届高三文科数学一轮复习教师讲义全套打包下载第5章平面向量.docx

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届高三文科数学一轮复习教师讲义全套打包下载第5章平面向量

第五章平面向量

全国卷年考情图解

高考命题规律把握

1.高考在本章一般命制1个小题，分值占5分．

2.高考在本章重点考查平面向量的线性运算、坐标运算、向量的数量积及应用、向量的平行与垂直，难度一般较小．

3.本章一般不涉及解答题，在知识的交汇上往往以三角函数、解析几何、概率等为载体进行考查.

第一节平面向量的概念及线性运算

一、基础知识批注——理解深一点

1．向量的有关概念

（1）向量的定义及表示：

既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向量记作，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．

（2）向量的长度（模）：

向量的大小即向量的长度（模），记为||.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

任意向量a的模都是

非负实数，即|a|≥0.

2．几种特殊向量

名称

定义

备注

零向量

长度为0的向量

零向量记作0，其方向是任意的

单位向量

长度等于1个单位的向量　

单位向量记作a0，a0＝

平行向量

方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）

0与任意向量共线

相等向量

长度相等且方向相同的向量

相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量

相反向量

长度相等且方向相反的两个向量

若a，b为相反向量，则a＝－b

单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－.

3．向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算　

三角形法则平行四边形法则

❷

（1）交换律：

a＋b＝b＋a；

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

|λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ（μa）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b）＝λa＋λb

❷向量加法的多边形法则

多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.

4．共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.

只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.

二、常用结论汇总——规律多一点

（1）若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝（＋）．

（2）＝λ＋μ（λ，μ为实数），若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.

三、基础小题强化——功底牢一点

（1）向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．（　　）

（2）|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．（　　）

（3）若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．（　　）

（4）当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．（　　）

答案：

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）√

（二）选一选

1．下列说法正确的是（　　）

A．单位向量都相等

B．模为0的向量与任意向量共线

C．平行向量不一定是共线向量

D．任一向量与它的相反向量不相等

解析：

选B　对于A，单位向量的模相等，方向不一定相同，所以A错误；对于B，模为0的向量为零向量，零向量和任意向量共线，所以B正确；对于C，共线向量是方向相同或相反的非零向量，也叫平行向量，所以C错误；对于D，零向量与它的相反向量相等，所以D错误．故选B.

2．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（　　）

A．||＝||一定成立　B．＝＋一定成立

C．＝一定成立D．＝－一定成立

解析：

选A　在平行四边形ABCD中，＝＋一定成立，＝一定成立，＝－一定成立，但||＝||不一定成立．故选A.

3．设a，b都是非零向量，下列四个选项中，一定能使＋＝0成立的是（　　）

A．a＝2bB．a∥b

C．a＝－bD．a⊥b

解析：

选C　“＋＝0，且a，b都是非零向量”等价于“非零向量a，b共线且反向”，故答案为C.

（三）填一填

4．若菱形ABCD的边长为2，则|－＋|＝________.

解析：

|－＋|＝|＋＋|＝||＝2.

答案：

2

5．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－（b－3a）共线，则λ＝________.

解析：

由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－（b－3a）]，

所以解得

答案：

－

[典例]　给出下列命题：

①若a＝b，b＝c，则a＝c；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；

④若a∥b，b∥c，则a∥c.

其中正确命题的序号是________．

[解析]　①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，

又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，

∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

②正确．∵＝，∴||＝||且∥，

又A，B，C，D是不共线的四点，

∴四边形ABCD为平行四边形；

反之，若四边形ABCD为平行四边形，

则∥且||＝||，因此，＝.

③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．

④不正确．考虑b＝0这种特殊情况．

综上所述，正确命题的序号是①②.

[答案]　①②

[解题技法]　向量有关概念的关键点

（1）向量定义的关键是方向和长度．

（2）非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．

（3）相等向量的关键是方向相同且长度相等．

（4）单位向量的关键是长度都是一个单位长度．

（5）零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线．

[题组训练]

1．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②λa＝0（λ为实数），则λ必为零；

③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误的命题的个数为（　　）

A．0　　　　　　　　　　　B．1

C．2D．3

解析：

选D　①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.

2．设a0为单位向量，下列命题中：

①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析：

选D　向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：

一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．

综上所述，假命题的个数是3.

[典例]　

（1）（2018·全国卷Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（　　）

A.－B.－

C.＋D.＋

（2）如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝（　　）

A．1B．2

C．3D．4

[解析]　

（1）作出示意图如图所示．＝＋＝＋＝×（＋）＋（－）＝－.故选A.

（2）根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋（＋＋）＝＋（＋）＝＋＝＋.

因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.

[答案]　

（1）A　

（2）C

[解题技法]　向量线性运算的解题策略

（1）常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．

（2）找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．

（3）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果．

（4）与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．

[题组训练]

1．设D为△ABC所在平面内一点，＝3，则（　　）

A．＝－＋　　　B．＝－

C．＝＋D．＝－

解析：

选A　由题意得＝＋＝＋＝＋－＝－＋.

2．（2019·太原模拟）在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则实数λ＋μ＝________.

解析：

如图，∵＝＋＝＋＝＋，①

＝＋＝＋，②

由①②得＝－，＝－，

∴＝＋＝＋＝－＋－＝＋，

∵＝λ＋μ，∴λ＝，μ＝，λ＋μ＝.

答案：

[典例]　设两个非零向量a与b不共线，

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－3b，

求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．

[解]　

（1）证明：

∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－3b，

∴＝＋＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5，

∴，共线．

又∵它们有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

（2）∵ka＋b与a＋kb同向，

∴存在实数λ（λ>0），使ka＋b＝λ（a＋kb），

即ka＋b＝λa＋λkb.

∴（k－λ）a＝（λk－1）b.

∵a，b是不共线的非零向量，

∴解得或

又∵λ>0，∴k＝1.

[解题技法]

1．共线向量定理的3个应用

证明向量共线

对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb（b≠0），则a与b共线

证明三点共线

若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线

求参数的值

利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值

2.向量共线问题的注意事项

（1）向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．

（2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．

[题组训练]

1．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是（　　）

A．矩形　　　　　　　　　B．平行四边形

C．梯形D．以上都不对

解析：

选C　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2，故∥.又因为与不平行，所以四边形ABCD是梯形．

2．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则（　　）

A．λ＝0B．e2＝0

C．e1∥e2D．e1∥e2或λ＝0

解析：

选D　因为向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因为向量a和b共线，存在实数k，使得a＝kb，所以e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝（2k－1）e1，所以e1∥e2或λ＝0.

3．已知O为△ABC内一点，且＝（＋），＝t，若B，O，D三点共线，则t＝（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　设E是BC边的中点，则（＋）＝，由题意得＝，所以＝＝（＋）＝＋，又因为B，O，D三点共线，所以＋＝1，解得t＝，故选B.

4．已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且＝＋，则（　　）

A．点P在线段AB上

B．点P在线段AB的延长线上

C．点P在线段AB的反向延长线上

D．点P在射线AB上

解析：

选D　由＝＋，得－＝，∴＝·，∴点P在射线AB上，故选D.

1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝（　　）

A．　　　　　　　　　　　B.

C.D．

解析：

选A　由题意得＋＝