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数学二次函数MicrosoftWord文档
二次函数
定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
一般式：
y=ax2;+bx+c（a≠0，a、b、c为常数），则称y为x的二次函数。
顶点式：
y=a（x-h）2;+k
交点式（与x轴）：
y=a（x-x1）（x-x2）
重要概念：
（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。
）
二次函数表达式的右边通常为二次。
x是自变量，y是x的二次函数
x1,x2=[-b±√（b^2-4ac）]/2a（即一元二次方程求根公式）
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2;的图像，
可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P（-b/2a，（4ac-b2;）/4a）
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b2;-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；因为若对称轴在左边则对称轴小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同号
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0，也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0，所以a、b要异号
事实上，b有其自身的几何意义：
抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于（0，c）
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b2;-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b2;-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b2;-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数（x=-b±√b2;－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）
当a>0时，函数在x=-b/2a处取得最小值f（-b/2a）=4ac2;/4a；在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac2;/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2;+c（a≠0）
Δ＞0，图象与x轴交于两点：
（[-b-√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；
Δ＝0，图象与x轴交于一点：
（-b/2a，0）；
Δ＜0，图象与x轴无交点；
②y=a（x-h）2;+t[配方式]
此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=（4ac-b2;）/4a）；
③y=a（x-x1）（x-x2）[交点式]
a≠0，此时，x1、x2即为函数与X轴的两个交点，将X、Y代入即可求出解析式（一般与一元二次方程连用）。
二次函数与一元二次方程
1．二次函数y=ax2;，y=a（x-h）2;，y=a（x-h）2;+k，y=ax2;+bx+c（各式中，a≠0）的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：
解析式
y=ax2;
y=ax2;+K
y=a（x-h）2;
y=a（x-h）2;+k
y=ax2;+bx+c
顶点坐标
（0，0）
（0，K）
（h，0）
（h，k）
（-b/2a，[4ac-b2;]/4a）
对称轴
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时，y=a（x-h）2;的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a（x-h）2;+k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）2;-k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a（x+h）2;+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a（x-h）²+k的图象；
因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象，通过配方，将一般式化为y=a（x-h）2;+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．
3．抛物线y=ax2;+bx+c（a≠0），若a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．
4．抛物线y=ax2;+bx+c的图象与坐标轴的交点：
（1）图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，c）；
（2）当△=b2;-4ac>0，图象与x轴交于两点A（x₁，0）和B（x₂，0），其中的x1,x2是一元二次方程ax2;+bx+c=0
（a≠0）的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×（-b/2a）－A|（A为其中一点的横坐标）
当△=0．图象与x轴只有一个交点；
当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．
5．抛物线y=ax2;+bx+c的最值：
如果a>0（a<0），则当x=-b/2a时，y最小（大）值=（4ac-b2;）/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
（1）当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：
y=ax2;+bx+c（a≠0）．
（2）当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大（小）值时，可设解析式为顶点式：
y=a（x-h）2;+k（a≠0）．
（3）当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：
y=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0）．
中考典例
1．（北京西城区）抛物线y=x²-2x+1的对称轴是（ ）
（A）直线x=1 （B）直线x=-1 （C）直线x=2 （D）直线x=-2
考点：
二次函数y=ax²+bx+c的对称轴．
评析：
因为抛物线y=ax²+bx+c的对称轴方程是：
x=-b/2a，将已知抛物线中的a=1，b=-2代入，求得x=1，故选项A正确．
另一种方法：
可将抛物线配方为y=a（x-h）²+k的形式，对称轴为x=h，已知抛物线可配方为y=（x-1）²，所以对称轴x=1，应选A．
2．（北京东城区）有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：
对称轴是直线x=4；
乙：
与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：
与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式：
．
考点：
二次函数y=ax²+bx+c的求法
评析：
设所求解析式为y=a（x-x1）（x-x2），且设x1＜x2，则其图象与x轴两交点分别是A（x1，0），B（x2，0），与y轴交点坐标是（0，ax1x2）.『因为交点式a（x-x1）（x-x2）,又因为与y轴交点的横坐标为0，所以a（0+x1）（0+x2）,也就是ax1x2
∵抛物线对称轴是直线x=4，
∴x2-4=4-x1即：
x1+x2=8 ①∵S△ABC=3，∴（x2-x1）·|ax1x2|=3，
即：
x2-x1= ②
①②两式相加减，可得：
x2=4+，x1=4-
∵x1，x2是整数，ax1x2也是整数，∴ax1x2是3的约数，共可取值为：
±1，±3。
当ax1x2=±1时，x2=7，x1=1，a=±
当ax1x2=±3时，x2=5，x1=3，a=±
因此，所求解析式为：
y=±（x-7）（x-1）或y=±（x-5）（x-3）
即：
y=x2-x+1或y=-x2+x-1或y=x2-x+3或y=-x2+x-3
说明：
本题中，只要填出一个解析式即可，也可用猜测验证法。
例如：
猜测与x轴交点为A（5，0），B（3，0）。
再由题设条件求出a，看C是否整数。
若是，则猜测得以验证，填上即可。
5．（河北省）如图13-28所示，二次函数y=x²-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（ ）
A、6 B、4 C、3 D、1
考点：
二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。
评析：
由函数图象可知C点坐标为（0，3），再由x²-4x+3=0可得x1=1，x2=3所以A、B两点之间的距离为2。
那么△ABC的面积为3，故应选C。
图13-28
6．（安徽省）心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：
分）之间满足函数关系：
y=-0.1x2+2.6x+43（0＜x＜30）。
y值越大，表示接受能力越强。
（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？
x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？
（2）第10分时，学生的接受能力是什么？
（3）第几分时，学生的接受能力最强？
考点：
二次函数y=ax²+bx+c的性质。
评析：
将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为：
y=-0.1（x-13）2+59.9，根据抛物线的性质可知开口向下，当x＜13时，y随x的增大而增大，当x>13时，y随x的增大而减小。
而该函数自变量的范围为：
0＜x3＜0，所以两个范围应为0＜x＜13；13＜x＜30。
将x=10代入，求函数值即可。
由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。
解题过程如下：
解：
（1）y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1（x-13）2+59.9
所以，当0＜x＜13时，学生的接受能力逐步增强。
当13＜x＜30时，学生的接受能力逐步下降。
（2）当x=10时，y=-0.1（10-13）2+59.9=59。
第10分时，学生的接受能力为59。
（3）x=13时，y取得最大值，
所以，在第13分时，学生的接受能力最强。
9．（河北省）某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式（不必写出x的取值范围）；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？
解：
（1）当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：
500–（55–50）×10=450（千克），所以月销售利润为
:
（55–40）×450=6750（元）．
（2）当销售单价定为每千克x元时，月销售量为：
[500–（x–50）×10]千克而每千克的销售利润是:
（x–40）元，所以月销售利润为：
y=（x–40）[500–（x–50）×10]=（x–40）（1000–10x）=–10x²+1400x–40000（元），
∴y与x的函数解析式为：
y=–10x²+1400x–40000．
（3）要使月销售利润达到8000元，即y=8000，∴–10x2+1400x–40000=8000，
即：
x2–140x+4800=0，
解得：
x1=60，x2=80．
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：
500–（60–50）×10=400（千克），月销售成本为：
40×400=16000（元）；
当销售单价定为每千克80元时，月销售量为：
500–（80–50）×10=200（千克），月销售单价成本为：
40×200=8000（元）；
由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不能超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元．
19．2006义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势，全市实现生产总值元，已知全市生产总值＝全市户籍人口×全市人均生产产值，设义乌市2006年户籍人口为x（人），人均生产产值为y（元）．
（1）求y关于x的函数关系式；
（2）2006年义乌市户籍人口为706684人，求2006年义乌市人均生产产值（单位：
元，结果精确到个位）：
若按2006年全年美元对人民币的平均汇率计（1美元＝7.96元人民币），义乌市2006年人均生产产值是否已跨越6000美元大关？
20．下图1为义乌市2005年，2006年城镇居民人均可支配收入构成条形统计图。
图2为义乌市2006年城镇居民人均可支配收入构成扇形统计图，城镇居民个人均可支配收入由工薪收入、经营净收入、财产性收入、转移性收入四部分组成。
请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）2005年义乌市城镇居民人均工薪收入为________元，2006年义乌市城镇居民人均可支配收入为_______元；
（2）在上图2的扇形统计图中，扇形区域A表示2006年的哪一部分收入：
__________．
（3）求义乌市2005年到2006年城镇居民人远亲中支配收入的增长率（精确到0．1℅）
19．解：
（1）（x为正整数）
（2）2006年全市人均生产产值=（元）（2分）
我市2006年人均生产产值已成功跨越6000美元大关（1分）
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