数学二次函数 Microsoft Word 文档.docx
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数学二次函数MicrosoftWord文档
二次函数
定义与定义表达式
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
一般式:
y=ax2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),则称y为x的二次函数。
顶点式:
y=a(x-h)2;+k
交点式(与x轴):
y=a(x-x1)(x-x2)
重要概念:
(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下。
IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。
)
二次函数表达式的右边通常为二次。
x是自变量,y是x的二次函数
x1,x2=[-b±√(b^2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
二次函数的图像
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2;的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像
抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P,坐标为P(-b/2a,(4ac-b2;)/4a)
当-b/2a=0时,P在y轴上;当Δ=b2;-4ac=0时,P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;因为若对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。
因为对称轴在右边则对称轴要大于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号
事实上,b有其自身的几何意义:
抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式(一次函数)的斜率k的值。
可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ=b2;-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。
Δ=b2;-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
Δ=b2;-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。
X的取值是虚数(x=-b±√b2;-4ac的值的相反数,乘上虚数i,整个式子除以2a)
当a>0时,函数在x=-b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac2;/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数,在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac2;/4a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax2;+c(a≠0)
Δ>0,图象与x轴交于两点:
([-b-√Δ]/2a,0)和([-b+√Δ]/2a,0);
Δ=0,图象与x轴交于一点:
(-b/2a,0);
Δ<0,图象与x轴无交点;
②y=a(x-h)2;+t[配方式]
此时,对应极值点为(h,t),其中h=-b/2a,t=(4ac-b2;)/4a);
③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式]
a≠0,此时,x1、x2即为函数与X轴的两个交点,将X、Y代入即可求出解析式(一般与一元二次方程连用)。
二次函数与一元二次方程
1.二次函数y=ax2;,y=a(x-h)2;,y=a(x-h)2;+k,y=ax2;+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式
y=ax2;
y=ax2;+K
y=a(x-h)2;
y=a(x-h)2;+k
y=ax2;+bx+c
顶点坐标
(0,0)
(0,K)
(h,0)
(h,k)
(-b/2a,[4ac-b2;]/4a)
对称轴
x=0
x=0
x=h
x=h
x=-b/2a
当h>0时,y=a(x-h)2;的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2;+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2;-k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x+h)2;+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;
因此,研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)2;+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
3.抛物线y=ax2;+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤-b/2a时,y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax2;+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b2;-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2;+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x₂-x₁|另外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b/2a)-A|(A为其中一点的横坐标)
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
5.抛物线y=ax2;+bx+c的最值:
如果a>0(a<0),则当x=-b/2a时,y最小(大)值=(4ac-b2;)/4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax2;+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:
y=a(x-h)2;+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:
y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).
中考典例
1.(北京西城区)抛物线y=x²-2x+1的对称轴是( )
(A)直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2
考点:
二次函数y=ax²+bx+c的对称轴.
评析:
因为抛物线y=ax²+bx+c的对称轴方程是:
x=-b/2a,将已知抛物线中的a=1,b=-2代入,求得x=1,故选项A正确.
另一种方法:
可将抛物线配方为y=a(x-h)²+k的形式,对称轴为x=h,已知抛物线可配方为y=(x-1)²,所以对称轴x=1,应选A.
2.(北京东城区)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:
甲:
对称轴是直线x=4;
乙:
与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:
与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:
.
考点:
二次函数y=ax²+bx+c的求法
评析:
设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2),且设x1<x2,则其图象与x轴两交点分别是A(x1,0),B(x2,0),与y轴交点坐标是(0,ax1x2).『因为交点式a(x-x1)(x-x2),又因为与y轴交点的横坐标为0,所以a(0+x1)(0+x2),也就是ax1x2
∵抛物线对称轴是直线x=4,
∴x2-4=4-x1即:
x1+x2=8 ①∵S△ABC=3,∴(x2-x1)·|ax1x2|=3,
即:
x2-x1= ②
①②两式相加减,可得:
x2=4+,x1=4-
∵x1,x2是整数,ax1x2也是整数,∴ax1x2是3的约数,共可取值为:
±1,±3。
当ax1x2=±1时,x2=7,x1=1,a=±
当ax1x2=±3时,x2=5,x1=3,a=±
因此,所求解析式为:
y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即:
y=x2-x+1或y=-x2+x-1或y=x2-x+3或y=-x2+x-3
说明:
本题中,只要填出一个解析式即可,也可用猜测验证法。
例如:
猜测与x轴交点为A(5,0),B(3,0)。
再由题设条件求出a,看C是否整数。
若是,则猜测得以验证,填上即可。
5.(河北省)如图13-28所示,二次函数y=x²-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为( )
A、6 B、4 C、3 D、1
考点:
二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。
评析:
由函数图象可知C点坐标为(0,3),再由x²-4x+3=0可得x1=1,x2=3所以A、B两点之间的距离为2。
那么△ABC的面积为3,故应选C。
图13-28
6.(安徽省)心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:
分)之间满足函数关系:
y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30)。
y值越大,表示接受能力越强。
(1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?
x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?
(2)第10分时,学生的接受能力是什么?
(3)第几分时,学生的接受能力最强?
考点:
二次函数y=ax²+bx+c的性质。
评析:
将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为:
y=-0.1(x-13)2+59.9,根据抛物线的性质可知开口向下,当x<13时,y随x的增大而增大,当x>13时,y随x的增大而减小。
而该函数自变量的范围为:
0<x3<0,所以两个范围应为0<x<13;13<x<30。
将x=10代入,求函数值即可。
由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。
解题过程如下:
解:
(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以,当0<x<13时,学生的接受能力逐步增强。
当13<x<30时,学生的接受能力逐步下降。
(2)当x=10时,y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分时,学生的接受能力为59。
(3)x=13时,y取得最大值,
所以,在第13分时,学生的接受能力最强。
9.(河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:
(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;
(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围);
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
解:
(1)当销售单价定为每千克55元时,月销售量为:
500–(55–50)×10=450(千克),所以月销售利润为
:
(55–40)×450=6750(元).
(2)当销售单价定为每千克x元时,月销售量为:
[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:
(x–40)元,所以月销售利润为:
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x²+1400x–40000(元),
∴y与x的函数解析式为:
y=–10x²+1400x–40000.
(3)要使月销售利润达到8000元,即y=8000,∴–10x2+1400x–40000=8000,
即:
x2–140x+4800=0,
解得:
x1=60,x2=80.
当销售单价定为每千克60元时,月销售量为:
500–(60–50)×10=400(千克),月销售成本为:
40×400=16000(元);
当销售单价定为每千克80元时,月销售量为:
500–(80–50)×10=200(千克),月销售单价成本为:
40×200=8000(元);
由于8000<10000<16000,而月销售成本不能超过10000元,所以销售单价应定为每千克80元.
19.2006义乌市经济继续保持平稳较快的增长态势,全市实现生产总值元,已知全市生产总值=全市户籍人口×全市人均生产产值,设义乌市2006年户籍人口为x(人),人均生产产值为y(元).
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)2006年义乌市户籍人口为706684人,求2006年义乌市人均生产产值(单位:
元,结果精确到个位):
若按2006年全年美元对人民币的平均汇率计(1美元=7.96元人民币),义乌市2006年人均生产产值是否已跨越6000美元大关?
20.下图1为义乌市2005年,2006年城镇居民人均可支配收入构成条形统计图。
图2为义乌市2006年城镇居民人均可支配收入构成扇形统计图,城镇居民个人均可支配收入由工薪收入、经营净收入、财产性收入、转移性收入四部分组成。
请根据图中提供的信息回答下列问题:
(1)2005年义乌市城镇居民人均工薪收入为________元,2006年义乌市城镇居民人均可支配收入为_______元;
(2)在上图2的扇形统计图中,扇形区域A表示2006年的哪一部分收入:
__________.
(3)求义乌市2005年到2006年城镇居民人远亲中支配收入的增长率(精确到0.1℅)
19.解:
(1)(x为正整数)
(2)2006年全市人均生产产值=(元)(2分)
我市2006年人均生产产值已成功跨越6000美元大关(1分)