13函数的应用包括实际应用一元二次函数的应用doc.docx
《13函数的应用包括实际应用一元二次函数的应用doc.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《13函数的应用包括实际应用一元二次函数的应用doc.docx(29页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
13函数的应用包括实际应用一元二次函数的应用doc
13.函数的应用(包括实际应用、一元二次函数的应用)
1.函数f(x)
x2
2axa在区间(∞,1)上有最小值,则函数g(x)
f(x)在区间(1,∞)上一定
x
(
)
A.有最小值
B.有最大值
C.是增函数
D.是减函数
【命题意图】本题考查复合函数的综合应用.
C【解析】因为函数f(x)
x2
2ax
a在区间(∞,1)上有最小值,所以该二次函数的对称轴
需要小于1,可以得出a
1,函数g(x)
f(x)
x2a
a2a
a,当x
(1,∞)时
x
x
g(x)是增函数.
2.(本小题满分
12分)某商店如果将进价为
8元的商品按每件
10元售出,每天可销售200
件,现在提高售价以赚取更多利润.已知每涨价
0.5元,该商店的销售量会减少
10件,问
将售价定为多少时,才能使每天的利润最大?
其最大利润为多少?
【命题意图】本题考查二次函数的应用.
【解】设每件售价定价为
10+0.5x
元,则销售件数少了
10x件.
所以每天所获利润为:
y
(2
0.5x)(20010x)
5x2
80x400
.(6分)
故当x
8时,有ymax
720.
所以当售价定价为
14元时可获利润最大,其最大利润为
720元.(6分
3.某渔业公司今年初用98
万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要各种费用
12万元,从第
二年开始包括维修费在内,
每年所需费用均比上一年增加
4万元,该船每年捕捞的总收入为
50万元.
(1)该船捕捞几年开始盈利(总收入减去成本及所有费用之差为正值)?
(2)该船捕捞多少年后,盈利总额达到最大?
【命题意图】本题考查二次函数在实际问题中的应用
.
【解】
(1)设捕捞n年后开始盈利,盈利为
y元,则
y50n
12n
n(n
1)
98
2
4
2n2
40n
98
由y0解得10-51<n<10
51,nN*,3≤n≤17
即捕捞
3年后,开始盈利.
2
1
2
2
40n
98
2n
10
102
(
)由()知,y
2n
故经过
10年的捕捞,盈利额最大
.
4.设二次函数
f(x)=
x2
m2的图象顶点为
C,与x轴交点分别为
A,B,若ABC的
面积为64,
则m的值为_____________.
【命题意图】本题考查二次函数与三角形的综合应用.
4【解析】由二次函数的性质知道三角形的高即为m2,函数两个根分别为
x1
m,x2
m,所以有SABC
1
m2
2m
64,解得m
4.
2
5.
在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)
f(x
1)f(x).某公司每
月最多生产
100
台报警系统装置,生产x
台(
x
N)的收入函数为
(
)3000
x
20
x
2(单位:
元)
,其成本函数为C(x)
500x
4000(单位:
元),利润
Rx
是收入与成本之差.
(1)求利润函数
P(x)及边际利润函数
MP(x)
;
(2)
利润函数P(x)及边际利润函数
MP(x)是否具有相同的最大值?
并说明理由.
【命题意图】本题考查二次函数在实际问题中的应用.
【解】:
由题意知,
x
[1,100],且x
N
(1)P(x)
R(x)
C(x)=3000x
20x2
-(500x4000)
=
20x2
2500x
4000(x
[1,100],且x
N)
2分
MP(x)=P(x1)P(x)
=20(x
1)2
2500(x
1)
4000
(
20x2
2500x
4000)
=2480
40x(x
[1,100],且x
N)
2分
(2)
P(x)=
20x2
2500x
4000=20(x
125)2
+74125,
2
当x=62或x=63时,P(x)取得最大值为
74120元.
3分
MP(x)=2480
40x是减函数,因为x
[1,100],且x
N,所以当
x=1时,MP(x)的
最大值为2440元.
2
所以利润函数P(x)及边际利润函数
MP(x)不具有相同的最大值.
1分
6.(杭州市
2015
年高职二模)(9分)某广告公司设计一块周长为
8米的矩形广告牌,广告
设计费为每平方米
1000元,若矩形一边长为
x,面积为S平方米.
(1)求S与x的函数关系式及
x的取值范围.
(2)要使广告牌费用最多,广告牌的长与宽分别为多少米?
此时广告费为多少?
【考查内容】二次函数的实际应用.
【解】
NXJ1233
1ONxOP4x.
Sx(4x),x(0,4);
2
yy
1000x(4
x)
1000x2
4000x
x
4000
ymax
4000.
2
2(
1000)
2
2
4000
.
7.2015ABCDAB=12BC=8
E
FGHAE=AH=CF=CG=x
EFGH.
1EFGHyx5
2x
.5
NXJ10
.
1
y
12
8
2
1
2
2
1(8
x
)(12
)
3
x
2
x
2
=
2x2
20x
1
0
x
8)
1
2y
2(x
5)2
50
当x
5米时,
2
ymax
50m2
.
2
x
5米时,
50.
1
8.
8
10
200
1
20.
.
.
xx+2
20020x
所获利润为:
y=(2+x)(200-20x)(0≤x<10)
=20(x
4)2
720,
当x
4元时,即售价定为
14元时,每天可获最大利润为
720元.
9.(2015
年嘉兴一模)如图,甲船沿着箭头方向从
A地开出,同时,乙船沿箭头方向由
B
地开到A地.已知AB=10海里,甲乙两船的速度分别为2海里/分钟和
1海里/分钟,
(1)写出甲乙两船距离S(海里)与时间t(分钟)的函数关系式;
(2)求多少时间后,两船距离最近,最近距离是多少?
第34题图WDM64
【命题意图】本题考查函数的实际应用.
【解】
(1)t分钟后,甲船行驶了
2t海里,乙船离A地(10
t)海里,
根据勾股定理:
S
(10
t)2
(2t)2
5t2
20t
100
(0剟t
10);
(2)
S=
5t2
20t
100
5t2
4t
20
5
(t2)2
16,当t
2时,
Smin45,
2分钟后,两船距离最近,最近距离为
45
海里.
10.(嘉兴二模)如图,某小区要在一块直角三角形的绿地上围出一块矩形花园,已知直角
三角形直角边长分别为4m、8m,且使矩形花园的两边落在三角形的直角边上,另一个顶点
在斜边上,使得巨星花园面积最大,矩形一边长为x,试求
(1)矩形花园面积y与边长x的函数关系式;
(2)当矩形花园的边长分别为多少时面积最大?
最大面积为多少?
第34题图WDM33
【命题意图】本题考查二次函数的实际运用.
【解】
(1)由已知得长为
8
2x
,
2
(
);)当
yx(82x)
2x8x0
x42
x
2
8
2m时,ymax
8m2
,
当矩形花园一边的长为
4m,另一边为2m时面积
(
2)
最大为8m2
.
11.某厂生产某种零件时,每个零件的成本为
40元,出厂定价为
60元,该厂为鼓励销售商
订购,决定当一次订购量超过
100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低
0.02元,但实际出厂单价不能低于
51元.
(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为
51元?
(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为
P元,请写出函数P
f(x)的表达式.
(3)当销售商一次订购
500个零件时,该厂获得的利润是多少元?
如果订购
1000个零件时,
该厂获得的利润又是多少元?
【命题意图】本题考查函数的应用.
【解】
(1)设有x个零件,由题意得:
60
0.02(x100)=51,600.02x+2=51,0.02x=11,
x=550.答:
当一次订购量为550
个时,零件的实际出厂单价恰降为
51元;
(2)①当x550,
单价都是
51元;此时P
是恒值
51,不随x变化;②100x,550时,
P
60
0.02x
10060
0.0x2
2
62
x0,.此0时
x单价
P的关系式为:
60,0
x,
100
P
62
0.02x,f(x)
62
0.02x,100x
550(xN);
51,x550
20x,0
x,100
(3)L
(P40)x
22x
x2
100
x
550(x
N),当x=500,时L=6000,当x=1000
50
11x,x
550
时,L=11000.
12.某企业生产一种产品,其成本为每件
0.16万元,经调研,该产品以0.2万元/件投放市场,
每年能销售3.6万件,若产品以0.25万元/件投放市场,每年能销售2.1万件,假定年销售件数y(万件)是价格x(万元/件)的一次函数.
(1)试求y与x之间的关系式;
(2)在企业不积压,且不考虑其他因素的条件下,问销售价格定为多少时,才能使每年获
得最大利润?
每年的最大利润是多少?
(总利润=销售总收入-总成本)
【命题意图】本题考查一次函数的实际运用以及求最值.
【解】
(1)设ykxb,(k
3.6
0.2k
b
k
30
0),则
0.25k
b
,解得
,
2.1
b
9.6
则y
30x
9.6,(0.16
x
0.32)(单位:
万件);
(2)设利润为
w,则w
(x
0.16)y
(x0.16)(
30x9.6)
(单位:
亿)
即w
30(x
0.24)2
0.192
则当销售价格定为0.24万元时,可以获得最大利润,为
1920
万元.
13.在一定范围内,某种产品的购买量
y吨与单价x元之间满足一次函数关系,如果购买1000
吨,每吨为800元,如果购买
2000吨,每吨为700元,一客户购买
400吨,单价应该是()
A.820元
B.840元
C.
860元
D.880元
【命题意图】本题考查一次函数的应用.
C【解析】设一次函数的方程为
y
x1
800
x2
700
代入方程,得方程
kxc,将
y2
2000
y1
1000
800k
c
1000
k
10
y
10x
9000,一客户购买400吨,
组
c
,解得
,即方程为
700k
2000
c9000
单价应该是
860元,故选C.
14.到银行办理不超过100万元的个人异地汇款时,银行要收取一定的手续费
.汇款额不超过
100元时,收取1元手续费;超过100元但不超过500元,按汇款额1%收取;超过500元,一律收取50元手续费.
(1)当汇款额为x元时,设银行收取的手续费为y元,写出y与x之间的函数关系式;
(2)要求出手续费y,其算法结构是什么结构?
(3)画出算法程序框图.
【命题意图】本题考查函数的应用.
1,
(0
≤
x
100)
【解】
(1)依题意可知
y
=
0.01x,
(100
≤
5000);
x
,(
≤
)
50
5000x
1000000
(2)由此看出,求手续费时,需先判断
x的范围,故应用条件结构描述.
(3)其算法程序框图如下图所示.
wmm01
15.如图,在河的南岸有一块成三角形的空地,市政部门规划在这块空地上建一个矩形
小广场,以满足居民跳广场舞的需要,测得AC=60米,BC=100米,∠ACB=90°.
(1)求矩形广场CDMN的面积y与宽x之间的函数关系式;
(2)当矩形广场的长和宽分别是多少时,广场的面积最大?
最大面积是多少?
第34题图mtt4
【命题意图】本题考查二次函数的实际应用.
【解】
(1)由题意可得
MN
BN,即
x
BN,得BN
5
x,故矩形的
长
AC
BC
60
100
3
CN100
5x,
所求函数关系式为
y
100
5xx
5x2
100x0x60
;
3
3
3
(2)当x
100
30,100
5x
50时,
2
5
3
3
ymax
5302
100
301500.
3
答:
当矩形广场的长为
50米、宽为
30米时,广场面积最大为
1500米2.
16.(本题满分12分)某旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些
自行车的费用是每日124元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超出1元,租不出的自行车就增加3
辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用.用y(元)表示出租自行车的日净
收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得).
(1)求函数yf(x)的解析式和定义域;
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使一日的净收入最多?
【命题意图】本题考查函数的应用.
【解】由题意解:
(1)当x,
6时,y50x
124,
令50x
124
0得x
2.48
3剟x
6,xN,
当x
6时,y[503(x
6)]x
124
3x2
68x
124,
令3x2
68x
124
0得整数解为2
x,
20,xN,
故y
50x
124
3剟x
6,x
N
3x
2
68x
124
6x,
20,x
N
函数定义域为
{x|3剟x20,x
N};
(2)对于y
50x124,
当x6时,ymax
176(元);
对于y3x2
68x124,对称轴x
34N,
3
当x11时,ymax261(元).
因为261>176,所以当每辆车的日租金定在
11元时,才能使一日的净收入最多.
17.(12分)某厂生产一种机器的固定成本为0.5万元,但每生产1百台,需增加投入0.25
万元.市场对此产品的年需求量为
5百台(即产量多于5百台时,由于市场需求只能售出5
百台,但一直要照常增加投入成本)
..
R
(万元)为
x的函数:
.则当售出x百台时,收入
R(x)5x
x2
0剟x
5
.请解答:
2
(1)写出成本函数
C
x;
(2)把利润表示为年产量的和函数
Lx;
(3)年产量是多少时,工厂所得利润最大?
【命题意图】本题考查函数的实际应用.
【解】
(1)C(x)0.50.25x,x
0
;
(2分)
(2)
当x,5时,产品能售出x台,x
>5时,只能售出
5百台,故利润函数为
(5x
x2
0.25x)
4.75xx
2
0.5,0剟x
5
)(0.5
L(x)
R(x)C(x)
2
2
5
52
)(0.5
0.25x)
{120.25x
x5
(5
2
6分;
(3)当
0剟x5
时,L(x)4.75x
x2
0.5,当x=4.75时,得L(x)max
10.8
万元;
2
9分
当x>5时,L(x)
120.25x,利润在
12
0.25
512
2.259.75(万元)以下,11分,
故生产
475台时利润最大.
12分
18.(2015年湖州二模)(本题满分10分)两边靠墙的角落有一个区域,边界线正好是圆轨
迹的部分,如图所示.现要设计一个矩形花坛,要求其不靠墙的顶点正好落在圆的轨迹上.
(1)根据所给条件,求出圆的标准方程;(3分)
(2)求矩形面积S与