月线性代数经管类.docx
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月线性代数经管类
2010/01
说明：
本卷中，AT表示矩阵A的转置，αT表示向量α的转置，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，A-1表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式
（）
A.
B.1C.2D.
2.设A，B，C为同阶可逆方阵，则（ABC）-1=（）
A.A-1B-1C-1B.C-1B-1A-1C.C-1A-1B-1D.A-1C-1B-1
3.设α1，α2，α3，α4是4维列向量，矩阵A=（α1，α2，α3，α4）.如果|A|=2，则|-2A|=（）
A.-32B.-4C.4D.32
4.设α1，α2，α3，α4是三维实向量，则（）
A.α1，α2，α3，α4一定线性无关B.α1一定可由α2，α3，α4线性表出
C.α1，α2，α3，α4一定线性相关D.α1，α2，α3一定线性无关
5.向量组α1=（1，0，0），α2=（1，1，0），α3=（1，1，1）的秩为（）
A.1B.2C.3D.4
6.设A是4×6矩阵，r（A）=2，则齐次线性方程组Ax=0的基础解系中所含向量的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
7.设A是m×n矩阵，已知Ax=0只有零解，则以下结论正确的是（）
A.m≥nB.Ax=b（其中b是m维实向量）必有唯一解
C.r（A）=mD.Ax=0存在基础解系
8.设矩阵A=
，则以下向量中是A的特征向量的是（）
A.（1，1，1）TB.（1，1，3）TC.（1，1，0）TD.（1，0，-3）T
9.设矩阵A=
的三个特征值分别为λ1，λ2，λ3，则λ1+λ2+λ3=（）
A.4B.5C.6D.7
10.三元二次型f（x1，x2，x3）=
的矩阵为（）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.行列式
=_________.
12.设A=
，则A-1=_________.
13.设方阵A满足A3-2A+E=0，则（A2-2E）-1=_________.
14.实数向量空间V={（x1,x2,x3）|x1+x2+x3=0}的维数是_________.
15.设α1，α2是非齐次线性方程组Ax=b的解.则A（5α2-4α1）=_________.
16.设A是m×n实矩阵，若r（ATA）=5，则r（A）=_________.
17.设线性方程组
有无穷多个解，则a=_________.
18.设n阶矩阵A有一个特征值3，则|-3E+A|=_________.
19.设向量α=（1，2，-2），β=（2，a，3），且α与β正交，则a=_________.
20.二次型
的秩为_________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21．计算4阶行列式D=
.
22.设A=
，判断A是否可逆，若可逆，求其逆矩阵A-1.
23.设向量α=（3，2），求（αTα）101.
24.设向量组α1=（1，2，3，6），α2=（1，-1，2，4），α3=（-1，1，-2，-8），α4=（1，2，3，2）.
（1）求该向量组的一个极大线性无关组；
（2）将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.
25.求齐次线性方程组
的基础解系及其通解.
26.设矩阵A=
，求可逆方阵P，使P-1AP为对角矩阵.
四、证明题（本大题6分）
27.已知向量组α1,α2，α3，α4线性无关，证明：
α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1线性无关.
2010/04
一、单项选择题（本大题共20小题，每小题1分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知2阶行列式
=m,
=n,则
=（）
A.m-nB.n-mC.m+nD.-（m+n）
2.设A,B,C均为n阶方阵，AB=BA，AC=CA，则ABC=（）
A.ACBB.CABC.CBAD.BCA
3.设A为3阶方阵，B为4阶方阵,且行列式|A|=1，|B|=-2，则行列式||B|A|之值为（）
A.-8B.-2C.2D.8
4.已知A=
，B=
，P=
，Q=
，则B=（）
A.PAB.APC.QAD.AQ
5.已知A是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（）
A.若矩阵A中所有3阶子式都为0，则秩（A）=2B.若A中存在2阶子式不为0，则秩（A）=2
C.若秩（A）=2，则A中所有3阶子式都为0D.若秩（A）=2，则A中所有2阶子式都不为0
6.下列命题中错误的是（）
A.只含有一个零向量的向量组线性相关B.由3个2维向量组成的向量组线性相关
C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关
7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（）
A.α1必能由α2,α3，β线性表出B.α2必能由α1,α3，β线性表出
C.α3必能由α1,α2，β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出
8.设A为m×n矩阵，m≠n,则齐次线性方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是A的秩（）
A.小于mB.等于C.小于nD.等于n
9.设A为可逆矩阵，则与A必有相同特征值的矩阵为（）
A.ATB.A2C.A-1D.A*
10.二次型f（x1,x2,x3）=
的正惯性指数为（）
A.0B.1C.2D.3
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.行列式
的值为_________________________.
12.设矩阵A=
B=
则ATB=____________________________.
13.设4维向量
（3,-1,0,2）T,β=（3,1,-1,4）T，若向量γ满足2
γ=3β，则γ=__________.
14.设A为n阶可逆矩阵，且|A|=
则|A-1|=___________________________.
15.设A为n阶矩阵，B为n阶非零矩阵，若B的每一个列向量都是齐次线性方程组Ax=0的解，则|A|=__________________.
16.齐次线性方程组
的基础解系所含解向量的个数为________________.
17.设n阶可逆矩阵A的一个特征值是-3，则矩阵
必有一个特征值为_____________.
18.设矩阵A=
的特征值为4，1，-2，则数x=________________________.
19.已知A=
是正交矩阵，则a+b=_______________________________。
20.二次型f（x1,x2,x3）=-4x1x2+2x1x3+6x2x3的矩阵是_______________________________。
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算行列式D=
的值。
22.已知矩阵B=（2，1，3），C=（1，2，3），求
（1）A=BTC；
（2）A2。
23.设向量组
求向量组的秩及一个极大线性无关组，并用该极大线性无关组表示向量组中的其余向量。
24.已知矩阵A=
，B=
.
（1）求A-1；
（2）解矩阵方程AX=B。
25.问a为何值时，线性方程组
有惟一解？
有无穷多解？
并在有解时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）。
26.设矩阵A=
的三个特征值分别为1，2，5，求正的常数a的值及可逆矩阵P，使P-1AP=
。
四、证明题（本题6分）
27.设A，B，A+B均为n阶正交矩阵，证明（A+B）-1=A-1+B-1。
2010/07
试卷说明：
在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵；A*表示A的伴随矩阵；r（A）表示矩阵A的秩；|A|表示A的行列式；E表示单位矩阵。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设3阶方阵A=（α1，α2，α3），其中αi（i=1,2,3）为A的列向量，若|B|=|（α1+2α2，α2，α3）|=6，则|A|=（）
A.-12B.-6C.6D.12
2.计算行列式
=（）
A.-180B.-120C.120D.180
3.若A为3阶方阵且|A-1|=2，则|2A|=（）
A.
B.2C.4D.8
4.设α1，α2，α3，α4都是3维向量，则必有（）
A.α1，α2，α3，α4线性无关B.α1，α2，α3，α4线性相关
C.α1可由α2，α3，α4线性表示D.α1不可由α2，α3，α4线性表示
5.若A为6阶方阵，齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为2，则r（A）=（）
A.2B.3C.4D.5
6.设A、B为同阶方阵，且r（A）=r（B），则（）
A.A与B相似B.|A|=|B|C.A与B等价D.A与B合同
7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0则|A+2E|=（）
A.0B.2C.3D.24
8.若A、B相似，则下列说法错误的是（）
A.A与B等价B.A与B合同C.|A|=|B|D.A与B有相同特征值
9.若向量α=（1，-2,1）与β=（2，3，t）正交，则t=（）
A.-2B.0C.2D.4
10.设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则（）
A.A正定B.A半正定C.A负定D.A半负定
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.设A=
B=
，则AB=_________________.
12.设A为3阶方阵，且|A|=3，
则|3A-1|=______________.
13.三元方程x1+x2+x3=1的通解是_______________.
14.设α=（-1，2，2），则与α反方向的单位向量是_________________.
15.设A为5阶方阵，且r（A）=3，则线性空间W={x|Ax=0}的维数是______________.
16.设A为3阶方阵，特征值分别为-2，
，1，则|5A-1|=______________.
17.若A、B为5阶方阵，且Ax=0只有零解，且r（B）=3，则r（AB）=_________________.
18.实对称矩阵
所对应的二次型f（x1,x2,x3）=________________.
19.设3元非齐次线性方程组Ax=b有解α1=
，α2=
且r（A）=2，则Ax=b的通解是_______________.
20.设α=
，则A=ααT的非零特征值是_______________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.计算5阶行列式D=
22.设矩阵X满足方程
X
=
求X.
23.求非齐次线性方程组
的通解.
24.求向量组α1=（1,2，-1,4），α2=（9,100,10,4），α3=（-2，-4,2，-8）的秩和一个极大无关组.
25.已知A=
的一个特征向量ξ=（1,1，-1）T，求a，b及ξ所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.
26.设A=
，试确定a使r（A）=2.
四、证明题（本大题共1小题，6分）
27.若α1，α2，α3是Ax=b（b≠0）的线性无关解，证明α2-αl，α3-αl是对应齐次线性方程组Ax=0的线性无关解.
全国2010年10月高等教育自学考试
线性代数（经管类）试题
课程代码：
04184
说明:
在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,A*表示矩阵A的伴随矩阵,E是单位矩阵,|A|表示方阵A的行列式,r（A）表示矩A的秩.
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分,共20分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A为3阶矩阵,|A|=1,则|-2AT|=（）
A.-8B.-2C.2D.8
2.设矩阵A=
B=（1,1）,则AB=（）
A.0B.（1,-1）C.
D.
3.设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,则下列矩阵中为反对称矩阵的是（）
A.AB-BAB.AB+BAC.ABD.BA
4.设矩阵A的伴随矩阵A*=
则A-1=（）
A.
B.
C.
D.
5.下列矩阵中不是初等矩阵的是（）
A.
B.
C.
D.
6.设A,B均为n阶可逆矩阵,则必有（）
A.A+B可逆B.AB可逆C.A-B可逆D.AB+BA可逆
7.设向量组α1=（1,2）,α2=（0,2）,β=（4,2）,则（）
A.α1,α2,β线性无关B.β不能由α1,α2线性表示
C.β可由α1,α2线性表示,但表示法不惟一D.β可由α1,α2线性表示,且表示法惟一
8.设A为3阶实对称矩阵,A的全部特征值为0,1,1,则齐次线性方程组（E-A）x=0的基础解系所含解向量的个数为（）
A.0B.1C.2D.3
9.设齐次线性方程组
有非零解,则
为（）
A.-1B.0C.1D.2
10.设二次型f（x）=xTAx正定,则下列结论中正确的是（）
A.对任意n维列向量x,xTAx都大于零B.f的标准形的系数都大于或等于零
C.A的特征值都大于零D.A的所有子式都大于零
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.行列式
的值为_________.
12.已知A=
则|A|中第一行第二列元素的代数余子式为_________.
13.设矩阵A=
P=
则AP3=_________.
14.设A,B都是3阶矩阵,且|A|=2,B=-2E,则|A-1B|=_________.
15.已知向量组α1,=（1,2,3）,α2=（3,-1,2）,α3=（2,3,k）线性相关,则数k=_________.
16.已知Ax=b为4元线性方程组,r（A）=3,α1,α2,α3为该方程组的3个解,且
则该线性方程组的通解是_________.
17.已知P是3阶正交矩,向量
_________.
18.设2是矩阵A的一个特征值,则矩阵3A必有一个特征值为_________.
19.与矩阵A=
相似的对角矩阵为_________.
20.设矩阵A=
若二次型f=xTAx正定,则实数k的取值范围是_________.
三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）
21.求行列式D=
22.设矩阵A=
求满足矩阵方程XA-B=2E的矩阵X.
23.若向量组
的秩为2,求k的值.
24.设矩阵
（1）求A-1;
（2）求解线性方程组Ax=b,并将b用A的列向量组线性表出.
25.已知3阶矩阵A的特征值为-1,1,2,设B=A2+2A-E,求
（1）矩阵A的行列式及A的秩.
（2）矩阵B的特征值及与B相似的对角矩阵.
26.求二次型f（x1,x2,x3）=-4x1x2+2x1x3+2x2x3经可逆线性变换
所得的标准形.
四、证明题（本题6分）
27.设n阶矩阵A满足A2=E,证明A的特征值只能是
.
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