度北师大版八年级数学下册《11等腰三角形》同步提升训练附答案.docx

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度北师大版八年级数学下册《11等腰三角形》同步提升训练附答案

2020-2021年度北师大版八年级数学下册《1.1等腰三角形》同步提升训练（附答案）

1．已知等腰三角形的两边长分别为2和5，则该等腰三角形的周长为（　　）

A．7B．9C．9或12D．12

2．如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB＝AC，BC＝BD，AD＝DE＝BE，则∠A＝（　　）度．

A．30B．36C．45D．50

3．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，如果∠DEF＝60°，则∠A的度数为（　　）

A．20°B．15°C．12°D．10°

4．如图，在△ABC中，AC＝BC，D是BA延长线上一点，E是CB延长线上一点，F是AC延长线上一点，∠DAC＝131°，则∠ECF的度数为（　　）

A．49°B．88°C．98°D．131°

5．若一条长为24cm的细线能围成一边长等于6cm的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为（　　）A．6cmB．9cmC．6cm或9cmD．12cm

6．如图，△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，M，N经过点O，且MN∥BC，若AB＝5，△AMN的周长等于12，则AC的长为（　　）

A．7B．6C．5D．4

7．在等腰三角形ABC中，BC边上的高恰好等于BC边长的一半，则∠BAC等于（　　）

A．90°B．90°或75°

C．90°或15°D．90°或75°或15°

8．如图所示，在平面直角坐标系中，点A（3，1），点P在x轴上，若以P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P共有（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

9．如图，AB＝AC，AE＝EC＝CD，∠A＝60°，若EF＝2，则DF＝（　　）

A．3B．4C．5D．6

10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，D是AC边上的一点，且AD＝BD，则∠CBD＝（　　）

A．30°B．40°C．50°D．60°

11．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝2，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，BD⊥AE于D，若AE＝AC，则AD的长为　　．

12．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，点E为对角线AC与BD的交点，∠AEB＝70°，若∠ABC＝2∠ADB＝4∠CBD，则∠ACD＝　　°．

13．如图，△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∠A＝100°，D为BC的中点，点E在AB上，∠BDE＝15°，P是等腰△ABC腰上的一点，若△EDP是以DE为腰的等腰三角形，则∠EDP的大小为　　．

14．如图，在△ABC中，AB＝BC，BE平分∠ABC，AD为BC边上的高，且AD＝BD．则∠3＝　　°．

15．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A，B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有　　个．

16．如图，△ABC的面积为16cm2，BP平分∠ABC，且AP⊥BP于P，则△PBC的面积为　　cm2．

17．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，腰长为6，则这个等腰三角形的底角度数是　　．

18．如图，在△ABC中，AB＝BC，中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，则AC的长为　　．

19．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的一点，∠ACD＝35°，若△ACD为等腰三角形，那么∠B的度数为　　．

20．如图，在等边△ABC中，AB＝8，E是BA延长线上一点，且EA＝4，D是BC上一点，且DE＝EC，则BD的长为　　．

21．已知，如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在CA，BA的延长线上，且BE＝CD，连BD，CE．

（1）求证：

∠D＝∠E；

（2）若∠BAC＝108°，∠D＝36o，则图中共有　　个等腰三角形．

22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点A作AE∥BC，交BD的延长线于点E．

（1）求∠ADB的度数；

（2）求证：

△ADE是等腰三角形．

23．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于F．

（1）证明：

△ADF是等腰三角形；

（2）若AB＝6，求DE的长．

24．△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，点P在BC边上运动（P不与B、C重合），连接AP，作∠APQ＝∠B，PQ交AB于点Q．

（1）如图1，当PQ∥CA时，判断△APB的形状并说明理由；

（2）在点P的运动过程中，△APQ的形状可以是等腰三角形吗？

若可以，请直接写出∠BQP的度数；若不可以，请说明理由．

25．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求证：

CE＝CF；

（2）若CD＝2，求DF的长．

26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CE平分∠DCB交AB于点E．

（1）求证：

∠AEC＝∠ACE；

（2）若∠AEC＝2∠B，AD＝1，求BD的长．

27．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．

（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；

（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．

①补全图2；

②若BN＝DN，求证：

MB＝MN．

参考答案

1．解：

当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，

当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：

5+5+2＝12．

故选：

D．

2．解：

设∠EBD＝x，

∵DE＝BE，

∴∠AED＝2x，

又∵AD＝DE，

∴∠A＝2x，

∴∠BDC＝x+2x＝3x，

而BC＝BD，则∠C＝3x，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝3x，

∴3x+3x+2x＝180°，

∴∠A＝2x＝45°．

故选：

C．

3．解：

∵DE＝EF，∠DEF＝60°，

∴△DEF为等边三角形，

∴∠EDF＝60°，

∵AB＝BC＝CD．

∴△ABC和△BCD为等腰三角形，∠A＝∠ACB，∠CBD＝∠CDB，

∵∠CBD＝∠A+∠ACB＝2∠A，

∴∠CDB＝2∠A，

∵∠ECD＝∠A+∠CDB＝3∠A，CD＝DE，

∴△CDE为等腰三角形，

∴∠ECD＝∠DEC＝3∠A，

∠EDF＝∠A+∠DEC＝4∠A＝60°，

∴∠A＝15°．

故选：

B．

4．解：

∵∠DAC＝131°，∠DAC+∠CAB＝180°，

∴∠CAB＝49°，

∵AC＝BC，

∴∠CBA＝49°，∠ACB＝180°﹣49°﹣49°＝82°，

∴∠ECF＝180°﹣82°＝98°，

故选：

C．

5．解：

若6cm为底时，腰长＝

（24﹣6）＝9cm，

三角形的三边分别为6cm、9cm、9cm，

能围成等腰三角形，

若6cm为腰时，底边＝24﹣6×2＝12，

三角形的三边分别为6cm、6cm、12cm，

∵6+6＝12，

∴不能围成三角形，

综上所述，腰长是9cm，

故选：

B．

6．解：

∵BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，

∴∠MBO＝∠OBC，∠OCN＝∠OCB，

∵MN∥BC，

∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠OCB，

∴∠MBO＝∠MOB，∠NOC＝∠NCO，

∴MO＝MB，NO＝NC，

∵AB＝5，△AMN的周长等于12，

∴△AMN的周长＝AM+MN+AN＝AB+AC＝5+AC＝12，

∴AC＝7，

故选：

A．

7．解：

如下图，分三种情况：

①如图1，AB＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的内部，

由题意知，AD＝

BC＝

AB，

∵sin∠B＝

＝

，

∴∠B＝30°，∠C＝

（180°﹣∠B）＝75°，

∴∠BAC＝∠C＝75°；

②如图2，AC＝BC，AD⊥BC，AD在三角形的外部，

由题意知，AD＝

BC＝

AC，

∵sin∠ACD＝

＝

，

∴∠ACD＝30°＝∠B+∠CAB，

∵∠B＝∠CAB，

∴∠BAC＝

∠ACD＝15°；

③如图3，AC＝BC，AD⊥BC，BC边为等腰三角形的底边，

由等腰三角形的底边上的高与底边上中线，顶角的平分线重合，可得点D为BC的中点，

由题意知，AD＝

BC＝CD＝BD，

∴△ABD，△ADC均为等腰直角三角形，

∴∠BAD＝∠CAD＝45°，

∴∠BAC＝90°，

∴∠BAC的度数为90°或75°或15°，

故选：

D．

8．解：

如图，以点O、A为圆心，以OA的长度为半径画弧，OA的垂直平分线与x轴的交点有4个．

故选：

C．

9．解：

如图，过点E作EG⊥BC，交BC于点G

∵AB＝AC，∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵EC＝CD，

∴∠CED＝∠CDE＝

∠ACB＝30°，

∴∠AEF＝30°，

∴∠AFE＝90°，即EF⊥AB，

∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，

∴BE平分∠ABC，

∴EG＝EF＝2，

在Rt△DEG中，DE＝2EG＝4，

∴DF＝EF+DE＝2+4＝6；

方法二、

∵AB＝AC，∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∵EC＝CD，

∴∠CED＝∠CDE＝

∠ACB＝30°，

∵△ABC是等边三角形，AE＝CE，

∴BE平分∠ABC，

∴∠ABE＝∠CBE＝30°＝∠CDE，

∴BE＝DE，∠BFD＝90°，

∴BE＝2EF＝4＝DE，

∴DF＝DE+EF＝6；

故选：

D．

10．解：

∵AB＝AC，∠A＝40°，

∴∠ABC＝∠C＝70°，

∵AD＝BD，

∴∠ABD＝∠A＝40°，

∴∠CBD＝70°﹣40°＝30°，

故选：

A．

11．解：

延长AD至点G，使DG＝AD，连接BG，延长BA至F，

∵BD垂直平分AG，

∴BA＝BG＝8，

∠BAG＝∠G

∵∠BAG＝∠EAF，∠BAC的外角平分线交BC延长线于点E，

∴∠EAF＝∠G，∠CAE＝∠EAF，

∴∠G＝∠CAE，

∴AC∥GB，

∴∠ACE＝∠GBE，

∵AE＝AC＝2，

∴∠ACE＝∠E，

∴∠GBE＝∠E，

∴GB＝GE＝8，

∵DG+d＝G﹣AE，

∴2AD＝6，

∴AD＝3．

故答案为3．

12．解：

设∠CBD＝x，

由题意得：

∠ABC＝2∠ADB＝4∠CBD＝4x，

∵AB＝BC，

∴∠BAC＝∠ACB＝

（180°﹣4x）＝90°﹣2x，

∵∠ABE+∠BAE+∠AEB＝180°，

∴3x+90°﹣2x+70°＝180°，

∴x＝20°，

∴∠BDC＝20°，

∴∠ACD＝180°﹣∠DEC﹣∠BDC＝90°，

故答案为：

90．

13．解：

∵AB＝AC，∠A＝100°，

∴∠B＝

（180°﹣∠A）＝40°，

∵∠BDE＝15°，

∴∠AED＝55°，

∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，

①当点P在AB上，

∵DE＝DP1，

∴∠DP1E＝∠AED＝55°，

∴∠EDP1＝180°﹣55°﹣55°＝70°，

②当点P在AC上，

∵AB＝AC，D为BC的中点，

∴∠BAD＝∠CAD，

过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，

∴DG＝DH，

在Rt△DEG与Rt△DP2H中，

，

∴Rt△DEG≌Rt△DP2H（HL），

∴∠AP2D＝∠AED＝55°，

∵∠BAC＝100°，

∴∠EDP2＝150°，

③当点P在AC上，

同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），

∴∠EDG＝∠P3DH，

∴∠EDP3＝∠GDH＝180°﹣100°＝80°，

④当点P在AB上，EP＝ED时，∠EDP＝

（180°﹣55°）＝62.5°．

故答案为：

62.5°或70°或80°或150°．

14．解：

∵AD为BC边上的高，

∴∠ADB＝90°，

∵AD＝BD，

∴∠ABD＝∠BAD＝

（180°﹣∠ADB）＝45°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠1＝∠2＝

∠ABD＝22.5°，BE⊥AC，

∴∠BEA＝90°＝∠ADB，

∵∠3+∠BEA+∠AHE＝180°，∠2+∠ADB+∠BHD＝180°，∠AHE＝∠BHD，

∴∠3＝∠2＝22.5°．

故答案为：

22.5°．

15．解：

如图：

分情况讨论．

①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有4个；

②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．

故答案为：

8．

16．解：

延长AP交BC于点E，

∵BP平分∠ABC，

∴∠ABP＝∠EBP，

∵AP⊥BP，

∴∠APB＝∠EPB＝90°，

在△ABP和△EBP中，

，

∴△ABP≌△EBP（ASA），

∴AP＝PE，

∴S△ABP＝S△EBP，S△ACP＝S△ECP，

∴S△PBC＝

S△ABC＝

×16cm2＝8cm2，

故答案为：

8．

17．解：

在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高，∠ABD＝40°，

当BD在△ABC内部时，如图1，

∵BD为高，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝

（180°﹣50°）＝65°；

当BD在△ABC外部时，如图2，

∵BD为高，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BAD＝90°﹣40°＝50°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

而∠BAD＝∠ABC+∠ACB，

∴∠ACB＝

∠BAD＝25°，

综上所述，这个等腰三角形底角的度数为65°或25°．

故答案为：

65°或25°．

18．解：

设AB＝BC＝2x，AC＝y，则BD＝CD＝x，

∵BC上的中线AD将这个三角形的周长分成18和15两部分，

∴有两种情况：

1、当3x＝18且x+y＝15时，

解得x＝6，y＝9，

即AC的长为9；

2、当x+y＝18且3x＝15时，解得x＝5，y＝13，

此时腰为10，

即AC的长为13．

综上所述，AC的长为9或13．

故答案为：

9或13．

19．解：

如图1，当DA＝DC时，

∵∠ACD＝35°，

∴∠A＝35°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠B＝55°；

如图2，当CA＝CD时，

∵∠ACD＝35°，

∴∠A＝（180°﹣35°）÷2＝72.5°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠B＝17.5°．

综上所述，∠B的度数为55°或17.5°．

故答案为：

55°或17.5°．

20．解：

过点E作EF⊥BC于F；如图所示：

则∠BFE＝90°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，BC＝AB＝8，

∴∠FEB＝90°﹣60°＝30°，

∵BE＝AB+AE＝8+4＝12，

∴BF＝

BE＝6，

∴CF＝BC﹣BF＝2，

∵ED＝EC，EF⊥BC，

∴DF＝CF＝2，

∴BD＝BF﹣DF＝4；

故答案为：

4．

21．

（1）证明：

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

在△EBC和△DCB中，

，

∴△EBC≌△DCB（SAS），

∴BE＝CD．

（2）图中共有5个等腰三角形．

∵∠BAC＝108°,AB＝AC,

∴∠ABC＝∠ACB＝36°,

∵∠D＝∠E＝36°,

∴∠D＝∠BCD,∠E＝∠CBE,

∴∠DAB＝∠EAC＝72°,

∴∠DBA＝∠DAB＝72°,∠EAC＝∠ECA＝72°,

∴DB＝DA,EA＝EC,

∴△ABD,△AEC,△BCD,△BCE,△ABC是等腰三角形．

故答案为：

5．

22．

（1）解：

∵AB＝AC，∠BAC＝36°，

∴∠ABC＝∠C＝

（180°﹣∠BAC）＝72°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠DBC＝

∠ABC＝36°，

∴∠ADB＝∠C+∠DBC＝72°+36°＝108°；

（2）证明：

∵AE∥BC，

∴∠EAC＝∠C＝72°，

∵∠C＝72°，∠DBC＝36°，

∴∠ADE＝∠CDB＝180°﹣72°﹣36°＝72°，

∴∠EAD＝∠ADE，

∴AE＝DE，

∴△ADE是等腰三角形．

23．证明：

（1）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，

∴AD⊥BC，

即∠ADB＝90°，

∵AE是∠BAD的角平分线，

∴∠DAE＝∠EAB＝30°，

∵DF∥AB，

∴∠F＝∠BAE＝30°，

∴∠DAF＝∠F＝30°，

∴AD＝DF，

∴△ADF是等腰三角形；

（2）∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，

∵∠BAC＝120°，

∴∠BAD＝60°，

∴∠DAE＝∠EAB＝30°，

在Rt△ADB中，∠B＝30°，AB＝6，

∴AD＝3，

在Rt△ADE中，AD＝3，∠DAE＝30°，

∴DE＝

．

24．解：

（1）△APB是直角三角形，

理由如下：

∵AB＝AC，∠B＝30°，

∴∠C＝30°＝∠B＝∠APQ，

∵PQ∥AC，

∴∠BPQ＝∠C，

∴∠APB＝60°，

∴∠BAP＝90°，

∴△APB是直角三角形；

（2）当AQ＝QP时，

∴∠QAP＝∠APQ＝30°，

∴∠BQP＝∠QAP+∠APQ＝60°，

当AP＝PQ时，则∠AQP＝∠PAQ＝75°，

∴∠BQP＝105°，

当AQ＝AP时，则∠AQP＝∠APQ＝30°，

∵P不与B、C重合，

∴不存在，

综上所述：

∠BQP＝105°或60°．

25．证明：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°．

∵DE∥AB，

∴∠B＝EDC＝60°，∠A＝∠CED＝60°，

∴∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，

∵EF⊥ED，

∴∠DEF＝90°，

∴∠F＝30°

∵∠F+∠FEC＝∠ECD＝60°，

∴∠F＝∠FEC＝30°，

∴CE＝CF．

（2）由

（1）可知∠EDC＝∠ECD＝∠DEC＝60°，

∴CE＝DC＝2．

又∵CE＝CF，

∴CF＝2．

∴DF＝DC+CF＝2+2＝4．

26．解：

（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，

∴∠ACD+∠A＝∠B+∠A＝90°，

∴∠ACD＝∠B，

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE＝∠DCE，

∴∠B+∠BCE＝∠ACD+∠DCE，

即∠AEC＝∠ACE；

（2）∵∠AEC＝∠B+∠BCE，∠AEC＝2∠B，

∴∠B＝∠BCE，

又∵∠ACD＝∠B，∠BCE＝∠DCE，

∴∠ACD＝∠BCE＝∠DCE，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝30°，∠B＝30°，

∴Rt△ACD中，AC＝2AD＝2，

∴Rt△ABC中，AB＝2AC＝4，

∴BD＝AB﹣AD＝4﹣1＝3．

27．

（1）解：

如图1中，

在等边三角形△ACD中，

∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．

∵E为AC的中点，

∴∠ADE＝

∠ADC＝30°，

∵AB＝AC，

∴AD＝AB，

∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，

∴∠ADB＝∠ABD＝10°，

∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．

（2）①补全图形，如图所示．

②证明：

连接AN．

∵CM平分∠ACB，

∴设∠ACM＝∠BCM＝α，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝2α．在等边三角形△ACD中，

∵E为AC的中点，

∴DN⊥AC，

∴NA＝NC，

∴∠NAC＝∠NCA＝α，

∴∠DAN＝60°+α，

在△ABN和△ADN中，

∴△ABN≌△ADN（SSS），

∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，

∴∠BAC＝60°+2α，

在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，

∴60°+2α+2α+2α＝180°，

∴α＝20°，

∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，

∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，

∴∠MNB＝∠MBN，

∴MB＝MN