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图的基本概念
《计算机数学基础》离散数学辅导（5）
第5章图的基本概念（2001级用）中央电大冯泰
本章重点：
图的概念，握手定理，通路、回路以及图的矩阵表示.
一、重点内容
1.图的基本概念
图是一个有序对，V是结点集，E是边集，当V,E有限时，称为有限图；否则称无限图.
无向边,与无序结点（v,u）相关联的边；有向边，与有序结点相关联的边.
无向图，每条边都是无向边的图，记作G＝;每条边都是有向边的图，记作D＝.
混合图，既有有向边，也有无向边的图.
平凡图，仅有一个结点的图；零图，边集为空集的图，即仅有结点的图.
自回路（环），关联于同一个结点的边.
无向平行边，联结相同两个结点的多于1条的无向边；有向平行边，联结两个结点之间的多于1条且方向相同的有向边.
简单图，不含平行边和自回路的图；多重图，含平行边的图.
在无向图G＝中，与结点v（V）关联的边数，即为结点度数deg（v）或d（v）.；在有向图D＝中，以v（V）为起点的边之条数为出度deg＋（v）；以v（V）为终点的边之条数为入度deg－（v）.结点v的出度和入度之和为度数.图G所有结点的度数组成的数组（deg（v1），deg（v2），…，deg（vn），…）（有限个或可列个），称为图G的度数序列.
最大度数，（G）＝max{d（v）vV}；最小度数，（G）=min{d（v）vV}
有n个结点的且每对结点都有边相连无向简单图，无向完全图Kn.此时有
；有n个结点的且每对结点之间都有两条方向相反的边相关连的有向简单图为有向完全图，.此时有
设G＝,V，E的子集V,E构成的图G=是图G的子图；若GG且GG，（VV或EE），G是G的真子图.
生成子图，设图G＝,若EE,则图<.V,E>是的生成子图.即结点与原图G相同的子图，为生成子图.
补图G=，设G＝,以V为结点集，以使G成为完全图所添加的边为边集E的图，就是图G的补图G,.，即是完全图,其中EE＝.
图的同构，设G1=和G2=,存在双射f：
V1V2，（vi,vj）E1,当且仅当（f（vi）,f（vj））E2，且（vi,vj）与（f（vi）,f（vj））的重数相同.则G1≌G2.
同构充分条件：
建立两个图的对应关系，这个关系是双射函数.
同构必要条件：
①结点数相同；②边数相同；③度数相同的结点个数相同.
握手定理设G=，有
在图D＝中，
，
＝2E.
握手定理推论：
奇数度结点的个数为偶数个.
2通路、回路、图的连通性
通路与通路的长度，设图G＝，V＝{v0,v1,…,vn},E={e1,e2,…,em},结点与边的交替序列v0e1v1e2…vi－1eivi,为结点v0到结点vi的通路.v0,vi是通路的起点和终点.通路中边的数目就是通路的长度.
回路，起点和终点重合的通路.
边不重复的通路（回路）称简单通路（回路）；结点不重复的通路（回路），称初级通路（回路）；边有重复的通路（回路），称复杂通路（回路）.
连通与连通图，无向图G中，结点u,v存在通路，则u,v是连通的，G中任意结点u,v都是连通的，G是连通图.
连通分支P（G），设G＝，V的连通等价类V1，V2，…,Vm,子图G（V1）,G（V2）,…,G（Vm）称为连通分支.
点割集与割点，设无向图G＝，存在结点集VV，使得P（G－V）>P（G），而任意VV，有P（G－V）＝P（G），V称为图G的点割集.若V是单元集{v}，v叫做割点.
边割集与割边，设无向图G＝，存在边集EE，使得P（G－V）>P（G），而任意EE，有P（G－E）＝P（G），E称为图G的边割集.若E是单元集{e}，e叫做割边（桥）.
注意：
点割集和边割集的两个条件.
有向图的连通，有向图中，任意一对结点之间至少有一个结点可达另一结点是单侧连通；任何一对结点都相互可达是强连通；略去有向图D边的方向成为无向连通图是弱连通.
由定义可知：
强连通
单侧连通
弱连通.
3.图的矩阵表示
（无向图）关联矩阵设G=,
，关联矩阵
M（G）=
其中mij=vi与ej的关联次数（行为结点，列为边）.具有性质：
①
（列元素之和为2）；②
若
表明vi是孤立点;
③
即所有元素之和等于边数的2倍;④平行边的列的元素完全对应相同.
（无向图）相邻矩阵设G＝,
，相邻矩阵
A（G）=
，其中aij=vi与vj相关联的边的条数（行、列均为结点）.具有性质:
①A（G）是对称矩阵；②
；
，表明vi是孤立点;
（有向图）关联矩阵设D＝,
，关联矩阵
M（D）=
，其中
（结点为行，边为列）.具有性质：
①
（列元素之和为0〕；②
;
③
（有向图）邻接矩阵设D=,
，邻接矩阵
A（D）=
其中aij=邻接vi与vj的边的条数（与A（G）类似）（以行和列均为结点）
具有性质：
（有向图）可达矩阵设D=，
，可达矩阵
P（D）=
，其中
，E是单位矩阵.
二、实例
例5.1设G＝（V,E）是一个无向图，
（1）G＝的V，E各是多少？
（2）画出G的图解；
（3）指出与v3邻接的结点，以及与v3关联的边；（4）指出与e1关联的结点；
（5）该图是否有孤立结点和孤立边？
（6）求出各结点的度数；
解
（1）G=中，有V=8个结点，E=7条边的图，故又称是8阶图.
（2）所给图G的一个图解，如图5－1.
v2
e4e1
v1e2v3v7
e7
v6e5
e3
v5e6v4v8
图5－1
（3）结点v1,v2,v4与v3邻接，v3关联
的边为e1,e2,e3.
（4）与边e1关联的结点为v2,v3.
（5）结点v6是孤立点；e5是孤立边.
（6）deg（v1）=3，deg（v2）=2，deg（v3）=3，
deg（v4）=2＝deg（v5），deg（v6）=0，
deg（v7）=1=deg（v8）.
例5.2设图G是具有3个结点的完全图，试问
（1）G有多少个子图？
（2）G有多少个生成子图？
（3）如果没有任何两个子图是同构的，则G的子图个数是多少？
将它们构造出来.
解
（1）因为只有1个结点的子图有
个（平凡子图）；
2个结点的子图有
个；3个结点的子图有
个；
所以，G共有3＋6＋8＝17个子图.
（2）G的生成子图，含有G的所有结点，G有3条边，构成子图时，每条边有选中或不选中两种可能，所以G的生成子图的个数是23＝8个.
（3）G的所有不同构的子图有7个，如图5－2所示.
G1G2G3G4G5G6G7
图5－2
v1
v4v5
v8
v3v2
v7v6
图5－3
例5.3给定图G=,如图5－3，
（1）在G中找出一条长度为7的通路；
（2）在G中找出一条长度为4的简单通路;
（3）在G中找出一条长度为5的初级通路;
（4）在G中找出一条长度为8的复杂通路;
（5）在G中找出一条长度为7的回路；
（6）在G中找出一条长度为4的简单回路;
（7）在G中找出一条长度为5的初级回路
解所选通（回）路都不一定是唯一的.
（1）长度为7的通路：
v1v4v3v7v8v6v5v2
（2）长度为4的简单通路：
（v1,v4）,（v4,v3）,（v3,v7）,（v7,v4）（边不重复的通路）
（3）长度为5的初级通路：
v1v5v2v6v8v4（结点不重复的通路）
（4）长度为8的复杂通路：
（v1,v5）,（v5,v8）,（v8,v7）,（v7,v6）,（v6,v8）,
（v8,v5）,（v5,v4）,（v4,v3）（边有重复的通路）
（5）长度为7的回路：
v1v4v3v7v8v6v5v1
（6）长度为4的简单回路：
（v1,v4）,（v4,v8）,（v8,v5）,（v5,v1）（边不重复的通路）
（7）长度为5的初级回路：
v1v5v6v7v4v1（除起点和终点外，结点不重复的通路）
例5.4设图5－4，V={a,b,c,d,e}
G1＝,E1={（a,b）,（b,c）,（c,d）,（a,e）};G2＝,E2={（a,b）,（b,e）,（e,b）,（a,e）,（d,e）};
G3＝,E3={（a,b）,（b,e）,（e,d）,（c,c）};
G4＝,E4={,,,,,};
G5＝,E5={,,,,,};
G6＝,E6={,,,,}.
aaaaaa
bebebebebebe
cdcdcdcdcdcd
（G1）（G2）（G3）（G4）（G5）（G6）
图5－4
试问：
（1）哪些图是有向图？
哪些图是无向图？
（2）哪些是简单图？
（3）哪些是强连通图？
哪些是单侧连通图？
哪些是弱连通图？
解
（1）G1,G2,G3是无向图；G4,G5,G6是有向图.
（2）G1,G4,G5中既无平行边，也无自回路，是简单图.
（3）G5是强连通图（必是单侧连通图和弱连通图）；G4是单侧连通图（为什么？
）（也是弱连通图）；G6只是弱连通图.
例5.5求例5.4中图
（1）G2的关联矩阵，
（2）图G3的相邻矩阵，（3）图G5的关联矩阵、（4）图G5邻接矩阵以及从b到c,d长度为3的通路条数，从b到b长度为2的回路的条数以及长度为3的通路共有多少条，长度不超过3的通路条数和回路的条数；（5）图G5的可达矩阵.
解
（1）已知图G2的结点集V2={a,b,c,d,e},边集
E2={（a,b）,（b,e）,（e,b）,（a,e）,（d,e）}
，n=5,m=5.
G2是无向图，由关联矩阵的定义，
，其中mij=vi与ej关联的次数.于是有
（2）因为G3为V3={a,b,c,d,e},E3={（a,b）,（b,e）,（e,d）,（c,c）}，是无向图，由相邻矩阵的定义，
，其中aij=vi与vj关联的边的次数.n=5,故相邻矩阵为
（3）有向图G5，V5={a,b,c,d,e},E5={,,,,,}，由关联矩阵的定义
，其中当vi为ej的始点时，mij=1；当vi为ej的终点时，mij=－1；当vI与ej不关联时，mij=0.于是所求关联矩阵为
（4）图G5的邻接矩阵为
A（G5）=
.A2（G5）=
，A3（G5）=
从A3（G5）可知，从结点b到结点c,d各有1条、0条长度为3的通路.从b到b长度为2的回路有1条；长度为3的通路共
=9条；长度不超过3的通路共有22条，其中回路是2条.
（5）A4（G5）=
B4=A（G5）+A2（G5）+A3（G5）+A4（G5）=
有向图G5的可达矩阵.只需将B4中当bij0时改为1，当bij=0时，不变，bii均改为1，将得到可达矩阵，于是G5的可达矩阵为
例5.6设简单连通无向图G有12条边，G中有2个1度结点，2个2度结点，3个4度结点，其余结点度数为3．求G中有多少个结点．试作一个满足该条件的简单无向图．
解设图G有x个结点，有握手定理
21+22+34+3（x223）＝122
x＝9
图G有9个结点．例5.6答案图
例5.7证明在任何有向完全图中，所有结点的入度平方和等于所有结点的出度平方和．
证明假设完全有向图D有n个结点．对任意结点vkD,有
deg＋（vk）+deg－（vk）=n－1
对于完全有向图，
于是，
＝
＝
＝
＝
例5.8单项选择题
1．在图G＝中，结点总度数与边数的关系是（）
（A）deg（vi）=2E（B）deg（vi）=E（C）
（D）
答案：
（C）解答：
见握手定理.
2.设G是n个结点的无向完全图，则图G的边数为（）；设D是n个结点的有向完全图，则图D的边数为（）
（A）n（n－1）（B）n（n+1）（C）n（n－1）/2（D）n（n+1）/2
答案：
（C）（A）
解答：
G有n个结点，任意两点有一条边，共有
条边.故选择（C）;有向图D中，任意两点有两条方向相反的边，才能互通，因此n个结点要有2×
条，故选择（A）.
3.仅有一个结点的图称为（），当然也是（）
（A）零图（B）平凡图（C）补图（D）子图
答案：
（B），（A）
解答：
见定义，只有一个结点的图称为平凡图；有孤立结点组成的图称为零图.
4.设G＝为无向简单图，V=n，（G）为G的最大度数，则有
（A）（G）n（D）（G）n
答案：
（A）
解答：
因为G中无平行边和环，任何结点最多有n－1条边与其相关联，最大度数小于或等于n－1.故选择（A）
5.图G与G的结点和边分别存在一一对应关系，是G≌G（同构）的（）
（A）充分条件（B）必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分也非必要条件
答案：
（B）解答：
见图的同构定义.
6.设
，则与V能构成强连通图的边集合是（）
（A）
（B）
（C）
（D）
答案：
（A）
解答：
有向图G任何一对结点间都互相可达，称该图是强连通的.（A）所给的边的集合存在一个通过所有结点的通路.故选择（A）.
7.有向图的邻接矩阵中，行元素之和是对应结点的（），列元素之和是对应结点的（）
de
（A）度数（B）出度（C）最大度数（D）入度
答案：
（B），（D）解答：
见邻接矩阵的定义.
8.给定无向图如图5－5所示，下面给出的顶点
集子集中，不是点割集的是（）
（A）{b,d}（B）{d}
（C）{e}（D）{f,h}
答案：
（A）
解答：
易知d,e是割点，{f,h}满足点割集的定义，而{b,d}含有割点，它不可能是点割集.
例5.9填空题
1.数列{2，3，3，4}不能构成无向简单图的度数列，此命题的真值为答案：
0
解答：
该图只有4个结点，无向完全图的结点度数最大只能3，可见该图必有环.
2.设图G＝和G＝,若，则G是G的真子图，若，则G是G的生成子图.
答案：
解答：
见真子图和生成子图的定义.
3.在无向图中，结点间的连通关系具有性，性，性，
是关系.
答案：
自反性，对称性，传递性，等价.解答：
见图的连通性质.
4.图的通路中边的数目称为.结点不重复的通路是通路.边不重复的通路是通路.
答案：
通路出度；初级；简单.解答：
见有关定义.
5.给定无向图如图5－5所示，那么该图的
割边（桥）是答案：
{d,e}解答：
易知边（d,e）是割边，
三、练习题
1.在有21条边的无向图中，有多少个结点，其中3个4度结点，其余均为3度结点.
2.判定图5－6所示二图是否同构？
G1G2
图5－6
3.求图G（如图5－7）的点割集、割点、边割集和割边.
4.判定图5－8给出的两个图，是否为弱连通，单侧连通，强连通？
5.设有向图D（如图5－9）,求图D从v2到v4长度分别为1,2,3,4的通路各有几条.
e11
v1v2v1
v2v4
v4v3v3
D1D2
图5－8
v1v3v4e1v6v7
v10v8
v2v5v9
图5－7
v1v4
v2v3
图5－9
6.设图G＝,
是简单图，则
.
四、练习题答案
1.13个结点.边数m=21,有42＝3×4＋3x（x个3度结点），
2.在G1中，一度结点有3个，在G2中一度结点有4个.即度数相同的结点数不同，故G1与G2不同构.
3.点割集：
V＝{v4,v5,v10},割点：
v3,v6,v7,v8；边割集：
E＝{e1,e2,e3}或{e8,e9,e10},割边：
e4,e5e6,e7,e11等.
4.
（1）将D1，D2中边的方向略去后，显然得到两个连通的无向图，故D1，D2都
是弱连通.
（2）在D1中v1到v2有一条有向路，故v1可达v2，类似可知，v1可达v2，v1可达
v3,v3可达v2，v4可达v2，v3可达v4，但v4却不能达v3即D1中任意两个结点至少有一个结点可达另一个结点.即单向可达，所以D1是单侧连通的.类似判断D2也是单侧连通的.
（3）在D1中v1可达v4，v4不可达v1，故v1与v4不是互相可达的.所以D1不是强连通的.在D2中可验证任意两个结点均是相互可达的.所以D2是强连通的.
5.图D的邻接矩阵为
A（D）=
，A2（D）=
，A3（D）=
，A4（D）=
由各矩阵的第2行第4列的1，1，1，3可知，从v2到v4长度分别为1，2，3，4的通路各有1，1，1，3条.
6.对G中任何结点v，由最大度和最小度的定义知
图有n个结点，又由握手定理，
，得到
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