第4章《四边形性质探索》好题集0743+菱形 2.docx

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第4章《四边形性质探索》好题集0743+菱形2

第4章《四边形性质探索》好题集（07）：

4.3菱形

第4章《四边形性质探索》好题集（07）：

4.3菱形

参考答案与试题解析

填空题

61．（2007•盐城）菱形的两条对角线长分别是6和8，则菱形的边长为　5　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长．

解答：

解：

因为菱形的对角线互相垂直平分，

根据勾股定理可得菱形的边长为

=5．

故答案为5．

点评：

此题主要考查菱形的基本性质：

菱形的对角线互相垂直平分，综合利用了勾股定理的内容．

62．（2007•乌兰察布）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是　12　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

易知四边形AEPF是平行四边形，设AP与EF相交于O点，则S△POF=S△AOE．所以阴影部分的面积等于菱形面积的一半．

解答：

解：

设AP与EF相交于O点．

∵ABCD为菱形，

∴BC∥AD，AB∥CD．

∵PE∥BC，PF∥CD，

∴PE∥AF，PF∥AE．

∴AEFP是平行四边形．

∴S△POF=S△AOE．

∴阴影部分的面积就是△ABC的面积，△ABC的面积=

菱形的面积=

×（

×6×8）=12，

则阴影部分的面积是12．

故答案为12．

点评：

此题的关键是得出阴影部分的面积就是△ABC的面积，再利用菱形的面积公式计算．

63．（2006•宁夏）菱形的周长为20cm，一条对角线长为8cm，则菱形的面积为　24　cm2．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据菱形的性质可知边长以及另一条对角线的长，然后根据菱形的面积计算公式可解．

解答：

解：

菱形的周长为20cm，则边长为5cm，

∵菱形的对角线互相垂直平分，

根据勾股定理可得另一对角线的一半为3cm，

则另一对角线长6cm，

则菱形的面积为6×8×

=24cm2．

故答案为24．

点评：

主要考查菱形的面积公式：

两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．

64．（2006•金华）如图，在菱形ABCD中，已知AB=10，AC=16，那么菱形ABCD的面积为　96　．

考点：

专题：

计算题；压轴题．

分析：

根据菱形的性质利用勾股定理求得OB的长，从而得到BD的长，再根据菱形的面积公式即可求得其面积．

解答：

解：

连接DB，于AC交与O点

∵在菱形ABCD中，AB=10，AC=16

∴OB=

∴BD=2×6=12

∴菱形ABCD的面积=

×两条对角线的乘积=

×16×12=96．

故答案为96．

点评：

此题考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．

65．（2005•新疆）已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是　120　cm2．

考点：

专题：

计算题．

分析：

已知菱形的周长以及一条对角线的长，根据菱形的性质利用勾股定理可求得另一对角线的长度，然后易求得菱形的面积．

解答：

解：

由题意可得，AD=13cm，OA=12cm，

根据勾股定理可得，OD=5cm，则BD=10cm，则它的面积是24×10×

=120cm2．

故答案为：

120．

点评：

此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．

66．（2005•黄石）已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：

4，则菱形的面积为　96　cm2．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据已知可分别求得两条对角线的长，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可得到其面积．

解答：

解：

设两条对角线长分别为3x，4x，

根据勾股定理可得（

）2+（

）2=102，

解之得，x=4，

则两条对角线长分别为12cm、16cm，

∴菱形的面积=12×16÷2=96cm2．

故答案为96．

点评：

主要考查菱形的面积公式：

两条对角线的积的一半，综合利用了菱形的性质和勾股定理．

67．（2003•温州）如图：

菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是　

　．

考点：

专题：

压轴题；动点型．

分析：

过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB，根据已知得到PA=2EP，根据勾股定理可求得PE，PA的值，从而可得到PE+PB的最小值．

解答：

解：

当点P在AB的中垂线上时，PE+PB有最小值．

过点E作PE⊥AB，交AC于P，则PA=PB．

∵∠B=120°

∴∠CAB=30°

∴PA=2EP

∵AB=2，E是AB的中点

∴AE=1

在Rt△APE中，PA2﹣PE2=1

∴PE=

，PA=

∴PE+PB=PE+PA=

．

故答案为

．

点评：

本题考查的是中垂线，菱形的邻角互补．勾股定理和最值．本题容易出现错误的地方是对点P的运动状态不清楚，无法判断什么时候会使PE+PB成为最小值．

68．（2004•贵阳）如图，菱形ABCD的对角线的长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是　2.5　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据题意可得阴影部分的面积等于△ABC的面积，因为△ABC的面积是菱形面积的一半，根据已知可求得菱形的面积则不难求得阴影部分的面积．

解答：

解：

设AP与EF相交于O点．

∵四边形ABCD为菱形，

∴BC∥AD，AB∥CD．

∵PE∥BC，PF∥CD，

∴PE∥AF，PF∥AE．

∴四边形AEFP是平行四边形．

∴S△POF=S△AOE．

即阴影部分的面积等于△ABC的面积．

∵△ABC的面积等于菱形ABCD的面积的一半，

菱形ABCD的面积=

AC•BD=5，

∴图中阴影部分的面积为5÷2=2.5．

故答案为：

2.5．

点评：

本题主要考查了菱形的面积的计算方法，根据菱形是中心对称图形，得到阴影部分的面积等于菱形面积的一半是解题的关键．

69．（2011•长沙）已知菱形的两条对角线长分别是6cm和8cm，则周长是　20　cm．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据菱形的性质利用勾股定理可求得其边长，再根据周长公式即可求得其周长．

解答：

解：

∵菱形的对角线互相垂直平分，两条对角线的一半与一边构成直角三角形，

根据勾股定理可得菱形的边长为

=5cm，

则周长是4×5=20cm．

故答案为20．

点评：

此题主要考查菱形的性质及勾股定理的运用．

70．已知菱形的两条对角线长为12cm和6cm，那么这个菱形的面积为　36　cm2

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据菱形面积的计算公式：

菱形的面积等于对角线的乘积的一半可解答．

解答：

解：

∵菱形的面积等于对角线的积的一半，

那么这个菱形的面积为

×12×6=36cm2．

故答案为36．

点评：

主要考查菱形的面积公式：

两条对角线的积的一半．

71．（2002•南通）已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是　20　cm2．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求得其面积．

解答：

解：

由已知得，菱形面积=

×5×8=20cm2．

故答案为20．

点评：

本题主要考查了菱形的面积的计算公式．

72．如图：

点E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=∠D=60°，∠FAD=45°，则∠CFE=　45　度．

考点：

专题：

计算题．

分析：

首先证明△ABE≌△ACF，然后推出AE=AF，证明△AEF是等边三角形，最后可求出∠AFD，∠CFE的度数．

解答：

解：

连接AC，

∵菱形ABCD，∴AB=AC，∠B=∠D=60°，

∴△ABC为等边三角形，∠BCD=120°

∴AB=AC，∠ACF=

∠BCD=60°，

∴∠B=∠ACF，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠BAC=60°，即∠BAE+∠EAC=60°，

又∠EAF=60°，即∠CAF+∠EAC=60°，

∴∠BAE=∠CAF，

在△ABE与△ACF中

∴△ABE≌△ACF（ASA），

∴AE=AF，

又∠EAF=∠D=60°，则△AEF是等边三角形，

∴∠AFE=60°，

又∠AFD=180°﹣45°﹣60°=75°，

则∠CFE=180°﹣75°﹣60°=45°．

故答案为：

45．

点评：

此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定以及三角形的内角和定理．

73．菱形的两条对角线长分别是16cm和12cm，那么这个菱形的高是　9.6　cm．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据菱形的性质及勾股定理可求得菱形的边长，再根据面积公式即可求得其高的长．

解答：

解：

∵菱形的两条对角线长分别是16cm和12cm

∴菱形的边长为10cm

∵菱形的面积=

×16×12=10×高

∴高为9.6cm

故答案为9.6．

点评：

主要考查菱形的面积公式：

两条对角线的积的一半或是边长乘以高，综合利用了菱形的性质和勾股定理．

74．已知菱形ABCD的周长为20cm，∠A：

∠ABC=1：

2，则对角线BD的长为　5　cm．

考点：

专题：

计算题．

分析：

由已知可得，AB=AD=5cm，∠A=60°，则△ABD是等边三角形，则对角线BD的长为5cm．

解答：

解：

∵菱形的周长为20cm，

∵∠A：

∠ABC=1：

2，

∴AB=AD=5cm，∠A=60°，

∴△ABD是等边三角形，

∴BD=AB=5cm．

故答案为：

5．

点评：

此题主要考查菱形的性质和等边三角形的判定．

75．已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm，则这个菱形的面积为　96　cm2．

考点：

专题：

计算题．

分析：

画出草图分析．因为周长是40，所以边长是10．根据对角线互相垂直平分得直角三角形，运用勾股定理求另一条对角线的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算求解．

解答：

解：

因为周长是40cm，所以边长是10cm．

如图所示：

AB=10cm，AC=16cm．

根据菱形的性质，AC⊥BD，AO=8cm，

∴BO=6cm，BD=12cm．

∴面积S=

×16×12=96（cm2）．

故答案为96．

点评：

此题考查了菱形的性质及其面积计算．主要利用菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决．

菱形的面积有两种求法：

（1）利用底乘以相应底上的高；

（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=

×两条对角线的乘积．

具体用哪种方法要看已知条件来选择．

76．（2002•贵阳）菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD长为7cm，则此菱形周长　28　cm．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据已知可得△ABD是等边三角形，从而可得到边长等于BD的长，从而不难求得菱形的周长．

解答：

解：

∵∠A=60°

∴△ABD是等边三角形

∴AB=BD=7cm

∴此菱形周长4×7=28cm．

故答案为28．

点评：

此题主要考查的知识点：

（1）菱形的四边相等．

（2）等边三角形的判定：

有一角等于60°的等腰三角形是等边三角形．

77．（2006•湘潭模拟）如图，菱形ABCD的对角线的长度分别为4、5，P是对角线AC上的一点，PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则图中阴影部分的面积是　5　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据菱形的性质得AEPF是平行四边形，从而可得到阴影部分的面积等于△ABC的面积，显然△ABC的面积等于菱形面积的一半，菱形的面积可求得，则阴影部分的面积就不难求得了．

解答：

解：

由题意易得AEPF是平行四边形，则阴影部分的面积等于△ABC的面积，而△ABC的面积等于菱形面积的一半，即

×4×5=5．

故答案为5．

点评：

此题主要考查平行四边形的判定和菱形的面积公式，以及学生的读图能力．

78．如图菱形ABCD的一条对角线的中点O到AB的距离为2，那么O点到另一边的距离为　2　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

首先根据菱形的性质推出两个三角形全等，然后再根据已知条件求出O点到另一边的距离．

解答：

解：

根据菱形的性质，可得O到菱形一边AB与BO构成的三角形OEB和O到菱形邻边BC与BO构成的三角形全等，已知点O到AB的距离为2，那么O点到另外一边BC的距离为2．

故答案为2．

点评：

本题考查菱形的性质与全等三角形的判定．

79．菱形ABCD的一条对角线长为6cm，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的面积为　

　cm2．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据题意，先求出方程的解，根据三角形的三边关系确定出菱形的边长，再求面积．

解答：

解：

∵边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，

x2﹣7x+12=0，

（x﹣3）（x﹣4）=0，

解得x1=3，x2=4，

当x1=3时，3+3=6，根据三角形的三边关系可知不合题意，所以舍去；

当x2=4时，4+4＞6，所以菱形的边长为4cm．

∵菱形的对角线互相垂直构成直角三角形，

利用勾股定理可求另一条对角线的一半长为

cm，

∴S菱形ABCD=

cm．

故答案为6

cm．

点评：

本题综合考查了勾股定理与一元二次方程，解这类题的关键是要利用菱形的特性：

菱形的对角线互相垂直构成直角三角形，用勾股定理来寻求未知系数的等量关系．

80．菱形两对角线长分别为24cm和10cm，则菱形的高为　

　cm．

考点：

专题：

计算题．

分析：

菱形的面积有两种求法

（1）利用底乘以相应底上的高，

（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=

×两条对角线的乘积．

解答：

解：

已知两对角线长分别为24cm和10cm，利用勾股定理可得到菱形的边长=13cm，用

（2）求菱形面积=

×24×10=120cm2．用

（1）菱形面积=底×高，即高=菱形面积÷底=

cm．

故答案为

．

点评：

本题考查的是菱形的面积求法及菱形性质与勾股定理的综合．

81．已知菱形的边长是10cm，一条对角线是12cm，则它的面积是　96　cm2．

考点：

分析：

根据菱形的性质利用勾股定理求得别一条对角线的长，再根据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半求得其面积．

解答：

解：

如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于O，AB=10cm，AC=12cm，求菱形的面积．

∵AC=12cm，

∴AO=6cm，

∵AB=10cm，BD⊥AC，

∴BO=8cm，

∴BD=16cm，

∴S菱形=

×16×12=96cm2．

故答案为：

96．

点评：

此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用．

82．已知菱形一条对角线为长10，另一条对角线长是8，则这个菱形的面积是　40　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据菱形的面积等于两对角线的积的一半求解．

解答：

解：

由已知可得，这个菱形的面积=8×10÷2=40

故答案为40

点评：

此题主要考查菱形的面积等于两对角线的积的一半．

83．菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比为1：

2，则此菱形的面积为　

　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据已知可求得菱形的边长及菱形的内角，从而可求得其高，再根据面积公式即可求得其面积．

解答：

解：

∵菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比为1：

∴菱形的边长为9，菱形的较小的内角为60°

∴菱形的高为

∴菱形的面积=9×

．

点评：

主要考查菱形的面积公式：

边长×高，综合利用了菱形的性质和勾股定理．

84．如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为　3

　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据菱形的性质和等边三角形的判定方法得，三角形ABC是等边三角形．则AE⊥BC，根据勾股定理求得AE的长，同理得到EF的长，根据已知可推出△AEF是等边三角形，从而得到其周长是3

．

解答：

解：

连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC，

∵∠B=60°，

∴△ABC为等边三角形，

∴AC=AB=AD=CD，

∴∠CAD=60°，

∴∠BAD=120°，

∵E为BC的中点，

∴AE⊥BC，∠EAC=30°，

∴AE=

，

同理：

AF=

，

∵AE=AF，∠CAF=30°

∴∠EAF=60°，

∴EF=

，

∴△AEF的周长为3

．

故答案为：

．

点评：

此题考查菱形的性质，等边三角形的判定及勾股定理的运用．

85．（2009•闸北区二模）已知菱形的面积为96cm2，两条对角线之比为3：

4，则菱形的周长为　40　cm．

考点：

专题：

计算题．

分析：

依题意，已知菱形的面积以及对角线之比，首先根据面积公式求出菱形的对角线长，然后利用勾股定理求出菱形的边长．

解答：

解：

因为菱形的面积等于两条对角线的积的一半，由题意可得，对角线长分别为12cm、16cm，

又∵菱形的对角线互相垂直平分，

根据勾股定理可得菱形的边长=

=10cm，

则菱形的周长为40cm．

故答案为40．

点评：

此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．

86．菱形的一个内角为60°，较长的一条对角线长4

，则菱形的周长为　16　，面积为　

　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

依题意，已知菱形的一内角以及一对角线，根据勾股定理可求出边长，继而求出周长以及面积．

解答：

解：

菱形的一个内角为60°，则一组邻边与较短的对角线构成等边三角形；再根据较长的一条对角线长4

，可得菱形边长为4；故菱形的周长为4×4=16，面积为4×4

．

故答案为16，8

．

点评：

本题考查等边三角形的性质，其三边相等，三个内角相等，均为60度．

87．已知菱形ABCD的面积是12cm2，对角线AC=4cm，则菱形的边长是　

　cm．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据菱形的面积公式求出另一对角线的长．然后因为菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出菱形的边长．

解答：

解：

由菱形的面积公式，可得另一对角线长12×2×

=6，

∵菱形的对角线互相垂直平分，

根据勾股定理可得菱形的边长=

cm．

故答案为

．

点评：

此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．

88．如图，第1个图有1个菱形，第2个图有5个菱形，第3个图有14个菱形，第4个图有30个菱形，则第5个图的菱形个数是　55　．

考点：

专题：

规律型．

分析：

本题要根据规律求解，根据给出的图以及菱形个数的特点求解．

解答：

解：

因为第1个图有1个菱形，第2个图有1+22=5个菱形，第3个图有5+32=14个菱形，第4个图有14+42=30个菱形，则第5个图的菱形个数是30+52=55．

故答案为55．

点评：

解答此类题目的关键是认真观察已知给出的图与数的特点，找出其中的规律．

89．菱形ABCD中，∠A：

∠B=1：

5，高是8cm，则菱形的周长是　64　cm．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据已知可求得∠A的度数，再根据三角函数求得菱形的边长，从而不难得到其周长．

解答：

解：

∵∠A：

∠B=1：

∴∠A=30°

∴AD=2×8=16cm

∴菱形的周长是64cm．

故答案为64．

点评：

此题主要考查的知识点：

（1）直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半；

（2）菱形的两个邻角互补．

90．（2011•南岗区一模）如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到菱形的面积为　10　cm2．

考点：

专题：

计算题．

分析：

根据题意可得菱形的两对角线长分别为4cm，5cm，根据面积公式求出菱形的面积．

解答：

解：

由题意知，AC的一半为2cm，BD的一半为2.5cm，则AC=4cm，BD=5cm，

∴菱形的面积为4×5÷2=10cm2．

故答案为10．

点评：

本题考查了菱形的性质，对角线平分且垂直及菱形的面积等于对角线积的一半．

参与本试卷答题和审题的老师有：

csiya；lf2-9；zhjh；ln_86；Linaliu；zxw；Liuzhx；蓝月梦；bjy；自由人；心若在；zhehe（排名不分先后）

菁优网

2014年6月4日

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