勾股定理的证明方法及简单应用毕业论文.docx

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勾股定理的证明方法及简单应用毕业论文

勾股定理的证明方法及简单应用--毕业论文

【标题】勾股定理的证明方法及简单应用 【作者】官勇【关键词】勾股定理建筑航海【指导老师】彬【专业】数学与应用数学【正文】1引言约2000年前我国古代算书《周髀算经》中就记载了公元前1120年我国古人发现的“勾三股四弦五”.当时把较短的直角边叫做勾较长的边叫做股斜边叫做弦。

勾三股四弦五”的意思是在直角三角形中如果勾为3股为4那么弦为5.这里324252。

们还发现勾为6股为8弦一定为10。

为5股为12弦一定为13等.也有62821025212213�6�7即勾2股2弦2。

所以我国称它为勾股定理.据文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。

据说当他证明了勾股定理以后欣喜若狂杀牛百头以示庆贺。

故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。

勾股定理的证明是几何学中的明珠所以它充满魅力千百年来人们对它的证明趋之若骛其中有著名的数学家也有业余数学爱好者有普通的老百姓也有尊贵的政要权贵甚至有国家总统。

也许是因为勾股定理既重要又简单更容易吸引人才使它成百次地反复被人炒作反复被人论证。

1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑其中收集了367种不同的证明方法。

实际上还不止于此有资料表明关于勾股定理的证明方法已有500余种仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。

勾股定理的应用也是非常的早在更早期的人类活动中人们就已经认识到这一定理的某些特例。

据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。

考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书据专家们考证其中一块上面刻有如下问题“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上当其上端滑下6个单位时请问其下端离开墙角有多远”这是一个三边为为3:

4:

5三角形的特殊例子专家们还发现在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表表中共刻有四列十五行数字这是一个勾股数表最右边一列为从1到15的序号而左边三列则分别是股、勾、弦的数值一共记载着15组勾股数。

这说明勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。

中国古代大禹在治水的时候也就也就总结出这个原理.2已知成果的概述2.1国对勾股定理的证明爽的这个证明可谓别具匠心极富创新意识.他用几何图形的截割拼补来证明代数式之间的恒等关系既具严密性又具直观性为中国古代以形证数形数统一代数和几何紧密结合互不可分的独特风格树立了一个典.以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展.【证法1】爽证明以a、b为直角边ba以c为斜边作四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于..把这四个直角三角形拼成如图所示形状.∵RtΔDAH≌RtΔABE∴∠HDA∠EAB.∵∠HAD∠HDA90o∴∠EAB∠HAD90o∴ABCD是一个边长为c的正方形它的面积等于c2.∵EFFGGHHEb―a∠HEF90o.∴EFGH是一个边长为b―a的正方形它的面积等于.∴.∴.【证法2】邹元治证明以a、b为直角边以c为斜边做四个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于.把这四个直角三角形拼成如图所示形状使A、E、B三点在一条直线上B、F、C三点在一条直线上C、G、D三点在一条直线上.∵RtΔHAE≌RtΔEBF∴∠AHE∠BEF.∵∠AEH∠AHE90o∴∠AEH∠BEF90o.∴∠HEF180o―90o90o.∴四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的面积等于c2.∵RtΔGDH≌RtΔHAE∴∠HGD∠EHA.∵∠HGD∠GHD90o∴∠EHA∠GHD90o.又∵∠GHE90o∴∠DHA90o90o180o.∴ABCD是一个边长为ab的正方形它的面积等于∴∴.【证法3】徽证明徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法只是具体的分合移补略有不同徽的证明原也有一幅图可惜图已失传只留下一段文字“勾自乘为朱方股自乘为青方令出入相补各从其类因就其余不动也合成弦方之幂开方除之即弦也”后人根据这段文字补了一图见下图只要把图中朱方a2的I移至I′青方的II移至II′III移至III′则刚好拼好一个以弦为边长的正方形c2由此便可证得a2b2c2【证法4】作玫证明做两个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为a、bba斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥ACAF交GT于FAF交DT于R.过B作BP⊥AF垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直垂足为EDE交AF于H.∵∠BAD90o∠PAC90o∴∠DAH∠BAC.∵∠DHA90o∠BCA90oADABc∴RtΔDHA≌RtΔBCA.∴DHBCaAHACb.由作法可知PBCA是一个矩形∴RtΔAPB≌RtΔBCA.即PBCAbAPa从而PHb―a.∵RtΔDGT≌RtΔBCARtΔDHA≌RtΔBCA.∴RtΔDGT≌RtΔDHA.∴DHDGa∠GDT∠HDA.∵∠DGT90o∠DHF90o∠GDH∠GDT∠TDH∠HDA∠TDH90o∴DGFH是一个边长为a的正方形.∴GFFHa.TF⊥AFTFGT―GFb―a.∴TFPB是一个直角梯形上底TFb―a下底BPb高FPab―a.用数字表示面积的编号如图则以c为边长的正方形的面积为①∵∴②把②代入①得.∴.【证法5】锐证明设直角三角形两直角边的长分别为a、bba斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形把它们拼成如图所示形状使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号如图.∵∠TBE∠ABH90o∴∠TBH∠ABE.又∵∠BTH∠BEA90oBTBEb∴RtΔHBT≌RtΔABE.∴HTAEa.∴GHGT―HTb―a.又∵∠GHF∠BHT90o∠DBC∠BHT∠TBH∠BHT90o∴∠GHF∠DBC.∵DBEB―EDb―a∠HGF∠BDC90o∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即.过Q作QM⊥AG垂足是M.由∠BAQ∠BEA90o可知∠ABE∠QAM而ABAQc所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即.由RtΔABE≌RtΔQAM又得QMAEa∠AQM∠BAE.∵∠AQM∠FQM90o∠BAE∠CAR90o∠AQM∠BAE∴∠FQM∠CAR.又∵∠QMF∠ARC90oQMARa∴RtΔQMF≌RtΔARC.即.∵又∵∴即.【证法6】杰证明设直角三角形两直角边的长分别为a、bba斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形ba把它们拼如图所示形状使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号如图.在EHb上截取EDa连结DA、DC则ADc.∵EMEHHMbaEDa∴DMEM―ED-ab.又∵∠CMD90oCMa∠AED90oAEb∴RtΔAED≌RtΔDMC.∴∠EAD∠MDCDCADc.∵∠ADE∠ADC∠MDC180o∠ADE∠MDC∠ADE∠EAD90o∴∠ADC90o.∴作AB‖DCCB‖DA则ABCD是一个边长为c的正方形.∵∠BAF∠FAD∠DAE∠FAD90o∴∠BAF∠DAE.连结FB在ΔABF和ΔADE中∵ABADcAEAFb∠BAF∠DAE∴ΔABF≌ΔADE.∴∠AFB∠AED90oBFDEa.∴点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中∵ABBCcBFCGa∴RtΔABF≌RtΔBCG.∵∴∴.2.2国外对勾股定理的证明【证法1】梅文鼎证明做四个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为a、b斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.∵D、E、F在一条直线上且RtΔGEF≌RtΔEBD∴∠EGF∠BED∵∠EGF∠GEF90°∴∠BED∠GEF90°∴∠BEG180o―90o90o.∵ABBEEGGAc∴ABEG是一个边长为c的正方形.∴∠ABC∠CBE90o.∵RtΔABC≌RtΔEBD∴∠ABC∠EBD.∴∠EBD∠CBE90o.即∠CBD90o.又∵∠BDE90o∠BCP90oBCBDa.∴BDPC是一个边长为a的正方形.同理HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S则∴.我国清代末数学家项明达证明方法其思路的前一部分与梅文鼎的证明思路相反项明达法是先构造正方形再利用全等三角形与原直角三角形全等知识来证明能从而将问题转化为了梅文鼎证明法的后半部分三个正方形的面积.项明达证明方法做两个全等的直角三角形设它们的两条直角边长分别为a、bba斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形使E、A、C三点在一条直线上.过点Q作QP‖BC交AC于点P.过点B作BM⊥PQ垂足为M再过点F作FN⊥PQ垂足为N.∵∠BCA90oQP‖BC∴∠MPC90o∵BM⊥PQ∴∠BMP90o∴BCPM是一个矩形即∠MBC90o.∵∠QBM∠MBA∠QBA90o∠ABC∠MBA∠MBC90o∴∠QBM∠ABC又∵∠BMP90o∠BCA90oBQBAc∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.从而将问题转化为梅文鼎证明.【证法2】欧几里得证明法也叫毕氏证明法做三个边长分别为a、b、c的正方形把它们拼成如图所示形状使H、C、B三点在一条直线上连结BF、CD.过C作CL⊥DE交AB于点M交DE于点L.∵AFACABAD∠FAB∠GAD∴ΔFAB≌ΔGAD∵ΔFAB的面积等于ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半∴矩形ADLM的面积.同理可证矩形MLEB的面积.∵正方形ADEB的面积矩形ADLM的面积矩形MLEB的面积∴即.【证法3】美国总统伽菲尔德的证明法以a、b为直角边以c为斜边作两个全等的直角三角形则每个直角三角形的面积等于.把这两个直角三角形拼成如图所示形状使A、E、B三点在一条直线上.∵RtΔEAD≌RtΔCBE∴∠ADE∠BEC.∵∠AED∠ADE90o∴∠AED∠BEC90o.∴∠DEC180o―90o90o.∴ΔDEC是一个等腰直角三角形它的面积等于∵∠DAE90o∠EBC90o∴AD‖BC.∴ABCD是一个直角梯形它的面积等于∴.∴.故【证法4】辛卜松证明设直角三角形两直角边的长分别为a、b斜边的长为c.作边长是ab的正方形ABCD.把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分则正方形