设复数，则在复平面内对应的点坐标为（）
A．B．C．D．
3.已知命题，；命题若，函数的最小值为2，下列命题为真命题的是（）
A．B．C．D．
4.图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．C.D．
5.设，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C.充要条件D．既不充分也不必要条件
6.将函数的图象向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数的图象，则图象的一个对称中心为（）
A．B．C.D．
7.执行如图所示的程序，若输入的，则输出的所有的值的和为（）
A．243B．363C.729D．1092
8.已知是抛物线的焦点，是该抛物线上两点，，则的中点到准线的距离为（）
A．B．4C.3D．
9.已知定义在上的函数满足：
①对任意，有；②当时，.若函数，则函数在区间上的零点个数是（）
A．7B．8C.9D．10
10.已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径作圆，圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则的离心率为（）
A．B．C.2D．
11.在平面直角坐标系中，记抛物线与轴所围成的平面区域为，该抛物线与直线所围成的平面区域为，向区域内随机抛掷一点，若点落在区域内的概率为，则的值为（）
A．B．C.D．
12.已知函数，若存在使得成立，则实数的值为（）
A．B．C.D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知上的奇函数满足：
当时，，则．
14.已知，是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值为．
15.设第一象限内的点满足约束条件，若目标函数，的最大值为40，则的最小值为．
16.函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与点之间的“弯曲度“，给出以下命题：
①函数图象上两点与的横坐标分别为1和2，则；
②存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；
③设点是抛物线上不同的两点，则；
④设曲线（是自然对数的底数）上不同两点，，且，若恒成立，则实数的取值范围是.
其中真命题的序号为．（将所有真命题的序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.已知等差数列中，，为其前项和，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，，，若对一切成立，求最小正整数的值.
18.为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选20名女生作为样本，测量她们的体重（单位：
kg），获得的所有数据按照区间，，，进行分组，得到频率分布直方图如图所示，已知样本中体重在区间上的女生数与体重在区间上的女生数之比为.
（1）求的值；
（2）从样本中体重在区间上的女生中随机抽取两人，求体重在区间上的女生至少有一人被抽中的概率.
19.如图所示，在等腰直角三角形中，，为的中点，点在上，且，现沿将折起到的位置，使，点在上，且.
（1）求证：
平面；
（2）求二面角的余弦值.
20.已知定圆，动圆过点且与圆相切，记圆心的轨迹为.
（1）求轨迹的方程；
（2）设点在上运动，与关于原点对称，且，当的面积最小时，求直线的方程.
21.已知函数.
（1）若曲线过点，求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在区间上的最大值；
（3）若函数有两个不同的零点，求证：
.
22.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的非负半轴，建立平面直角坐标系.在直角坐标系中，倾斜角为的直线过点.
（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程；
（2）设点和点的极坐标分别为，，若直线经过点，且与曲线相交于两点，求的面积.
23.已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，恒成立，求的最小值.
2017-2018学年四川省高二下学期6月月考
数学试题参考答案
一、选择题
1-5:
BDBDA6-10:
DDBCC11、12：
AD
二、填空题
13.14.15.16.②③
三、解答题
17.解：
（1）∵等差数列中，，为其前项和，，
∴，
解得，，
∴，.
（2）∵时，，
当时，上式成立，
∴
，
∴随递增，且，，，
∴，∴最小正整数的值为5.
18.解：
（1）样本中体重在区间上的女生有（人），
样本中体重在区间上的女生有（人），
依题意，有，即，①
根据频率分布直方图可知，②
解①②得，.
（2）样本中体重在区间上的女生有人，分别记为，
体重在区间上的女生有人，分别记为，
从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：
，，，，，,，，
，，，，，.
其中体重在上的女生至少有一人被抽中共有9种情况：
，，，，，，，.
记“从样本中体重在区间上的女生中随机抽取两人，体重在区间上的女生至少有一人被抽中”为事件，则.
19.解：
（1）因为，，所以建立以点为原点，分别以所在直线为轴的空间直角坐标系，如图所示.
则，，，.
易知为平面的一个法向量，
又因为，所以，
又平面，所以平面.
（2）由
（1）知，，，，
设平面的法向量为，
则，即.
令，解得为平面的一个法向量，
又因为为平面的一个法向量，所以，
所以二面角的余弦值为.
20.解：
（1）易知点在圆，∴圆内切于圆，又圆的半径为4，
∴，又，
∴点的轨迹为椭圆，且，，所以，所以轨迹的方程为.
（2）（i）当为椭圆的长轴（或短轴）时，依题意知，点可为椭圆的上、下顶点（或左、右顶点），此时.
（ii）当直线的斜率存在且不为0时，设其为，则直线的方程为，
联立方程，得，，
所以，
由知，为等腰三角形，为的中点，
所以直线的方程为，
由解得，，，
，
由于，
所以，
当且仅当，即时等号成立，此时直线的方程为或.
21.解：
（1）因为点在曲线上，所以，解得.
因为，所以切线的斜率为0，所以切线方程为.
（2）因为，
①当时，，，所以函数在上单调递增，
则.
②当，即时，，.
所以函数在上单调递增，则.
③当，即时，函数在上单调递增，在上单调递减，则.
④当，即时，，，
函数在上单调递减，则，
综上，①当时，；
②当时，；
③当时，.
（3）不妨设，因为，所以，，
可得，.
要证明，即证明，也就是.
因为.，所以即证明，
即，令，则，于是，
令，则，
故函数在上是增函数.
所以，即成立，所以原不等式成立.
22.解：
（1），化为.
∴直角坐标方程为：
.
直线的参数方程为：
（为参数）
（2）点和点的极坐标分别为，，分别化为：
，，，倾斜角为，直角坐标方程为，可得直线的参数方程：
（为参数），将参数方程代入曲线的方程可得：
，，
设为此方程的两个实数根，可得：
，，∴，
点到直线的距离，∴.
23.解：
（1）当时，，作出图象：
结合图象由的单调性及，得的解集为.
（2）由得，∵，∴，
在同一直角坐标系中画出，即.
故的最小值为.
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