MATLAB符号运算.docx
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MATLAB符号运算
符号运算
科学计算包括数值计算和符号计算两种计算，数值计算是近似计算；而符号计算则是绝对精确的计算。
符号变量的生成和使用
1、符号变量、符号表达式和符号方程的生成
（1）、使用sym函数定义符号变量和符号表达式
单个符号变量
sqrt
（2）
sym（sqrt
（2））%显示精确结果
a=sqrt（sym
（2））%显示精确结果
double（a）
sym
（2）/sym（3）%显示精确结果
2/5+1/3
sym（2/5+1/3）%显示精确结果
sym
（2）/sym（5）+sym
（1）/sym（3）%显示精确结果
sym函数定义符号表达式：
单个变量定义法，整体定义法
单个变量定义法
a=sym（'a'）
b=sym（'b'）
c=sym（'c'）
x=sym（'x'）
f=a*x^2+b*x+c
整体定义法
f=sym（'a*x^2+b*x+c'）
g=f^2+4*f-2
（2）、使用syms函数定义符号变量和符号表达式
一次可以创建任意多个符号变量symsvar1var2var3…
symsabcx
f=a*x^2+b*x+c
g=f^2+4*f-2
（3）、符号方程的生成
函数：
数字和变量组陈的代数式
方程：
函数和等号组成的等式
用sym函数生成符号方程：
equation1=sym（'sin（x）+cos（x）=1'）
2、符号变量的基本操作
（1）、findsym函数用于寻找符号变量
findsym（f）：
找出f表达式中的符号变量
findsym（s,n）：
找出表达式s中n个与x接近的变量
symsaalphabx1y
findsym（alpha+a+b）
findsym（cos（alpha）*b*x1+14*y,2）%x1,y
findsym（y*（4+3i）+6j）
findsym（cos（alpha）*b*x1+14*y,1）%x1
findsym（cos（alpha）*b*x1+14*y,3）%x1,y,b
（2）、任意精确度的符号表达式
digits函数设定所用数值的精度
digits：
在commandwindow显示当前设定的数值精度
digits（D）：
设置数值的精度为D
D=digits：
在commandwindow中返回当前设定数值精度
digits
digits（100）
D=digits
vpa函数进行可控精度运算
R=vpa（S）：
显示符号表达式S在当前精度D下的值，D是使用digits函数设置的数值精度
vpa（S,D）：
显示符号表达式S在精度D下的值，D不是当前精度值，只是临时设置的
r=vpa（pi）
r=vpa（pi,1000）
q=vpa（hilb
（2））
q=vpa（hilb
（2）,6）
（3）、数值型变量与符号型变量的转换形式
数值型变量t转换成符号型变量
有理数形式：
sym（t）或sym（t,’r’）
浮点数形式：
sym（t,’f’）
指数形式：
sym（t,’e’）
指数精度形式：
sym（t,’d’）
t=0.1
sym（t）
sym（t,'r'）
sym（t,'f'）
sym（t,'e'）
sym（t,'d'）
可以通过digits函数改变精度
digits（7）
sym（t,'d'）
也可以用于矩阵，但是矩阵只能转换为有理数形式
A=hilb（4）
A=sym（A）
A=sym（A,'d'）%报错
A=sym（A,'e'）%报错
A=sym（A,'f'）%报错
3、符号表达式（符号函数）的操作
（1）、四则运算（与通常算术式一样）
symsxyab
fun1=sin（x）+cos（y）
fun2=a+b
fun1+fun2
（2）、合并同类项
collect（S,v）：
将符号矩阵S中所有同类项合并，并以v为符号变量输出
collect（S）：
使用findsym函数规定的默认变量，代替上式的v
symsxy
collect（x^2*y+y*x-x^2-2*x）
f=-1/4*x*exp（-2*x）+3/16*exp（-2*x）
collect（f）
（3）、因式分解
horner（P）：
将表达式P进行因式分解
symsx
fun1=2*x^3+2*x^2-32*x+40
horner（fun1）
fun2=x^3-6*x^2+11*x-6
horner（fun2）
（4）、简化
simplify（S）：
将表达式S中的每个元素都进行简化，即便使用多次simplify也不一定能得到最简形式
symsx
fun1=（1/x+7/x^2+12/x+8）^（1/3）
sfy1=simplify（fun1）
sfy2=simplify（sfy1）
simplify（sin（x）^2+cos（x）^2）
simple（S）：
使用多种代数方法对S进行简化，显其中最简单的结果
[R,how]=simple（S）：
R为最简结果，how为简化方法的字符串
s=2*cos（x）^2-sin（x）^2
simple（s）
[Rhow]=simple（s）
simple（f）
（5）、subs函数用于替换求值
subs函数可以将符号表达式的符号变量替换为数值变量
subs（S）：
将S中自由符号变量用调用函数中的值或是MATLAB工作区间值替换
subs（S,new）：
将S中自由符号变量用数值型变量或表达式new替换
subs（S,old,new）：
将S中符号变量old用数值型变量或表达式new替换
symsxy
f=x^2*y+5*x*sqrt（y）
subs（f）
subs（f,x,3）
subs（f,y,3）
subs（f,3）%与subs（f,x,3）结果相同
用户没指定被替换的符号变量，对单个字母的变量，MATLAB选择在字母表中与x接近的字母，若有两个变量离x一样近，则选择字母表中靠后的那个
findsym（f,1）
symsst
g=s+t
findsym（g,1）%找到t
subs（g,1）%替换为s+1
多个变量替换
symsab
subs（cos（a）+sin（b）,{a,b},{sym（'alpha'）,2}）
用矩阵替换
symstxy
subs（exp（a*t）,a,-magic
（2））
subs（x*y,{x,y},{[01;-1-1],[1-1;-21]}）
（6）、反函数
g=finverse（f）：
求函数f的反函数，返回g也是符号函数
g=finverse（f,v）：
设定f的自变量是v，当f包括不止一个变量时最好使用该命令
symsxy
f=x^2+y
finverse（f,y）
finverse（f）%由于没指明自变量，给出警告
symsx
f=x^2
g=finverse（f）%x^2的反函数不唯一，默认给出正值
fg=simple（compose（g,f））%验证反函数正确性
（7）、复合函数
compose（f,g）：
返回f=f（x）,g=g（y）的复合函数f（g（y）），x是findsym定义的f的符号变量，y是findsym定义的g的符号变量
compose（f,g,z）：
返回f=f（x）,g=g（y）的复合函数f（g（z）），返回函数以z为自变量
compose（f,g,x,z）：
返回f（g（z）），x为函数f的独立变量
compose（f,g,x,y,z）：
返回f（g（z）），x为函数f的独立变量，y为函数g的独立变量
symsxyztu
f=1/（1+x^2）
g=sin（y）
h=x^t
p=exp（-y/u）
compose（f,g）
compose（f,g,t）
compose（h,g,x,z）
compose（h,g,t,z）
compose（h,p,x,y,z）
compose（h,p,t,u,z）
符号矩阵的生成和运算
1、符号矩阵的生成
（1）、使用sym函数直接生成符号矩阵
a1=sym（'[1/32/35/7;9/1111/1313/17;17/1919/2323/29]'）
a1=sym（'[1/3,0.2+sqrt
（2）,pi;2/7,sin（x）,cos（x）,log（x）;sin（x）^2,sin（22*x）,exp（x）]'）%长度不一致的行补0
（2）、用生成子矩阵的方法生成符号矩阵
与字符串矩阵的直接输入法类似，同一列元素长度须相同（不同补0）
a=['[100,cos（x）]';'[1/s,x]']
（3）、由数值矩阵转换为符号矩阵
系统首先将自动在MATLAB工作区间将数值型变量转换为符号型变量，用户也可以用sym函数进行转换
M=[30111;6159;98254;3245620]
S=sym（M）
M1=[0.30.330.3331/3;3.143.1423.1416pi;log
（2）log（3）log（5）log（7）;sin
（1）cos
（1）tan
（1）atan
（1）]
S1=sym（M1）
2、符号矩阵及符号数组的运算
（1）、符号矩阵的四则运算
A+B和A-B同型矩阵可以分别对对应分量进行加减，若A与B至少有一个为标量，则把标量扩大为与另一个同型的阵列
A*B为线性代数中定义的矩阵乘法
A\B实现左除，X=A\B为符号线性方程组A*X=B的解，A\B近似等于inv（A）*B，X不存在或不唯一，则产生警告，A可以是非方阵，要求方程组必须是相容的
A/B实现右除，X=B/A为符号线性方程组X*A=B的解，B/A近似等于B*inv（A），X不存在或不唯一，则产生警告，A可以是非方阵，要求方程组必须是相容的
m=sym（'[x,x^2,x*2,1/x]'）
n=sym（'[2*x,y,x,x^2]'）
m+n
m-n
m*n%出错
m\n
m/n%出错
（2）、符号数组的四则运算
若有标量，则扩展为同型阵列
.*乘法
./右除
.\左除
q=sym（'[3496;xyzw;abcd]'）
p=sym（'[x1/xx^2x^3;abcd;5236]'）
q.*p
q./p
q.\p
r=q*p%矩阵行列不匹配，出错
（3）、矩阵和数组的逆运算
A’实现矩阵的Hermition转置，若A为复数矩阵，则A’为共轭转置
q=sym（'[3496;xyzw;abcd]'）
q'%符号变量具体值不知，只能用conj给出
q.'%普通转置
（4）、矩阵和数组的幂运算
A^B实现矩阵幂运算，若A为标量B为方阵，A^B用方阵B的特征值与特征向量计算数值。
若A、B均为矩阵，则返回错误
A.^B实现数组幂运算，若A与B为同型矩阵，则按对应分量进行计算。
若A与B中至少有一个为标量，则现将标量扩大为另一个同型的阵列
p=sym（'[x1/xx^2x^3;abcd;5236]'）
q=sym（'[3496;xyzw;abcd;1357]'）
q^2
p^2%p矩阵不为方阵，报错
q.^2
p.^2
（5）、符号矩阵的秩
rank（A）：
求出方阵A的线性不相关的独立行和列的个数
rank（A,tol）：
求出比tol值大的值的个数，在上个命令中默认tol=max（size（A））*norm（A）*eps
a=sym（'[11/xx^2;xin（x）cos（x）tan（x）;log（x）29]'）
rank（a）
（6）、符号矩阵的逆和行列式运算
inv（X）：
求方阵X的逆，当X奇异或者范数很小时，系统给出一个出错信息
det（X）：
求方阵X的行列式
h=sym（hilb（4））
inv（h）
det（h）
b=sym（'[1xx^2;00sin（x）;00log（x）]'）
inv（b）%b矩阵行列式为0，不存在逆，返回FAIL
b=sym（'[1,x;x;x^2]'）
inv（b）%矩阵不是方阵，报错
符号微积分
1、符号极限
limit（F,x,a）：
计算符号表达式当x趋于a时F=F（x）的极限值
limit（F,a）：
x默认为findsym（F）
limit（F）：
a默认为0
limit（F,x,a,’right’）或Limit（F,x,a,’left’）：
计算右极限和左极限
limit（sin（x）/x）
limit（（x-2）/（x^2-4）,2）
limit（（1-2*1/x）^（3*x）,x,inf）
limit（1/x,x,0,'left'）
limit（1/x,x,0,'right'）
limit（（sin（x+h）-sin（x））/h,h,0）
2、符号微分和求导
（1）、diff函数的使用
diff（x）：
根据findsym（x）命令返回的自变量v，求表达式x的一阶导数
diff（x,n）：
根据findsym（x）命令返回的自变量v，求表达式x的n阶导数
diff（x,’v’）或diff（x,sym（‘v’））：
对v求x的一阶导数
diff（x,‘v’,n）：
对v求x的n阶导数
symsxy
diff（x^3+3*x^2+2*x+5）
diff（sin（x^3）,6）
diff（sin（x^3）,'x',6）
diff（sin（x^3）,'v',6）%对v求x的6阶导数，结果为0
diff（x*y+y^2+sin（x）+cos（y）,y）
diff（x*y+y^2+sin（x）+cos（y）,y,3）
（2）、jacobian函数的使用
jacobian（f,v）：
计算数量或向量f对向量v的jacobi矩阵，所得矩阵的第i行第j列的数是df（i）/dv（j），当f为数量的时候，该命令返回的是f的梯度，若此时v也是数量，则jacobian（f,v）等价于diff（f,v）
symsxyz
a=[x^2+x*y;sin（x）*cos（y）]
jacobian（a,[x,y]）
3、符号积分
int（S）：
根据由findsym（S）命令返回的自变量v，求S的不定积分，其中S为符号矩阵或符号数量
int（S,v）：
求S对v的不定积分
int（S,a,b）：
求a到b的定积分
int（S,v,a,b）：
求a到b的定积分
symsxx1alphaut;
A=[cos（x*t）sin（x*t）;-sin（x*t）cos（x*t）]
int（1/（1+x^2））
int（sin（alpha*u）,alpha）
int（besselj（1,x）,x）
int（x1*log（1+x1）,0,1）
int（4*x*t,x,2,sin（t））
int（[exp（t）exp（alpha*t）]）
int（A,t）
符号积分变换
1、Fourier变换及其逆变换
（1）、Fourier变换
F=fourier（f）：
以x为默认独立变量，返回w的函数，若f是w的函数，则返回的F是t的函数
F=fourier（f,v）：
返回的F以v为自变量
fourier（f,u,v）：
返回的函数以v为自变量，f以u为自变量
fourier（1/t）
fourier（exp（-x^2）,x,t）
fourier（exp（-t）*sym（'Heaviside（t）'）,v）
fourier（diff（sym（'F（x）'））,x,w）
（2）、Fourier反变换
f=ifourier（F）：
以w为默认独立变量，默认的返回函数是以x为自变量的函数，若F以x为变量，返回函数以t为自变量
f=ifourier（F,u）：
返回的函数f以u为自变量
f=ifourier（F,v,u）：
返回的函数f以u为自变量，F以v为自变量
symstuvwx
ifourier（w*exp（-3*w）*sym（'Heaviside（w）'））
ifourier（1/（1+w^2）,u）
ifourier（v/（1+w^2）,v,u）
ifourier（sym（'fourier（f（x）,x,w）'）,w,x）
2、Laplace变换及其逆变换
（1）、Laplace变换
L=laplace（F）：
F以t为独立自变量，返回函数L以s为变量，若F以s为自变量，则L以t为自变量
L=laplace（F,t）：
返回函数以t为自变量
L-laplace（F,w,z）：
返回函数L以z为自变量，F以w为自变量
symsastwx
laplace（t^5）
laplace（exp（a*s））
laplace（sin（w*x）,t）
laplace（cos（w*x）,w,t）
laplace（x^sym（3/2）,t）
laplace（diff（sym（'F（t）'）））
（2）、Laplace反变换
F=ilaplace（L）：
L以s为独立自变量，返回函数以t为自变量，若L以t为自变量，返回函数以x为自变量
F=ilaplace（L,x）：
返回函数以x为自变量
F=ilaplace（L,y,x）：
返回函数以x为自变量，L以y为自变量
symsstwxy
ilaplace（1/（s-1））
ilaplace（1/（t^2-1））
ilaplace（t^sym（5/2）,x）
ilaplace（y/（y^2+w^2）,y,x）
ilaplace（sym（'laplace（F（x）,x,s）'）,s,x）
3、Z变换及其反变换
（1）、Z变换
F=ztrans（f）：
返回函数以z为自变量，f以n为独立自变量，若f以z为自变量，返回函数以w为自变量
F=ztrans（f,w）
F=ztrans（f,k,w）
symsknwz
ztrans（2^n）
ztrans（sin（k*n）,w）
ztrans（cos（k*n）,k,z）
ztrans（cos（k*n）,n,w）
ztrans（sym（'f（n+1）'））
（2）、Z反变换
f=iztrans（F）：
F以z为独立自变量，f以n为自变量，若F以n为自变量，f以k为自变量
f=iztrans（F,k）
f=iztrans（F,w,k）
symsxzk
iztrans（z/（z-2））
iztrans（exp（x/z）,z,k）
符号代数方程的求解
1、符号线性方程组的求解
X=linsolve（A,B）：
求解AX=B的解
a=rand（4）
b=[1;2;3;4]
linsolve（a,b）
2、符号非线性方程组的求解
F（X）=0
X=fsolve（fun,X0）：
以X0为初始矩阵来求解方程fun，fun接受输入并返回一个向量，使得F=fun（X）
%求解方程组
%3*x
（1）^2-x
（2）^2=0
%3*x
（1）*x
（2）^2-x
（1）^2-1=0
建立myfun2.m文件
functiony=myfun2（x）
y
（1）=3*x
（1）^2-x
（2）^2;
y
（2）=3*x
（1）*x
（2）^2-x
（1）^2-1;
运行代码
x=[0.80.4]
x=fsolve（'myfun2',x）
3、一般符号代数方程组的求解
solve（‘eqn1’,’eqn2’,…,’eqnN’）
solve（‘eqn1’,’eqn2’,…,’eqnN’,’var1,var2,…,varN’）
solve（‘eqn1’,’eqn2’,…,’eqnN’,’var1’,’var2’,…,’varN’）
eqns是一些具体方程的符号表达式或字符串，而vars是一些未知的符号变量或未知额的字符串
solve（'p*sin（x）=r'）
[xy]=solve（'x^2+x*y+y=3','x^2-4*x+3=0'）
S=solve（'x^2*y^2-2*x-1=0','x^2-y^2-1=0'）%S是一个结构体
[uv]=solve（'a*u^2+v^2=0','u-v=1'）%a被作为参数求解关于u和v的方程组
S=solve（'a*u^2+v^2=0','u-v=1','a,u'）%v作为参数
[auv]=solve（'a*u^2+v^2=0','u-v=1','a^2-5*a+6'）
[xy]=solve（'sin（x+y）-exp（x）*y=0','x^2-y=2'）%系统无法给出符号解，只给出数值解
符号微分方程的求解
dsolve（‘eqn1’,’eqn2’,’eqn3’,…）：
求符号解，初始条件，边界条件也可以算作eqns，默认输出函数的自变量为t，D表示对x一阶微分，D2表示对x二阶微分，以此类推
dsolve（'Dx=-a*x'）
x=dsolve（'Dx=-a*x','x（0）=1','s'）
dsolve（'D2y=-a^2*y','y（0）=1,Dy（pi/a）=0'）
图示化符号函数计算器
1、单变量符号函数计算器
使用funtool函数来调用图示化单变量符号函数计算器
（1）、输入框功能
f=显示代表函数f的符号表达式，按Enter显示图像（图形窗口1）
g=显示代表函数g的符号表达式，按Enter显示图像（图形窗口2）
x=显示用于函数f与g的绘制区间，按Enter改变图像
a=显示一个用于改变函数f的常量因子
（2）、控制按钮的功能
运算操作按钮的功能
df/dx：
函数f的导数
intf：
函数f的积分
simplef：
化简函数f
numf：
函数f的分子
denf：
函数f的分母
1/f：
函数f的倒数
finv：
函数f的反函数
f+a：
用f（x）+a代替函数f（x）
f-a：
用f（x）-a代替函数f（x）
f*a：
用f（x）*a代替函数f（x）
f/a：
用f（x）/a代替函数f（x）
f^a：
用f（x）^a代替函数f（x）
f（x+a）：
用f（x+a）代替函数f（x）
f（x*a）：
用f（x*a）代替函数f（x）
f+g：
用f（x）+g（x）代替函数f（x）
f-g：
用f（x）-g（x）代替函数f（x）
f*g：
用f（x）*g（x）代替函数f（x）
f/g：
用f（x）/g（x）代替函数f（x）
g=f:
f*g：
用f（x）代替函数g（x）
swap：
函数f（x）与g（x）互换
系统操作按钮的功能
Insert；将函数f（x）保存到函数内存列表中的最后
Cycle：
用内存函数列表中的第二项代替函数f（x）
Delete：
从内存函数列表中删除函数f（x）
Reset：
重新设计计算器为初始状态
Help：
显示在线的关于计算器的帮助
Demo：
运行该计算器的演示程序
Close：
关闭计算器的三个窗口
2、泰勒级数逼近计算器
使用taylortool函数来调用图示化泰勒级数逼近计算器
绘制函数f的前N阶泰勒级数
利用Maple的深层符号计算资源
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