第七单元植树问题.docx
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第七单元植树问题
第七单元：
数学广角——植树问题
教材分析
本单元学习的是有关数学广角的“植物问题”，主要探讨的是关于在一条线段植树的问题，只栽一端、只栽中间、两端都栽等。
教材以学生比较熟悉的植树活动为线索，让学生选用自己喜欢的方法来探究栽树的棵数和间隔数之间的关系，经历猜想、试验、推理等探索过程，并启发学生透过现象发现其中的规律，再利用规律回归生活，解决生活实际问题。
数学的思想方法是数学的灵魂，本册安排“植树问题”的目的就是向学生渗透复杂问题从简单人手的思想。
学情分析
由于学生初次接触“植树问题”，这部分的学习内容学生一定会很感兴趣，学习的热情也会比较高涨，但根据以往的教学经验，这部分内容对于学生来说是不容易理解和掌握的。
学生已经掌握了关于线段的相关知识，也具备了一定的生活经验和分析思考能力与计算能力，因此为了让学生能更好地理解本单元的教学内容，在教学过程中点对教材进行适当的整合，并充分利用学生原有的知识和生活经验，来组织学生开展各个环节的教学活动。
小学五年级学生的思维仍以形象思维为主，但抽象思维能力也有了初步的发展，具备了一定的分析综合、抽象概括、归类梳理的能力。
这部分内容放在这个学段，说明这个内容本身具有很高的数学思维和很强的探究空间，既需要教师的有效引导，也需要学生的自主探究。
教学目标
知识技能：
通过观察、操作及交流活动，探索并认识不封闭线路上间隔排列中的简单规律，并能将这种认识应用到解决类似的实际问题之中。
数学思考：
渗透数形结合的思想，培养学生借助图形解决问题的意识。
问题解决：
能够借助图形，利用规律来解决简单的植树问题。
情感态度：
让学生在积极参与的过程中获得成功的体验，在学会与人分享的过程中体验学习数学的乐趣，同时也培养学生爱护环境的意识。
教学重点：
能理解间隔数与棵数之间的关系并应用到生活中去。
教学难点：
理解间隔数与棵数之间的规律（总长÷间距=间隔数+1=植树棵数），并能运用规律解决问题。
课时安排：
4课时
1．植树问题………………………………3课时
2、综合练习………………………………1课时
程河镇中心小学数学导学案
年级
五年级
班级
主备人
使用人
课题
植树问题----两端都栽
学习内容
教材第106页例1及有关练习。
教材分析
本单元教学“间隔现象”的规律。
间隔现象在生活中普遍存在，几乎每一个学生都接触过间隔现象，间隔现象的要素不多，规律比较浅显，适宜五年级学生探究。
这节课主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，抽取出其中的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些实际问题。
学情分析
学生在学这个内容之前，已经初步积累了一些探索规律的经验，由于这种规律在日常生活中常见，学生容易在生活中找到相关的原型，因而也比较容易体会到探索规律的乐趣和成功感。
学生对这类探究性比较强的知识的学习上积极性很高。
所以，在设计本节课时针对学生对间隔排列的规律在生活中有初步的感性认识的基础上，则着力于通过从实际生活中抽象出间隔排列，并通过学生的观察、比较、探索从而找出间隔排列的物体的规律,而后，利用规律解决生活中的类似问题。
学习目标
【知识与技能】
1、利用学生熟悉的生活素材、通过动手操作等实践活动，让学生感悟间隔数与棵数之间的关系。
2．学生会应用植树问题的模型去解决生活中类似的实际问题。
【过程与方法】让学生通过生活中的事例，初步体会解决植树问题的思想方法。
【情感、态度与价值观】
（1）初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。
（2）让学生感受数学知识在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法解决实际生活中的简单问题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。
学习重点
理解“植树问题（两端要种）”的特征，应用规律解决问题
学习难点
能运用植树问题思想方法解决实际问题。
教学方式
方法
讲授法自主探究法讨论法练习法
学习准备
活动记录单。
课时划分
第一课时
修改完善
学习流程
学习流程
1、复习铺垫、情景导入
1、活动交流,感知“间隔”。
（1）课件出示：
猜谜语，一棵小树五个杈，不长叶子不开花。
能写会算还会画，天天干活不说话。
（打一人体器官）
（2）请举起你的右手，你们从中发现了什么数？
（3）你们发现手指数与间隔数的关系了吗？
谁能说一说？
（4）举例生活中的“间隔”
生活中的“间隔”到处可见，你能举几个例子吗？
（预设：
两棵树之间、两个同学之间、楼层…）
2、谈话引入，明确课题。
师：
你们真聪明！
同学们刚才我们了解的5根手指间有几个间隔；爬楼梯要几层；两个同学之间有几个间隔等，数学中统称为植树问题。
（板书课题：
植树问题）
二、探究合作，交流展示
1、情境提问，猜测结果
师出示完整问题：
同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽），一共需要多少棵树苗？
师：
请生读题目一遍，谁来分析一下这道问题？
（问题、单位、条件、关键词）
那共需多少棵树苗，谁来算一算？
学生独立完成后，汇报算法。
（学情预设生1：
100÷5=20生：
100÷5=2020+1=21）
（请一位学生说说理由，允许争论）答案对吗？
实践是检验真理的唯一标准。
到底谁的猜测正确呢,怎么办?
（验证）对，验证是检验真理的最好方法。
下面我们就一起想办法来验证一下。
但是100米这个数字有点大，不好验证，在遇到比较复杂的问题时我们可以先用比较简单的例子来验证。
假设路长只有20米，每几（5米、4米、2米····）米栽一棵（两端都栽），一共要栽几棵呢？
2、小组探究，发现规律
出示：
总长
每两棵树之间的距离，即间隔（米）
两端都种
间隔数
棵数
<20米>
5
4
5
4
2
1
10
我的发现
（1） 画一画，填一填。
请同学们独立用方案纸上的线段图画一画，然后依次完成表格。
（2） 议一议，说一说。
观察表格，你有什么发现，把你的结论在小组内说一说。
（3） 小组汇报，引导发现规律。
A、教师根据学生汇报，完成表格。
B、师：
请同学们仔细观察，看看你有什么发现？
栽树的棵数与平均分成的份数或者说是段数、间隔数之间有什么关系？
（板书：
棵数=间隔数+1）
C、小结：
师：
同学们非常能干，通过猜测、讨论、验证发现了植树问题中一个非常重要的规律，那就是在一条路上植树，如果两端都要栽的话，栽树的棵数比平均分的份数也就是间隔数多1。
“间隔数+1”=棵数
3、应用规律，解决问题
师：
现在我们用研究出的这个规律来验证一下你们刚才的猜测正确吗？
尝试例1：
（回到情景1中的题目）同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵（两端要栽）。
一共需要多少棵树苗？
学情预设生：
100÷5=20（段）20+1=21（棵）
师：
同学们，你们通过简单的例子，发现了规律，应用这个规律解决了这个复杂的植树问题。
孩子们，下面就让我们来一展身手吧！
4、即时练习教材107页做一做第1题。
3、练习反馈、达标测评
1、算一算
（1）、在全长2000米的街道一旁安装路灯（两端都装），每隔50米安装一座。
一共安装了多少座路灯？
2、想一想：
广场上的大钟5时敲响5下，8秒敲完。
12时敲12下，需要多长时间？
3、楼梯问题
学校教学楼每层楼梯有24个台阶，老师从一楼开始一共走了72个台阶。
老师走到了第几层？
四、课堂小结，评价提升
通过这节课的学习，你们有什么收获？
板书设计
植树问题
（一）
两端都栽棵数=间隔数+1
100÷5=20（段）20+1=21（棵）
间隔数=棵数-1
总长=间隔数×间隔距离
教学反思
程河镇中心小学数学导学案
年级
五年级
班级
主备人
使用人
课题
植树问题
（二）
学习内容
教材第107页例2及有关练习。
教材分析
本册教材的数学广角主要是渗透有关植树问题的思想方法。
它通过生活中常见实际问题，让学生发现规律，抽取出植树问题的数学模型，再用来解决简单的实际问题。
本课时是本单元的第2课时，是探讨关于一条线段并且两端都不栽的情况。
“两端都不栽”与“两端都栽”的区别是比较明显的，可以借助线段图帮助学生建立两者的表象，再正确建立数学模型。
学情分析
学生已经初步掌握关于两端都栽的植树问题，但是，这个内容学生理解起来还是比较困难，特别是中下的学生。
因此，在这基础之上，要让学生借助围棋盘，动手摆一摆，通过小组合作来一起探讨封闭曲线中的植树问题。
学习目标
知识与技能：
通过探究发现一条线段上两端要种和两端不种两种不同情况植树问题的规律。
过程与方法：
使学生经历感知、理解知识的过程，培养学生从实际问题中发现规律，并应用规律来解决问题的能力，渗透数形结合的思想。
情感态度与价值观：
通过实践活动激发热爱数学的情感；感受日常生活中处处有数学，体验学习成功的喜悦。
学习重点
探究棵数与间隔数之间的关系，会应用植树问题的模型解决一些相关的实际问题。
学习难点
会应用植树问题的模型灵活解决一些相关的实际问题。
教学方式
方法
讲授法自主探究法实验操作法演示法练习法
学习准备
例题直尺花边纸条
课时划分
第2课时
修改完善
学习流程
学习流程
一、复习铺垫情境引入
准备一根花边纸条
1、在一条长15厘米的花边上镶珠子，每隔3厘米镶一颗（两端都要镶），一共要准备多少颗珠子？
（1）学生试做
（2）根据答案，在花边上操作演示。
2、如果把这条花边做成圆形的，你猜要准备多少颗珠子？
（1）学生猜
（2）演示，明理：
由于首尾连接在一起，两头就多了一颗，拿掉一颗后也就成了一头栽一头不栽的情况。
3、导入：
今天这节课我们就来研究植树问题中的一端栽一端不栽的情况。
二、探究合作，交流展示
1、课件出示例2
读题理解题意。
分组看图理解题意。
尝试列题计算。
集体交流。
预设板书：
60÷3=20（段）20-1=19（棵）
19×2=38（棵）
质疑
为什么减1？
比较与例1的不同。
讨论：
例1是两端都栽树，所以棵树数比间隔是多1.
例2是两端都不栽树，所以棵数比间隔数少1.
2、拓展练习：
教材107页做一做第2题。
学生试做，教师引导。
这道题和例1、例2有什么不同？
三、练习反馈、达标测评
1.填一填。
（1）一条路一边上每隔10米有一根电线杆（两端不栽），一共有24根电线杆，这条路长（ ）米。
（2）把65棵树栽在一条长640米的水渠一侧（两端不栽），每相邻两棵树之间的距离是（ ）米。
（3）钟表的盘面上有12个数字，每两个数字之间有一个间隔，表盘上一共有（ ）个间隔。
2．一根木头长8米，每2米锯一段。
一共要锯几次？
（学生独立完成。
）
3.一列共有4个同学，如果每相邻两个同学的距离是1米，从第1个同学到最后一个同学的距离是多少米？
如果这一列共有10个同学呢？
100个同学呢？
四、课堂小结，评价提升
今天你学到什么知识，你体会到什么？
（让学生自由畅谈）
课外作业布置：
练习二十四第6、7、8、9题。
板书设计
植树问题
（二）
60÷3=20（段）20-1=19（棵）19×2=38（棵）
两端不种 棵数=段数-1
一端栽，一端不栽棵树=段数
教学反思
程河镇中心小学数学导学案
年级
五年级
班级
主备人
使用人
课题
植树问题（三）----封闭图形中的植树问题
学习内容
教材第108页例3及有关练习。
教材分析
《封闭图形中的植树问题》一课是人教版四年级下册数学广角中的第三个例题。
本次教学的内容是关于一个封闭图形的植树问题。
教材中借助围棋盘的最外层每边都能放19个棋子，求围棋盘最外层一共可以摆多少个棋子的问题。
教材中选用的学习材料与典型的封闭图形植树问题有联系又有区别，因此中教材并没有给出解决关于封闭图形植树问题的规律，而是要求用直观的方式来解决问题，力争体现不同的学生在数学学习上有不同的发展。
学情分析
学生在学习本课前已经接触了植树问题，会解决在一条线段中的植树问题（两端都栽、只栽一端或两端都不栽），了解了栽的棵数与间隔数的关系。
本课主要研究封闭图形上的植树问题，重点是让学生在头脑中建立解决此类问题的模型，如何让学生建立起封闭植树和线段植树的联系是教学的关键，因此要学生提供大量的直观材料，激活学生的生活经验，动态反馈学生思维，沟通知识之间的联系，有效地突破教学重难点。
学习目标
1．通过生活中的事例，借助围棋盘探讨封闭图形（方阵）中的植树问题，让学生初步体会解决植树问题的思想方法以及这种方法在解决实际问题中的应用。
2．初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。
3．让学生感受数学在日常生活中的广泛应用
学习重点
让学生掌握解决封闭图形植树问题的思想方法。
学习难点
探索发现封闭图形情况下棵树与间隔数之间的关系。
教学方式
方法
讲授法自主探究法演示法实验操作法练习法
学习准备
围棋盘围棋
课时划分
第3课时
修改完善
学习流程
学习流程
一、复习铺垫情境引入
脑筋急转弯:
把4棵树栽成4行，每行数数都有2棵？
怎么栽？
1、让学生独立思考，提示学生可用画图的方法进行思考。
2、全班交流，找出方法，并在正方形上把它表达出来。
3、观察这个图形，你有什么发现？
与我们前面学习的植树问题有什么不同？
4、在学生的思考中，导入新课，板书课题：
植树问题
二、探究合作，交流展示
1、什么是封闭图形呢？
预设生：
无论什么图形，只要起点和终点重合，即首尾相连就是封闭图形。
如下所示：
2、教学例3
（1）出示围棋棋盘
数一数围棋棋盘的最外边每边能放几个棋子？
（预设：
19个）
（2）算一算
最外层一共可以摆放多少个棋子？
学生先独立思考，寻找出自己的计算方法
全班交流，预设：
算法和结果
方法一：
19×4=76（个）
方法二：
19×4-4=72（个）
方法三：
18×4=72（个）
（3）议一议
全班交流，指名叙述每种方法的理由。
方法一忽略了角上算重的情况，多算了4个。
方法二考虑了4个角上算重了，所以在总数中去掉了多算的4个。
方法三每边都只算一个端点，这样每边有18个，3边正好是6个。
（4）比一比
你用了哪种思考方法，还有其它方法吗？
你认为哪种方法最好？
（5）想一想
前面我们已经学习了在一条线段上植树的问题，知道间隔数和棵数之间的关系，那么我们现在来观察一下，围棋最外层摆放的棋子有多少个间隔？
学生自主探究：
数一数间隔数，
预设：
围棋最外层摆放的棋子数等于最外层每两个棋子的间隔数。
（6）类推
钟面上有几个数？
想一想：
钟面上每两个数之间有几个间隔？
一个五边形有几个顶点？
如果在五边形的水池边摆上花盆，使每一边都有5盆花，最少需要多少盆花？
（7）归纳规律
与前面学习的内容比较及在练习中你发现了什么？
即封闭的图形的“植树问题”有什么规律？
组织学生讨论，在学生回答的基础上总结出：
植树的棵数正好等于间隔数。
2、解决问题
（1）补充习题：
24名学生做游戏，大家围成一个正方形，每边人数相等，四个角上都有人，每边各有几名同学？
（2）学生自主探究或和同伴交流，教师巡视指导后进生用画图的方法帮助理解。
（3）集体交流，指名学生说出算理。
（4）教师有针对性地进行指导，并启发学生以每边人数求总人数的方法进行验证。
三、练习反馈、达标测评
随堂练习：
例3后面的“做一做”
布置作业:
1.填一填
（1）学校运动场的跑道一圈长400米，在内侧每隔10米插一面彩旗，一共可以插（）面彩旗。
（2）正六边形的花圃每边有3盆花，顶点都有花，共有（）盆花。
（3）同学们进行体操表演，48人围成正方形，4个顶点都有人，每边各有（）名同学。
2.判一判。
（1）一个方阵，最外层每边8人，最外层一共8×8＝64（人）（）
（2）在五边形水池边摆花盆，每边放4盆，最少需要15盆。
（）
（3）时钟3时敲3下用2秒，4时敲4下用4秒。
（）
3、五年级共选49位同学参加校运会开幕式，他们排成一个方阵人场。
这个方阵的最外层一共有多少人？
拓展提升：
4.怡馨苑小区要在区内的一块正方形草坪周围种树。
要使每边都有5棵树，可以怎样安排？
请你画出示意图。
一共要种多少棵树？
四、课堂小结、评价提升
今天我们学习的是封闭图形内的“植树问题”。
你发现了什么规律？
课外作业布置：
练习二十四第11、12、13题。
板书设计
植树问题（三）----封闭图形中的植树问题
每边棵数－1＝每边间隔数
最外层的棵树=最外层的间隔数
最外层的总数=每边的间隔数×边数
例3120÷10=12（棵）
教学反思
程河镇中心小学数学导学案
年级
五年级
班级
主备人
使用人
课题
植树问题（四）--综合练习
学习内容
教材109-111页
教材分析
本单元主要是渗透有关植树问题的一些思想方法，通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现一些规律，然后再用发现的规律解决生活中的一些简单实际问题。
学情分析
通过生活中的简单事例，学生初步体会解决植树问题的思想方法和它在解决实际问题中的应用，应该让学生从实际问题入手，逐步发现隐藏于不同的情形中的规律，经历抽取出数学模型的过程，体验数学思想方法在解决实际问题中的应用。
学习目标
1、进一步理解和掌握在直线上植树问题的解题规律。
2、会根据实际问题，灵活选择方法进行解答。
3、经历解决植树问题的过程，体验比较、区别学习方法。
4、感受数学与生活之间的密切联系，激发学习兴趣，培养学生的探究精神。
学习重点
进一步理解和掌握在直线上植树问题的解题规律。
学习难点
会根据实际问题，灵活选择方法进行解答。
教学方式
方法
讲授法自主探究法练习法
学习准备
课前试做习题
课时划分
第四课时
修改完善
学习流程
学习流程
一、复习回顾
（1）教师：
前面我们共同学习探讨了有关植树的数学问题，植树问题中有哪几种情形?
解答时应注意什么问题?
组织学生在小组中议一议。
相互交流。
再组织学生汇报，教师选择板书预设：
①两端都要栽：
植树棵树=间隔数+1
②两端都不栽：
植树棵数=间隔数-1
③只栽一端：
植树棵数=间隔数
二、指导练习
（1）教材练习二十四第5题。
①学生读题：
理解题意。
②小组讨论：
当大钟敲5下时，前后共有几次间隔?
平均每次间隔时间有多长?
③大钟敲12下，需要多长时间呢?
大钟敲12下，共有11次间隔，所以共需时间是：
预设板书：
8÷（5-1）=2（秒）
2×11=22（秒）。
组织学生读题，理解题意。
（2）教材练习二十第3题
教师：
一共要架设多少根电线杆（两端都架设），会有几种情况?
学生在小组中根据分析的情况，独立解答，并相互交流。
根据可能会存在的三种情况，预设解答结果有：
a.3000÷200=15（段）15+1=16（棵）
b.3000÷200=15（段）
（3）教材练习二十四第12题。
①学生读题，理解题意。
②学生观察示意图，小组讨论：
这条项链上共有多少颗水晶?
教师：
你发现了什么?
教师引导学生归纳总结：
在封闭路线上植树时，间隔数=植树棵树。
三、应用练习
（1）一度长180米的大桥两侧，每隔30米安装一盏路灯。
①两端要安装，需路灯几盏?
②两端不安装，需路灯几盏?
（2）小刚到电影院看电影，他前面有8排，后面有9排，左边有15个座位，右边有17个座位。
电影院一共有多少个座位?
（每排座位一样多学生独立练习，然后小组交流。
指2名学生板演，再集体订正。
四、课堂小结
通过这节课的练习，你又有哪些收获?
板书设计
植树问题（四）
总长=间隔数×间隔距离总长÷间隔数=间隔距离
两端都要栽：
植树棵树=间隔数+1
两端都不栽：
植树棵数=间隔数-1
只栽一端：
植树棵数=间隔数
教学反思
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