题型3：
多个物体组成的系统机械能守恒
第一类：
不含弹簧
18．多个物体组成的系统机械能守恒定律的应用
命题规律 多个物体组成的系统机械能守恒，由于系统的内力做功，单个物体机械能不守恒，利用系统机械能守恒，求系统或某物体在某一时刻的速度大小或位置。
例题1：
如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B处各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下。
求当杆转到竖直位置时，轻杆对A、B两球分别做了多少功？
1、如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R有光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是（ ）
A.2RB.5R/3C.4R/3D.2R/3
2、内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为
R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙。
现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点（如图所示），由静止释放后（ ）
A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能
B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能
C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点
D．杆从右向左滑回时，乙球一定不能回到凹槽的最低点
3、一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B.支架的两直角边长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示.开始时OA边处于水平位置，由静止释放，则（ ）
A.A球的最大速度为2
B.A球速度最大时，两小球的总重力势能最小
C.A球速度最大时，两直角边与竖直方向的夹角为45°
D.A、B两球的最大速度之比vA∶vB=2∶1
4、如图所示，倾角为θ的光滑斜面上放有两个质量均为m的小球A和B，两球之间用一根长为L的轻杆相连，下面的小球B离斜面底端的高度为h。
两球从静止开始下滑，不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求：
（1）两球在光滑水平面上运动时的速度大小；
（2）整个运动过程中杆对A球所做的功。
5、如图甲所示，质量都为m＝1kg的A、B两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上．细线长L＝0.4m，今将细线拉直后使A和B从同一高度上都由静止释放，求从开始运动到使细线与水平方向成θ＝30°角的过程中，细线对A、B做的功．（g取10m/s2）．
6、如图所示，一轻绳通过无摩擦的定滑轮与放在倾角为30°的光滑斜向上的物体m1连接，另一端和套在光滑竖直杆上的物体m2连接，图中定滑轮到竖直杆的距离为
，又知当物体m2由图中位置从静止开始下滑1m时，m1和m2受力恰好平衡．
求：
（1）m2下滑过程中的最大速度．
（2）m2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.
第二类：
含有弹簧
1、（多选）如图所示，劲度系数为k的轻质弹簧，一端系在竖直放置的半径为R的圆环顶点P，另一端系一质量为m的小球，小球穿在圆环上做无摩擦的运动。
设开始时小球置于A点，弹簧处于自然状态，当小球运动到最低点时速率为v，对圆环恰好没有压力。
下列分析正确的是（ ）
A．从A到B的过程中，小球的机械能守恒
B．从A到B的过程中，小球的机械能减少
C．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m
D．小球过B点时，弹簧的弹力为mg＋m
2、一个质量m=0.20kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上，弹簧的上端固定于环的最高点A，环的半径R=0.5m，弹簧的原长L0=0.50m，劲度系数为4.8N/m，如图所示，若小球从图中所示位置B点由静止开始滑动到最低点C时，弹簧的弹性势能Ep=0.60J．求：
（1）小球到C点时的速度vc的大小；
（2）小球在C点对环的作用力．（g取10m/s2）
3、如图所示，倾角为θ的直角斜面体固定在水平地面上，其顶端固定有一轻质定滑轮，轻质弹簧和轻质细绳相连，一端接质量为m2的物块B，物块B放在地面上且使滑轮和物块间的细绳竖直，一端连接质量为m1的物块A，物块A放在光滑斜面上的P点保持静止，弹簧和斜面平行，此时弹簧具有的弹性势能为Ep．不计定滑轮、细绳、弹簧的质量，不计斜面、滑轮的摩擦，已知弹簧劲度系数为k，P点到斜面底端的距离为L．现将物块A缓慢斜向上移动，直到弹簧刚恢复原长时的位置，并由静止释放物块A，当物块B刚要离开地面时，物块A的速度即变为零，求：
（1）当物块B刚要离开地面时，物块A的加速度；
（2）在以后的运动过程中物块A最大速度的大小．
题型4：
绳索、链条问题
1、如图2，一根铁链长为L，放在光滑的水平桌面上，一端下垂，长度为
，若将链条由静止释放，则链条刚好离开桌子边缘时的速度是多少？
（链条下端未着地）
2、如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻小滑轮，开始时底端相齐，当略有扰动时其一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间的速度为多大？
6、有一个固定的光滑直杆，该直杆与水平面的夹角为53°，杆上套着一个质量为m＝2kg的滑块（可视为质点）．
（1）如图甲所示，滑块从O点由静止释放，下滑了位移s＝1m后到达P点，求滑块此时的速率．
（2）如果用不可伸长的细绳将滑块m与另一个质量为M＝2.7kg的物块通过光滑的定滑轮相连接，细绳因悬挂M而绷紧，此时滑轮左侧绳恰好水平，其长度L＝
m（如图乙所示）．再次将滑块从O点由静止释放，求滑块滑至P点的速度大小．（整个运动过程中M不会触地，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，g取10m/s2）
7.（2016·全国卷Ⅲ，20，6分）（难度★★★）（多选）如图，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P。
它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W。
重力加速度大小为g。
设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则（ ）
A．a＝
B．a＝
C．N＝
D．N＝
8．（2016·全国卷Ⅱ，21，6分）（难度★★★）（多选）如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。
现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。
已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<
。
在小球从M点运动到N点的过程中（ ）
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
9．（2015·新课标全国Ⅱ，21，6分）（难度★★★）（多选）如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h，b放在地面上，a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则（ ）
A．a落地前，轻杆对b一直做正功
B．a落地时速度大小为
C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g
D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg
10．（2016·全国卷Ⅲ，24，12分）（难度★★★★）如图，在竖直平面内有由
圆弧AB和
圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。
AB弧的半径为R，BC弧的半径为
。
一小球在A点正上方与A相距
处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
（1）求小球在B、A两点的动能之比；
（2）通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
11．（2016·全国卷Ⅰ，25，18分）（难度★★★★）如图，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为
R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内。
质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点（未画出），随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝
，重力加速度大小为g。
（取sin37°＝
，cos37°＝
）
（1）求P第一次运动到B点时速度的大小；
（2）求P运动到E点时弹簧的弹性势能；
（3）改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放。
已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点。
G点在C点左下方，与C点水平相距
R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量。
12．（2016·全国卷Ⅱ，25，20分）（难度★★★★★）轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。
现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。
AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示。
物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。
用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。
（1）若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；
（2）若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。
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